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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit Einselement e [mm] \in [/mm] G.
1. Zeigen Sie [mm] (a^{-1})^{-1}=1 [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] G. |
Hallo Leute,
würde gerne diese Aufgabe lösen, mir sind die Gruppenaxiome soweit bekannt und ich darf ja nur diese benutzen, um dies zu beweisen, habe mal so begonnen:
[mm] a=a*e=a*(a*a^{-1})=a(a*e*a^{-1})=a(a*(a*a^{-1})*a^{-1})
[/mm]
=> [mm] e=(a*(a*a^{-1})*a^{-1})= e=(a*e*a^{-1})=(a*a^{-1})=e
[/mm]
Gilt das schon als Beweis oder ist das Blödsinn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ups, das soll heißen:
[mm] (a^{-1})^{-1}=a
[/mm]
Wenn ich so darüber nachdenke, kommt der Ausdruck gar nicht bei mir vor, kann also gar nicht stimmen, hab mich vertan.
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Hallo hubbel,
> Sei G eine Gruppe mit Einselement e [mm]\in[/mm] G.
>
> 1. Zeigen Sie [mm](a^{-1})^{-1}=\red{1}[/mm] für alle a [mm]\in[/mm] G.
Da muss doch [mm]\red{a}[/mm] stehen ...
> Hallo Leute,
>
> würde gerne diese Aufgabe lösen, mir sind die
> Gruppenaxiome soweit bekannt und ich darf ja nur diese
> benutzen, um dies zu beweisen, habe mal so begonnen:
>
> [mm]a=a*e=a*(a*a^{-1})=a(a*e*a^{-1})=a(a*(a*a^{-1})*a^{-1})[/mm]
>
> => [mm]e=(a*(a*a^{-1})*a^{-1})= e=(a*e*a^{-1})=(a*a^{-1})=e[/mm]
>
> Gilt das schon als Beweis oder ist das Blödsinn?
Du hast da zwar richtig hin- und her umgeformt, aber von der zu zeigenden Aussage kann ich nix entdecken ...
Setze mal an: [mm]\left(a^{-1}\right)^{-1} \ = \ x \ \ (\star)[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm]x=a[/mm] ist.
Multipliziere in [mm](\star)[/mm] auf beiden Seiten etwa von links mit [mm]a^{-1}[/mm], dessen Inverses ja [mm]\left(a^{-1}\right)^{-1}[/mm] ist ...
Du brauchst hier eigentlich nur die Eigenschaft, dass das Inverse eind. ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Du meinst also:
[mm] a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=a^{-1}*x
[/mm]
Wenn nun [mm] (a^{-1})^{-1}=a [/mm] habe ich:
[mm] a^{-1}*a=a^{-1}*x
[/mm]
Und da Inverese eindeutig sind, folgt: x=a, richtig?
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Hallo nochmal,
> Du meinst also:
>
> [mm]a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=a^{-1}*x[/mm]
Ja!
>
> Wenn nun [mm](a^{-1})^{-1}=a[/mm] habe ich:
Das hat du ja nicht, das willst du zeigen.
Aber oben steht doch auf der linken Seite das Produkt des ELementes [mm] $a^{-1}$ [/mm] mit seinem Inversen [mm] $\left(a^{-1}\right)^{-1}$
[/mm]
Da steht also [mm] $e=a^{-1}\cdot{}x$
[/mm]
Nun ist es doch nicht mehr weit - denke dran, was du zeigen willst: $x=a$ ...
>
> [mm]a^{-1}*a=a^{-1}*x[/mm]
>
> Und da Inverese eindeutig sind, folgt: x=a, richtig?
Nee, so geht das nicht
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, ja klar, verstehe, ja [mm] a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=e [/mm] durch das Inversenaxiom.
[mm] e=a^{-1}*x=>x=a [/mm]
So meinst du das doch oder?
Dafür brauche ich erst noch ein Auge, aber verstehe.
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Hallo nochmal,
> Ah, ja klar, verstehe, ja [mm]a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=e[/mm] durch das
> Inversenaxiom.
>
> [mm]e=a^{-1}*x=>x=a[/mm]
>
> So meinst du das doch oder?
Genauso meinte ich das!
>
> Dafür brauche ich erst noch ein Auge, aber verstehe.
Gut, gut!
Schönen Abend!
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | 2. Falls e' [mm] \in [/mm] G und a [mm] \in [/mm] G mit e'a=a, beweisen Sie e'=e. |
Super, danke!
Das oben ist die 2. Aufgabe, ich hab das Gefühl, dass ich zu einfach denke:
Durch das Inversenaxiom gilt ja:
e*a=a
Also benutze ich:
e'a=a=e*a
Wenn ich nun beide Seiten mit [mm] a^{-1} [/mm] von rechts verknüpfe, erhalte ich:
[mm] e'*a=a=e*a<=>e'*a*a^{-1} =e*a*a^{-1} [/mm] => e'=e
Dies kommt mir nun etwas zu einfach vor, stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 So 22.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Das oben ist die 2. Aufgabe, ich hab das Gefühl, dass ich
> zu einfach denke:
>
> Durch das Inversenaxiom gilt ja:
Neutrale-Element-Axiom meinst du.
>
> e*a=a
>
> Also benutze ich:
>
> e'a=a=e*a
>
> Wenn ich nun beide Seiten mit [mm]a^{-1}[/mm] von rechts verknüpfe,
> erhalte ich:
>
> [mm]e'*a=a=e*a<=>e'*a*a^{-1} =e*a*a^{-1}[/mm] => e'=e
>
> Dies kommt mir nun etwas zu einfach vor, stimmt das?
Ja! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | 3. Beweisen Sie, dass [mm] (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} [/mm] für alle a, b [mm] \in [/mm] G |
Da weiß ich nun aber leider gar nicht, wie ich da rangehen soll, weil in keinem Axiom was über Vertauschung gesagt, hat jemand einen Tipp für mich? Und wirklich nur einen Tipp bitte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 22.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> 3. Beweisen Sie, dass [mm](ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}[/mm] für alle a, b
> [mm]\in[/mm] G
> Da weiß ich nun aber leider gar nicht, wie ich da
> rangehen soll, weil in keinem Axiom was über Vertauschung
> gesagt, hat jemand einen Tipp für mich? Und wirklich nur
> einen Tipp bitte.
Beweise, dass [mm] $b^{-1}a^{-1}$ [/mm] das Inverse von $ab$ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Hm... meine Ansätze scheitern alle samt:
[mm] b^{-1}a^{-1}=e*b^{-1}a^{-1}*e=a*a^{-1}*b^{-1}a^{-1}*b*b^{-1}
[/mm]
Ansich muss ich es doch irgendwie schaffen b und a zu vertauschen zu a und b, aber irgendwie klappt das nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 22.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]b^{-1}a^{-1}=e*b^{-1}a^{-1}*e=a*a^{-1}*b^{-1}a^{-1}*b*b^{-1}[/mm]
>
> Ansich muss ich es doch irgendwie schaffen b und a zu
> vertauschen zu a und b, aber irgendwie klappt das nicht...
Du musst auch gar nicht a und b vertauschen. (Das geht nur in abelschen Gruppen.)
Mein Tipp lautete:
> Beweise, dass [mm] $b^{-1}a^{-1}$ [/mm] das Inverse von $ab$ ist.
Was heißt denn, dass [mm] $b^{-1}a^{-1}$ [/mm] invers zu $ab$ ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Nunja, dass:
[mm] b^{-1}a^{-1}*a*b=e
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetz richtig hinschauen oder Klammern setzen!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Nunja, dass:
>
> [mm]b^{-1}a^{-1}*a*b=e[/mm]
Das sieht gut aus!
(Nach Definition des Inversen wäre zusätzlich auch [mm] $ab*b^{-1}a^{-1}=e$ [/mm] zu verifizieren.
Aber wenn du [mm] $b^{-1}a^{-1}*ab=e$ [/mm] gezeigt hast, kannst du alternativ mit [mm] $(ab)^{-1}$ [/mm] von rechts multiplizieren, um zur Behauptung zu gelangen.)
Verifiziere also [mm] $b^{-1}a^{-1}*ab=e$ [/mm] mittels Leduarts Tipps!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich würde dann nun folgendes tun:
[mm] b^{-1}*a^{-1}*(ab)=e
[/mm]
Auf beiden Seiten würde ich mit [mm] (ab)^{-1} [/mm] verknüpfen:
[mm] b^{-1}*a^{-1}*(ab)*(ab)^{-1} =e*(ab)^{-1} <=>b^{-1}*a^{-1}=(ab)^{-1}
[/mm]
Zählt das schon als Beweis? Ich nutze einmal das Assoziativgesetz und dann noch das Inversengesetz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich würde dann nun folgendes tun:
>
> [mm]b^{-1}*a^{-1}*(ab)=e[/mm]
>
> Auf beiden Seiten würde ich mit [mm](ab)^{-1}[/mm] verknüpfen:
>
> [mm]b^{-1}*a^{-1}*(ab)*(ab)^{-1} =e*(ab)^{-1} <=>b^{-1}*a^{-1}=(ab)^{-1}[/mm]
>
> Zählt das schon als Beweis? Ich nutze einmal das
> Assoziativgesetz und dann noch das Inversengesetz.
(Und die Eigenschaft von e als neutrales Element.)
Soweit, so gut.
Wenn du uns jetzt noch [mm]b^{-1}*a^{-1}*(ab)=e[/mm] vorrechnest, bist du fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
[mm] b^{-1}*a^{-1}*(ab)=e
[/mm]
[mm] b^{-1}*a^{-1}*(ab)=b^{-1}*b
[/mm]
[mm] a^{-1}*(ab)=b
[/mm]
[mm] (a^{-1}*a)b=b
[/mm]
b=b
Also gilt:
[mm] b^{-1}*a^{-1}*(ab)=e
[/mm]
Kann ich das so machen? Es kommt ja am Ende eine wahre Aussage heraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]b^{-1}*a^{-1}*(ab)=e[/mm]
>
> [mm]b^{-1}*a^{-1}*(ab)=b^{-1}*b[/mm]
>
> [mm]a^{-1}*(ab)=b[/mm]
>
> [mm](a^{-1}*a)b=b[/mm]
>
> b=b
>
> Also gilt:
>
> [mm]b^{-1}*a^{-1}*(ab)=e[/mm]
>
> Kann ich das so machen? Es kommt ja am Ende eine wahre
> Aussage heraus.
Wenn du bis zur Aussage $b=b$ überall Äquivalenzpfeile setzt, ja.
Schöner ist für meinen Geschmack eine fortlaufende Rechnung:
[mm]b^{-1}*a^{-1}*(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}eb=b^{-1}b=e[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Seien G und G' Gruppen und f:G->G' ein Gruppenhomomorphismus.
(i) Zeigen Sie, dass ker f eine Untergruppe von G ist.
(ii) Beweisen Sie, dass [mm] f(a^{-1})=f(a)^{-1} [/mm] für a [mm] \in [/mm] G. |
Ja, ich meinte natürlich mit Äquivalzenzpfeilen, aber weiß nun Bescheid, danke.
Zu der neuen Aufgabe, erstmal ein paar allgemeine Fragen:
ker f sind doch alle Elemente von G, die auf 0 abgebildet werden, sprich:
ker f(x)=0 x [mm] \in [/mm] G, richtig?
Für eine Untergruppe muss ich zeigen, dass das neutrale Element aus ker f auch in G liegt, dass ein Element aus ker f mit einem anderen Element von ker f verknüpft auch wieder im ker f liegt und, dass das Inverse eines Elementes aus ker f auch in ker f liegt, richtig?
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Hallo hubbel,
besser, du machst mal einen neuen thread auf. Hier wird's langsam sehr unübersichtlich ...
> Seien G und G' Gruppen und f:G->G' ein
> Gruppenhomomorphismus.
>
> (i) Zeigen Sie, dass ker f eine Untergruppe von G ist.
> (ii) Beweisen Sie, dass [mm]f(a^{-1})=f(a)^{-1}[/mm] für a [mm]\in[/mm] G.
> Ja, ich meinte natürlich mit Äquivalzenzpfeilen, aber
> weiß nun Bescheid, danke.
>
> Zu der neuen Aufgabe, erstmal ein paar allgemeine Fragen:
>
> ker f sind doch alle Elemente von G, die auf 0
Ja, wobei 0 das neutrale Element in [mm]G'[/mm] ist
> abgebildet
> werden, sprich:
>
> ker f(x)=0 x [mm]\in[/mm] G, richtig?
Du meinst es glaube ich richtig, aber der Kern ist eine Menge (Teilmenge von [mm]G[/mm]), schreibe besser:
[mm]\operatorname{ker}(f)=\{x\in G:f(x)=0=0_{G'}\}\subset G[/mm]
>
> Für eine Untergruppe muss ich zeigen, dass das neutrale
> Element aus ker f auch in G liegt,
Nee, das neutrale Element aus der Obergruppe, also [mm] $0_G$ [/mm] aus G, muss auch in der Untergruppe, also in [mm]\operatorname{ker}(f)[/mm] sein
> dass ein Element aus ker
> f mit einem anderen Element von ker f verknüpft auch
> wieder im ker f liegt und, dass das Inverse eines Elementes
> aus ker f auch in ker f liegt, richtig?
Jo, teilweise 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mo 23.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, danke soweit, ich mach später mal einen neunen Thread auf, versuche es aber erstmal selbst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie wär es mit [mm] b^{-1}*a^{-1}*a*b [/mm] als Anfang?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 So 22.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hubbel,
alternativ:
[mm] $(a^{-1})^{-1}$ [/mm] ist das Element [mm] $b\in [/mm] G$ mit [mm] $a^{-1}*b=b*a^{-1}=e$.
[/mm]
$b=a$ leistet dies nach Definition von [mm] $a^{-1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 So 22.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Verstehe, danke dir.
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