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| Aufgabe | | Für a, b [mm] \in \IR [/mm] sei Fa,b: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch Fa,b(x) = ax + b. Zeige, dass G = {Fa,b| a [mm] \not= [/mm] 0, b beliebig} eine Untergruppe von [mm] S(\IR) [/mm] ist. Ist G kommutativ? |
also ich weiß überhaupt nicht, wie ich hier ansetzen soll.
Ich vermute ich muss beweisen, dass zu zwei Elementen in G auch deren Verknüpfung in G liegt und zu jedem Element auch dessen inverses Element in G liegt. Außerdem muss das neutrale Element von [mm] S(\IR) [/mm] auch in G enthalten sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Fry |
Was ist denn S(R) ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Heureka89 |
Also die Symmetrische Gruppe der reellen Zahlen
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> Für a, b [mm]\in \IR[/mm] sei Fa,b: [mm]\IR \to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
definiert durch
> Fa,b(x) = ax + b. Zeige, dass G = {Fa,b| a [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0, b
> beliebig} eine Untergruppe von [mm]S(\IR)[/mm] ist. Ist G
> kommutativ?
Hallo,
sind in [mm] S(\IR) [/mm] alle bijektiven Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR? [/mm]
Sowas mußt Du dazuschreiben, Bezeichnungen variieren stark.
Und mit welcher Verknüpfung ist ist diese Gruppe versehen?
Ich reime mir zusammen: mit der nacheinanderausführung [mm] \circ.
[/mm]
Richtig geraten?
Du betrachtest nun eine ganz bestimmte Teilmenge hiervon - ich hoffe ja, Du hast gemerkt, [mm] F_{a,b} [/mm] eine Geradengleichung ist, wegen [mm] a\not=0 [/mm] ist keine der Geraden parallel zur x-Achse.
> also ich weiß überhaupt nicht, wie ich hier ansetzen
> soll.
> Ich vermute ich muss beweisen, dass zu zwei Elementen in G
> auch deren Verknüpfung in G liegt und zu jedem Element auch
> dessen inverses Element in G liegt. Außerdem muss das
> neutrale Element von [mm]S(\IR)[/mm] auch in G enthalten sein.
Na also, da haben wir ja schonmal die Untergruppenkriterien.
Fangen wir hinten an:
Welches ist denn das neutrale Element n in [mm] S(\IR)?
[/mm]
Und? Kannst Du diese Abbildung schreiben als n(x)= 1.Zahl*x+2.Zahl ?
Die Abgeschlossenheit:
Seien [mm] F_{a,b}, F_{c,d} \in [/mm] G.
Du mußt nun feststellen, ob [mm] F_{a,b} \circ F_{c,d} [/mm] auch in G ist.
Rechne es also aus: sei [mm] x\in \IR.
[/mm]
Es ist [mm] (F_{a,b} \circ F_{c,d} [/mm] )(x)= ...= ???
Das inverse Element:
Welches für vorgegebenes a,b die Umkehrfunktion von [mm] F_{a,b}? [/mm] Nun mußt Du noch festetellen, ob sie die passende Gestalt hat.
Gruß v. Angela
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Also [mm] S(\IR) [/mm] sind alle bijektiven Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Außerdem ist die Verknüpfung die Komposition von Abbildungen [mm] e=Identität\IR [/mm] (Das verstehe ich nicht ganz).
Also ich habe bewiesen, dass die Gruppe bijektiv ist.(Also ich weiß nicht, ob man es braucht?)
Also ich habe es auf Addition überprüft, indem ich zwei Funtionen Fa,b und Fc,d genommen habe und die Summe auf die nötige Form gebracht habe.
Bezüglich Multiplikation habe ich einfach die Komposition von Fa,b [mm] \circ [/mm] Fc,d genommen und die auf die nötige Form gebracht.
Bezüglich des Inversen habe ich einfach F^-1a,b (also (x-b)/a) und dann die Komposition Fa,b [mm] \circ [/mm] F^-1a,b.
Das mit den neutralen Elementen, weiß ich nicht, wie ich es zu beweisen habe.
Ich weiß auch nicht, ob die anderen Schrittte richtig waren.
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> Also [mm]S(\IR)[/mm] sind alle bijektiven Abbildungen von [mm]\IR[/mm] nach
> [mm]\IR.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Außerdem ist die Verknüpfung die Komposition von
> Abbildungen
Hallo,
also genauso, wie ich mir das hellsichtig zusammengereimt habe.
e=Identität_{\IR}(Das verstehe ich nicht ganz).
Damit ist gemeint, daß das neutrale Element in S(\IR) die identische Abbildung auf \IR ist, id_{\IR}.
id_{\IR}: \IR \to \IR
id_{\IR=(x):=x
>
> Also ich habe bewiesen, dass die Gruppe bijektiv ist.(Also
> ich weiß nicht, ob man es braucht?)
Das wird kaum möglich sein. Gruppen sind nicht bijektiv. Bijektiv können Abbildungen sein.
Falls Du allerdings gezeigt hast, daß für alle erlaubten a,b\in \IR die Abbildungen F_{a,b} bijektiv sind, ist das eine gute Idee, denn damit weiß man, daß G eine teilmenge von S(\IR) ist.
> Also ich habe es auf Addition überprüft, indem ich zwei
> Funtionen Fa,b und Fc,d genommen habe und die Summe auf die
> nötige Form gebracht habe.
Ömm - eine Summe kommt hier nicht vor. Die Verknüpfung ist doch n.V. die Nacheinanderausführung von Abbildungen.
Ich hatte in meinem anderen Post doch genau geschrieben, was Du tun mußt:
"Die Abgeschlossenheit:
Seien $ F_{a,b}, F_{c,d} \in $ G.
Du mußt nun feststellen, ob $ F_{a,b} \circ F_{c,d} $ auch in G ist.
Rechne es also aus: sei $ x\in \IR. $
Es ist $ (F_{a,b} \circ F_{c,d} $ )(x)= ...= ???"
> Bezüglich Multiplikation habe ich einfach die Komposition
> von Fa,b [mm]\circ[/mm] Fc,d genommen und die auf die nötige Form
> gebracht.
Eine Multiplikation steht uns nicht zur verfügung. Nur die Komposition. Es soll keine Körpereigenschaft beweisen werden, sondern "Gruppe". Hier hat man nur eine Verknüpfung.
(Möglicherweise hast Du aber das Richtige getan.)
> Bezüglich des Inversen habe ich einfach F^-1a,b (also
> (x-b)/a) und dann die Komposition Fa,b [mm]\circ[/mm] F^-1a,b.
Von der Idee her ist das richtig. (Verwende bitte den Formeleditor, Eingabehilfen sind unterhalb des Eingabefensters.)
> Das mit den neutralen Elementen, weiß ich nicht, wie ich
> es zu beweisen habe.
Erstens gibt's nur ein neutrales Element.
Zweitens ist es mir rätselhaft, wie Du über inverse Elemente sprechen konntest, ohne das neutrale zu kennen.
Drittens hast Du das neutrale Element in [mm] S(\IR) [/mm] ja schon benannt, und Du mußt gucken, ob es auch in G liegt.
Gruß v. Angela
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Hallo,
also das mit der Bijektion hattets du natürlich recht. Ich habe gezeigt, dass alle Abbildungen von G bijektiv sind und somit ist G dann Teilmenge von [mm] S(\IR). [/mm] Kann ich eigentlich durch diese Tatsache etwas auf das neutrale Element von G schließen?
Für [mm] (F_a,_b \circ F_c,_d) [/mm] (x) bekomme ich dann acx + ad +b raus.
Nun ist ja das neutrale Element von [mm] S(\IR): id_\IR. [/mm] Aber wie überprüfe ich, ob es auch das neutrale Element von G ist?
Reicht es [mm] F_a,_b(id_\IR) [/mm] zu nehmen?
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> Hallo,
> also das mit der Bijektion hattets du natürlich recht. Ich
> habe gezeigt, dass alle Abbildungen von G bijektiv sind und
> somit ist G dann Teilmenge von [mm] S(\IR).
[/mm]
Hallo,
dann bin ich beruhigt.
> Kann ich eigentlich
> durch diese Tatsache etwas auf das neutrale Element von G
> schließen?
Nein. Du kannst daraus erstmal nur schließen, daß es überhaupt sinnvoll ist zu prüfen, ob G ein Unterraum von [mm] S(\IR) [/mm] ist. Denn wenn G keine Teilmenge von [mm] S(\IR) [/mm] wäre, könntest Du ja gleich aufhören und Kaffee trinken oder wahlweise ins Bett gehen oder die anderen drei Übungszettel bearbeiten, die noch auf Halde liegen.
> Für [mm](F_a,_b \circ F_c,_d)[/mm] (x) bekomme ich dann acx + ad +b raus.
Ich auch.
> Nun ist ja das neutrale Element von [mm]S(\IR): id_\IR.[/mm] Aber
> wie überprüfe ich, ob es auch das neutrale Element von G
> ist?
Daß es neutral ist, brauchst Du gar nicht zu prüfen, denn es ist doch neutral in der Obergruppe [mm] S(\IR). [/mm] Zu prüfen ist, ob es in G liegt.
Und warum liegt es in G? Na, es ist id(x)=x=1*x+0, also ist's drin.
Nochmal ein Wort dazu, warum man das Tamtam mit dem neutralen Element macht, wenn es um die Untergruppe geht:
Daß es ein neutrale Element gibt, steht ja völlig außer Frage, die Frage ist, ob es auch in G liegt, aber selbst das ist ja klar, wenn man gezeigt hat, daß die Verknüpfung abgeschlossen ist in der Teilmenge und das Inverse zu jedem Element drin.
Es geht darum, daß man sichern muß, daß die Teilmenge, über die man redet, nichtleer ist. Das könnte man mit jedem anderen Element auch zeigen - und viele Formulierungen der Untergruppenkriterien sind auch so. ich könnte auch sagen [mm] F_{1,1} [/mm] =x+1 ist in G, also ist die menge nichtleer.
Daß geschickterweise gleich nachschaut, ob das neutrale überhaupt in der Menge liegt, hat den Grund, daß es zur Minimalausstattung einer Gruppe gehört, man also gleich einpacken kann, wenn es nicht in G liegt. Zehntausend andere Elemente nützen nichts, wenn das neutrale nicht in der Menge ist.
Weil es i.d.R. so einfach ist nachzuschauen, ob das neutrale Element in der Menge ist, sollte man das unbedingt als ersts machen. Wenn's drin ist, hat man nichts verloren, wenn's nicht drin ist, kann man sofort aufhören, ohne zuvor überflüssigerweise mühsame Rechnungen gemacht zu haben.
Gruß v. Angela
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