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| Aufgabe | Es sei [mm] $\IC^{x} [/mm] := [mm] \IC \setminus\{0\}$ [/mm] die multiplikative Gruppe des Körpers [mm] \IC [/mm] und es seien N:={1 , -1 , i , -i},
V:= { [mm] z^{4} [/mm] | z [mm] \in \IC^{x} [/mm] }. Zeigen Sie :
(a) Es ist N Normalteiler in [mm] \IC^{x}
[/mm]
(b) Es ist V eine Untergruppe in [mm] \IC^{x}
[/mm]
(c) Es ist [mm] \IC^{x}/N \cong [/mm] V |
Hallo..!
Bin grad in meiner Klausurvorbereitung und habe diese Aufgabe in dem 1. Termin der Klausur entdeckt und habe keine Ahnung wie daran gehen soll..
Also ich meine man müsste zeigen das N eine Untergruppe ist und [mm] \IC^{x} [/mm] abelsch..dann würde doch folgen dass N normalteiler ist oder??
..und zu b und c habe ich keine Ahnung wie das zeigen soll; glaube ich verstehe das was da steht auch nicht ganz genau.
Für eine paar Tipps oder ner Hilfestellung wäre ich dankbar!
Grüße Charlie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Do 27.03.2008 | | Autor: | rainman_do |
In der Aufgabenstellung oben sollte das heißen [mm] \IC^{\times} [/mm] := [mm] \IC [/mm] \ {0}
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ohh..ja richtig..dachte es wäre egal ob das "x" oder "kreuzchen"..aber trotzdem bleibt die Frage...
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Hallo Charlie,
> Es sei [mm]\IC^{x} := \IC \setminus\{0\}[/mm] die multiplikative
> Gruppe des Körpers [mm]\IC[/mm] und es seien N:={1 , -1 , i , -i},
>
> V:= [mm] \{z^{4} | z \in \IC^{x} \}. [/mm] Zeigen Sie :
>
> (a) Es ist N Normalteiler in [mm]\IC^{x}[/mm]
>
> (b) Es ist V eine Untergruppe in [mm]\IC^{x}[/mm]
>
> (c) Es ist [mm]\IC^{x}/N \cong[/mm] V
> Hallo..!
> Bin grad in meiner Klausurvorbereitung und habe diese
> Aufgabe in dem 1. Termin der Klausur entdeckt und habe
> keine Ahnung wie daran gehen soll..
>
> Also ich meine man müsste zeigen das N eine Untergruppe ist
> und [mm]\IC^{x}[/mm] abelsch..dann würde doch folgen dass N
> normalteiler ist oder?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das stimmt
> ..und zu b und c habe ich keine Ahnung wie das zeigen
> soll; glaube ich verstehe das was da steht auch nicht ganz
> genau.
>
> Für eine paar Tipps oder ner Hilfestellung wäre ich
> dankbar!
bei (b) prüfe die 3 Kriterien für ne Untergruppe nach
(1) Ist 1 (das neutrale Element in [mm] $\IC^{\times}$) $\in [/mm] V$ ?
(2) Für alle [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$ ist auch [mm] $v_1\cdot{}v_2\in [/mm] V$
(3) Für beliebiges [mm] $v\in [/mm] V$ ist auch [mm] $v^{-1}\in [/mm] V$
bei (c) würde ich meinen, dass du einen Isomorphismus [mm] $\phi$ [/mm] angeben sollst, der die gewünschte Verbindung zwischen [mm] $\IC^{\times}/N$ [/mm] und $V$ herstellt.
Aber der fällt mir so auf die Schnelle auch nicht ein
Ich lasse darum mal den Status auf "teilweise beantwortet"
> Grüße Charlie
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Fr 28.03.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> bei (c) würde ich meinen, dass du einen Isomorphismus [mm]\phi[/mm]
> angeben sollst, der die gewünschte Verbindung zwischen
> [mm]\IC^{\times}/N[/mm] und [mm]V[/mm] herstellt.
>
> Aber der fällt mir so auf die Schnelle auch nicht ein
Aber der steht doch da: [mm] {z\mapsto z^4}
[/mm]
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Fr 28.03.2008 | | Autor: | SEcki |
> (c) Es ist [mm]\IC^{x}/N \cong[/mm] V
Um alles zu benatworten, benutzte den ![[]](/images/popup.gif) Homomorphiesatz. Den passenden Homomorphismus musst du aber erst versuchen, selbst zu finden - aber schau dir V nochmal an ...
SEcki
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Hallo, hab mir das ganze mal durch den Kopf gehen lassen und folgendes gemacht:
zu a) ZZ: N Untergruppe von [mm] \IC^\times
[/mm]
1) Es ist 1 [mm] \in [/mm] N
2) inverse Elemente:
zu 1 ist das inv. Element 1
zu -1 : -1
zu i : -i
zu -i : i
3) Abgeschlossenheit:
1*1=1 [mm] \in [/mm] N
1*(-1)=-1 [mm] \in [/mm] N
...
hab das für jede Kombination der Elemente aus N gezeigt...
Es ist also N Untergruppe von [mm] \IC^\times [/mm] . Da [mm] \IC^\times [/mm] eine abelsche Gruppe ist, ist auch N als UG von [mm] \IC^\times [/mm] abelsch und somit Normalteiler von [mm] \IC^\times.
[/mm]
zu b)
1) da 1 [mm] \in \IC^\times [/mm] gilt [mm] 1^4=1\in [/mm] V
2) Seien [mm] v_1, v_2 \in [/mm] V mit [mm] v_1=z_1^4, v_2=z_2^4, [/mm] dann ist
[mm] v_1*v_2=z_1^4*z_2^4=(z_1*z_2)^8=((z_1*z_2)^2)^4, [/mm] da [mm] (z_1*z_2)^2 \in \IC^\times [/mm] ist [mm] ((z_1*z_2)^2)^4 \in [/mm] V
--bin mir äußerst unsicher, ob ich das so schreiben kann.....--
3)Sei z [mm] \in \IC^\times, [/mm] dann existiert [mm] z^{-1} \in \IC^\times [/mm] mit [mm] z*z^{-1}=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow (z*z^{-1})^4=e^4
[/mm]
[mm] \gdw z^4*z^{-4}=e \gdw z^4*(z^{-1})^4=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert zu jedem v [mm] \in [/mm] V (mit [mm] v=z^4) [/mm] eine Element [mm] v^{-1} \in [/mm] V (mit [mm] v=(z^{-1})^4) [/mm] mit [mm] v*v^{-1}=1
[/mm]
zu c)
also gesucht ist ein Homomorphismus [mm] \varphi [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
[mm] Bild(\varphi)=V
[/mm]
[mm] Kern(\varphi)=N
[/mm]
denn nach dem Homomorphiesatz gilt [mm] \IC^\times/Kern(\varphi) \cong Bild(\varphi), [/mm] also [mm] \IC^\times/N \cong [/mm] V
Für [mm] \varphi [/mm] soll also gelten
[mm] \varphi(1)=\varphi(-1)=\varphi(i)=\varphi(-i)=1
[/mm]
und
[mm] \varphi(z)=z^4 [/mm] für alle z [mm] \in \IC^\times [/mm] \ N
wie kann ich denn zeigen, dass ein solcher Hom. existiert bzw. wie gebe ich den explizit an, bei Vektorräumen würd ich jetzt versuchen was mit den Basisvektoren anzustellen, aber bei Gruppenhoms...?
Vielen Dank im Voraus
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> zu a) ZZ: N Untergruppe von [mm]\IC^\times[/mm]
>
> 1) Es ist 1 [mm]\in[/mm] N
> 2) inverse Elemente:
> zu 1 ist das inv. Element 1
> zu -1 : -1
> zu i : -i
> zu -i : i
> 3) Abgeschlossenheit:
> 1*1=1 [mm]\in[/mm] N
> 1*(-1)=-1 [mm]\in[/mm] N
> ...
> hab das für jede Kombination der Elemente aus N
> gezeigt...
Hallo,
ja, so kannst Du das machen.
Du könntest es sogar noch vereinfachen (und damit leicht beschleunigen):
Du hast ja eine endliche Menge auf die Untergruppeneigenschaft zu untersuchen.
Hier reicht der Nachweis von nichtleer und abgeschlossen.
>
> Es ist also N Untergruppe von [mm]\IC^\times[/mm] . Da [mm]\IC^\times[/mm]
> eine abelsche Gruppe ist, ist auch N als UG von [mm]\IC^\times[/mm]
> abelsch und somit Normalteiler von [mm]\IC^\times.[/mm]
Hmm - ich bin mir nicht ganz sicher, ob Dir die Sache richtig klar ist:
daß nämlich N abelsch ist, ist hier nicht wesentlich - obgleich es selbstverständlich stimmt.
Wesentlich ist die Kommutativität v. [mm] C^{\*}.
[/mm]
>
> zu b)
>
> 1) da 1 [mm]\in \IC^\times[/mm] gilt [mm]1^4=1\in[/mm] V
> 2) Seien [mm]v_1, v_2 \in[/mm] V mit [mm]v_1=z_1^4, v_2=z_2^4,[/mm] dann
> ist
>
> [mm]v_1*v_2=z_1^4*z_2^4=(z_1*z_2)^8=((z_1*z_2)^2)^4,[/mm] da
> [mm](z_1*z_2)^2 \in \IC^\times[/mm] ist [mm]((z_1*z_2)^2)^4 \in[/mm] V
> --bin mir äußerst unsicher, ob ich das so schreiben
> kann.....--
Kannst Du nicht. Es ist nämlich i.a. [mm] z_1^4*z_2^4\not=(z_1*z_2)^8
[/mm]
> 3)Sei z [mm]\in \IC^\times,[/mm] dann existiert [mm]z^{-1} \in \IC^\times[/mm]
> mit [mm]z*z^{-1}=e[/mm]
> [mm]\Rightarrow (z*z^{-1})^4=e^4[/mm]
> [mm]\gdw z^4*z^{-4}=e \gdw z^4*(z^{-1})^4=e[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert zu jedem v [mm]\in[/mm] V (mit [mm]v=z^4)[/mm] eine
> Element [mm]v^{-1} \in[/mm] V (mit [mm]v=(z^{-1})^4)[/mm] mit [mm]v*v^{-1}=1[/mm]
Ich würde das anders aufschreiben. Sei [mm] z\in C^{\*}. [/mm] Dann hat z ein iverses Element [mm] z^{-1}.
[/mm]
Es sind [mm] z^4 [/mm] und [mm] (z^{-1})^4 [/mm] in [mm] C^{\*},
[/mm]
und es ist [mm] z^4*(z^{-1})^4=...
[/mm]
>
> zu c)
>
> also gesucht ist ein Homomorphismus [mm]\varphi[/mm] mit folgenden
> Eigenschaften:
> [mm]Bild(\varphi)=V[/mm]
> [mm]Kern(\varphi)=N[/mm]
> denn nach dem Homomorphiesatz gilt
> [mm]\IC^\times/Kern(\varphi) \cong Bild(\varphi),[/mm] also
> [mm]\IC^\times/N \cong[/mm] V
> Für [mm]\varphi[/mm] soll also gelten
> [mm]\varphi(1)=\varphi(-1)=\varphi(i)=\varphi(-i)=1[/mm]
> und
> [mm]\varphi(z)=z^4[/mm] für alle z [mm]\in \IC^\times[/mm] \ N
>
> wie kann ich denn zeigen, dass ein solcher Hom. existiert
> bzw. wie gebe ich den explizit an,
Es würde ja schon gewaltig mit Zaunpfählen gewunken, und auch Du schwenkst diesen Homomorphismus fröhlich, ohne es zu merken.
Nimm doch einfach diesen:
[mm] \varphi:C^{\*}\to C^{\*} [/mm] mit
[mm] \varphi(z):=z^4.
[/mm]
Nun überzeuge Dich davon, daß er's tut.
Gruß v. Angela
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