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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mo 14.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei (G, •) eine Gruppe mit Neutralelement e und (M,•) eine Menge mit assoziativer Verknüpfung •. Beweise oder widerlege:
a) Die Menge {1,2,3,4,5} ist Untergruppe von [mm] (\IZ, [/mm] +).
b) [mm] \forall [/mm] a,b,c,d,f [mm] \in [/mm] G gilt: (a•b)•(c•(d•f)) = a•(((b•c)•d)•f)
c) [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] G [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G: y•x=e
d) [mm] \exists [/mm] x, y, z [mm] \in [/mm] G : x•y=z
e) Wenn ein e' [mm] \in [/mm] M existiert, sodass [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] x' [mm] \in [/mm] M :
x' • x=e', dann ist (M,•) eine Gruppe. |
a) Ich würde meinen: Aussage ist falsch, denn z.B.: 3+4=7 [mm] \not\in [/mm] M.
Also ist das Kriterium für eine Untergruppe nicht erfüllt.
b) Aussage wahr. Kann man hier einfach mit Assoziativität argumentieren?
(a•b)•(c•(d•f)) = (a•b)•((c•d)•f) = a•(b•((c•d)•f))=a•(((b•c)•d)•f) ??
c) Gilt doch, wenn y das Inverse von x ist.
d) Intuitiv: Aussage wahr, aber wie ich das beweisen soll, weiß ich nicht.
Aber es muss doch gelten x [mm] \not= [/mm] 0
e) Keine Ahnung...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 15.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> a) Ich würde meinen: Aussage ist falsch, denn z.B.: 3+4=7
> [mm]\not\in[/mm] M.
Genau! Am Ende solltest du [mm] $\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] statt M schreiben, denn M hat in dieser Aufgabe eine andere Bedeutung...
> b) Aussage wahr. Kann man hier einfach mit Assoziativität
> argumentieren?
Ja.
> (a•b)•(c•(d•f)) = (a•b)•((c•d)•f) =
> a•(b•((c•d)•f))=a•(((b•c)•d)•f) ??
Beim letzten Gleichheitszeichen würde ich noch als Zwischenschritt
a•((b•(c•d))•f)
einfügen, damit wirklich jeder Schritt direkt aus der Assoziativität von • folgt.
> c) Gilt doch, wenn y das Inverse von x ist.
Vorsicht! Von welchem x? Die Aussage ist, dass es ein [mm] $y\in [/mm] G$ gibt, dass für alle [mm] $x\in [/mm] G$ gleichzeitig y•x=e erfüllt.
> d) Intuitiv: Aussage wahr, aber wie ich das beweisen soll,
> weiß ich nicht.
Du benötigst Elemente [mm] $x,y,z\in [/mm] G$. Da G eine beliebige Gruppe ist, deren Gestalt wir nicht näher kennen, ist das einzige Element, dessen Existenz wir wissen, das neutrale Element e...
> Aber es muss doch gelten x [mm]\not=[/mm] 0
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Was meinst du mit 0?
> e) Keine Ahnung...
Betrachte mal [mm] $M=\IR$, •$=\cdot$ [/mm] die gewöhnliche Multiplikation reeller Zahlen und $e'=0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 15.11.2011 | | Autor: | rollroll |
zu c) Ich meinete, wenn gilt: [mm] y=x^{-1}...
[/mm]
zu d) na ich meine , dass ich nicht 0 sein darf, weil [mm] 0^{-1} [/mm] doch gar nicht definiert ist... Soll man annehmen , das eines der drei Elemente e entspricht?
zu e) Wenn doch dann x'=0 ist, würde dich Aussge soch für alle x gelten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Di 15.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> zu c) Ich meinete, wenn gilt: [mm]y=x^{-1}...[/mm]
Das hatte ich schon verstanden. Die Frage ist aber nicht, ob es zu jedem einzelnen [mm] $x\in [/mm] G$ ein [mm] $y\in [/mm] G$ gibt mit y•x=e (diese Frage hättest du völlig richtig beantwortet), sondern die Frage ist, ob es ein einziges globales [mm] $y\in [/mm] G$ gibt, dass für alle [mm] $x\in [/mm] G$ gleichzeitig y•x=e erfüllt. $y$ darf also nicht von $x$ abhängen.
> zu d) na ich meine , dass ich nicht 0 sein darf, weil
> [mm]0^{-1}[/mm] doch gar nicht definiert ist...
Wahrscheinlich bist du gedanklich gerade bei einem Körper statt bei einer Gruppe:
Im Allgemeinen gibt es in einer multiplikativ geschriebenen Gruppe G gar kein Element [mm] $0\in [/mm] G$ (und wenn, hat auch dieses ein Inverses). In additiv geschriebenen Gruppen (d.h. solche, deren Verknüpfung mit + bezeichnet wird) schreibt man häufig $0$ für das neutrale Element. Auch dann hat dieses ein Inverses, nur schreibt man es dann üblicherweise in der Form $-0$ statt [mm] $0^{-1}$.
[/mm]
> Soll man annehmen ,
> das eines der drei Elemente e entspricht?
Viel andere Wahl hast du nicht. Und für das zweite Element auch nicht. Nimm also $x=y=e$. Und für z nimmst du dann eben x•y. Wenn du möchtest, kannst du z noch näher "ausrechnen".
> zu e) Wenn doch dann x'=0 ist, würde dich Aussge soch für
> alle x gelten?
Genau, in [mm] $M=\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Multiplikation [mm] •$=\cdot$ [/mm] gibt es also ein Element [mm] $e'\in [/mm] M$ mit [mm] $\forall x\in M\exists x'\in M:x'\cdot [/mm] x=e'$. Ist dieses (M,•) eine Gruppe? Also?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 15.11.2011 | | Autor: | rollroll |
zu c) Global kann es doch nur gelten, wenn x=e ist...
zu d) Wenn man ansetzt x=y=z=e. Wie geht dann der Beweis weiter. Das die Gleichung dann richtig ist, ist mir klar.
zu e) Die Aussage ist also falsch , weil z.B. (R,•) keine Gruppe ist. Mit • = gewöhn. Multiplikation
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 15.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Also bei c) z.B. Gruppe (1,2 , •) --> 1 • 2 [mm] \not= [/mm] e=1
Hab noch eine Frage (passt auch hier hin): Die Menge {1,2} zusammen mit der Verknüpfung • definiert durch die Verknüpfungstabelle ist eine Gruppe:
• | 1 | 2
1 1 1
2 2 2
Das Argument, dass 2•1 hier ungleich 1•2 ist, gilt wohl nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Di 15.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Hab noch eine Frage (passt auch hier hin): Die Menge {1,2}
> zusammen mit der Verknüpfung • definiert durch die
> Verknüpfungstabelle ist eine Gruppe:
> • | 1 | 2
> 1 1 1
> 2 2 2
Dadurch ist keine Gruppe gegeben (es gibt z.B. kein neutrales Element).
Ich denke mal, in der letzten Spalte sollen 2 und 1 statt 1 und 2 stehen. Dann liegt eine Gruppe mit neutralem Element 1 vor.
> Also bei c) z.B. Gruppe (1,2 , •) --> 1 • 2 [mm]\not=[/mm] e=1
Zu zeigen ist, dass kein [mm] $y\in \{1,2\}$ [/mm] existiert, so dass für alle [mm] $x\in\{1,2\}$ [/mm] gilt y•x=1.
Du könntest z.B. für y=1 und y=2 jeweils ein [mm] $x\in\{1,2\}$ [/mm] angeben mit [mm] y•$x\not=1$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Di 15.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Nein, nein, die Tabelle ist schon richtig angegeben.
Wie kann man denn begründen, dass es kein neutales Element gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Di 15.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> • | 1 | 2
> 1 1 1
> 2 2 2
> Nein, nein, die Tabelle ist schon richtig angegeben.
Dann hat sich der Prof. möglicherweise verschrieben.
> Wie kann man denn begründen, dass es kein neutales
> Element gibt?
1 ist kein neutrales Element, denn [mm] 1•2$=1\not=2$.
[/mm]
2 ist kein neutrales Element, denn [mm] 2•1$=2\not=1$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Di 15.11.2011 | | Autor: | s9mamajl |
Hallo,
ich wollte ergänzen, dass das Multiplikationszeichen nicht die Verknüpfung der Multiplikation ist, sondern diese Verknüpfung soll durch diese Tabelle definiert sein.
D.h. die Verknüpfung " * " ist definiert durch:
1*1 = 1
1*2 = 1
2*1 = 2
2*2 = 2
Das ist das, was rollroll mit der Tabelle aussagen wollte.
Des weiteren soll man zeigen/widerlegen , dass die Menge M={1,2}, zusammen mit der Verknüpfung " * " eine Gruppe ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Di 15.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> ich wollte ergänzen, dass das Multiplikationszeichen
> nicht die Verknüpfung der Multiplikation ist, sondern
> diese Verknüpfung soll durch diese Tabelle definiert
> sein.
>
> D.h. die Verknüpfung " * " ist definiert durch:
> 1*1 = 1
> 1*2 = 1
> 2*1 = 2
> 2*2 = 2
>
> Das ist das, was rollroll mit der Tabelle aussagen wollte.
Davon bin ich auch ausgegangen. Und eben mit dieser Verknüpfung wird [mm] $\{1,2\}$ [/mm] nicht zu einer Gruppe.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 15.11.2011 | | Autor: | rollroll |
D.h. die Erklärung mit dem fehlenden Neutalelement ist weiter gültig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Mi 16.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> D.h. die Erklärung mit dem fehlenden Neutalelement ist
> weiter gültig?
Ja, genau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:06 Mi 16.11.2011 | | Autor: | s9plbrun |
Hallo Allerseits,
tut mir leid, dass ich mich jetzt hier einfach so einmische, aber ich glaube, rollroll ist aus Versehen bei Teil d) ein kleiner Fehler in der Aufgabenstellung unterlaufen...
Da steht doch nicht [mm] \exists [/mm] sondern:
[mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] G: [mm] x\cdot{}y=z \gdw y=z*x^{-1}
[/mm]
Das würde ja insofern was ändern, weil es ja dann nicht mehr reicht, einfach zu sagen: für x=y=z=e gilt das, oder?
Gruß PB
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mi 16.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo s9plbrun und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> tut mir leid, dass ich mich jetzt hier einfach so
> einmische, aber ich glaube, rollroll ist aus Versehen bei
> Teil d) ein kleiner Fehler in der Aufgabenstellung
> unterlaufen...
> Da steht doch nicht [mm]\exists[/mm] sondern:
> [mm]\forall[/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] G: [mm]x\cdot{}y=z \gdw y=z*x^{-1}[/mm]
> Das
> würde ja insofern was ändern, weil es ja dann nicht mehr
> reicht, einfach zu sagen: für x=y=z=e gilt das, oder?
Völlig richtig.
Tipp: Es gilt [mm] $y=z\cdot x^{-1}\gdw y\cdot [/mm] x=z$ für alle [mm] $x,y,z\in [/mm] G$.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 16.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ups, ja stimmt, sorry, tippfehler meinerseites...
da es eine Äquivalenz ist, muss man ja dann beide Richtungen zeigen.
,,-->'' x•y=z , vielleicht könnte man annehmen, dass y•e=y ist, wenn es das neutralelement ist...
Aber wie geht's dann weiter?
Hab übrigens Teil f) vergessen (hab glaub ich d und f vermischt, deshalb der Fehler)
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \n [/mm] G [mm] \exists c\in [/mm] G: a•c=b
Spontan würde ich behaupten, dass die Aussage stimmt, weil mir kein Gegenbeispiel einfällt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mi 16.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ups, ja stimmt, sorry, tippfehler meinerseites...
> da es eine Äquivalenz ist, muss man ja dann beide
> Richtungen zeigen.
Wenn die Äquivalenz stimmt, ja.
> ,,-->'' x•y=z , vielleicht könnte man annehmen, dass
> y•e=y ist, wenn es das neutralelement ist...
> Aber wie geht's dann weiter?
Die rechte Seite [mm] (y=z•$x^{-1}$) [/mm] ist äquivalent zu y•x=z. (*)
Also sehen linke (x•y=z) und rechte Seite (äquivalent zu y•x=z) sehr ähnlich aus. Man könnte problemlos die Äquivalenz beweisen, wenn für alle [mm] $x,y\in [/mm] G$ gelten würde: x•y=y•x. Gilt das in jeder Gruppe G?
Warum gilt nun eigentlich (*)?
ausführliche Version:
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Falls [mm] y=z•$x^{-1}$ [/mm] folgt [mm] y•x=(z•$x^{-1}$)•x=z•(x•$x^{-1}$)=z•e=z.
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Falls y•x=z folgt [mm] y=y•e=y•(x•$x^{-1}$)=(y•x)•$x^{-1}$=z•$x^{-1}$.
[/mm]
Kurzversion:
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Aus [mm] y=z•$x^{-1}$ [/mm] folgt durch Rechtsmultiplikation mit x wie gewünscht y•x=z.
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Aus y•x=z folgt durch Rechtsmultiplikation mit [mm] $x^{-1}$ [/mm] wie gewünscht [mm] y=z•$x^{-1}$.
[/mm]
> Hab übrigens Teil f) vergessen (hab glaub ich d und f
> vermischt, deshalb der Fehler)
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\n[/mm] G [mm]\exists c\in[/mm] G: a•c=b
> Spontan würde ich behaupten, dass die Aussage stimmt,
> weil mir kein Gegenbeispiel einfällt...
Mit der Vermutung liegst du richtig. Versuche die Gleichung a•c=b nach c aufzulösen, um an einen Kandidaten für c zu kommen. Dabei kannst du eine Regel ähnlich zu obiger Regel (*) benutzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 16.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Da laut Definition die Kommutativität kein zwingendes Kriterium ist, damit eine Gruppe vorliegt, gilt die Aussage nicht für alle Gruppen.
Nach c aufgelöst , gilt: c=b• [mm] a^{-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mi 16.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Da laut Definition die Kommutativität kein zwingendes
> Kriterium ist, damit eine Gruppe vorliegt, gilt die Aussage
> nicht für alle Gruppen.
Genau. Kennt ihr auch ein Beispiel für eine nicht kommutative Gruppe? Dann lohnt es sich, darin mal nach einem Gegenbeispiel Ausschau zu halten.
> Nach c aufgelöst , gilt: c=b• [mm]a^{-1}[/mm]
Das stimmt leider nicht. Bedenke, dass die Gruppe nicht kommutativ sein muss. Es macht also einen Unterschied, ob du [mm] b•$a^{-1}$ [/mm] oder [mm] $a^{-1}$•b [/mm] schreibst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 16.11.2011 | | Autor: | rollroll |
z.B.: Sym(M)={f: M-->M, f bijektiv} ist nicht abelsch (wenn M mehr als 2 Elemente enthält) mit der Komposition von Abbildung als verknüpfung.
Also wäre c= [mm] a^{-1} [/mm] • b richtig, oder meinst du, dass der Ansatz an sich falsch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mi 16.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> z.B.: Sym(M)={f: M-->M, f bijektiv} ist nicht abelsch (wenn
> M mehr als 2 Elemente enthält) mit der Komposition von
> Abbildung als verknüpfung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nehmen wir z.B. der Einfachheit halber [mm] $M=\{1,2,3\}$. [/mm] Finde zwei Elemente [mm] $f,g\in \operatorname{Sym}(M)$ [/mm] mit [mm] $f\circ g\not=g\circ [/mm] f$.
Dann kannst du schreiben: Würde Aussage d) gelten, müsste für $x=f$, $y=g$, [mm] $z=f\circ [/mm] g$ aus x•y=z folgen, dass [mm] y=z•$x^{-1}$ [/mm] und somit [mm] $g\circ x=y$•x=z=$f\circ [/mm] g$ gelten.
> Also wäre c= [mm]a^{-1}[/mm] • b richtig, oder meinst du, dass
> der Ansatz an sich falsch ist?
Nachdem nun ein c der gewünschten Art gefunden ist, genügt es für die endgültige Lösung, für beliebige [mm] $a,b\in [/mm] G$ zu begründen, dass [mm] $c=a^{-1}$•b [/mm] die Gleichung löst, also dass [mm] a•($a^{-1}$•b)=b [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 16.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok:
a• ( [mm] a^{-1} [/mm] •b) = (a• [mm] a^{-1} [/mm] ) • b = e•b =b
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mi 16.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ok:
> a• ( [mm]a^{-1}[/mm] •b) = (a• [mm]a^{-1}[/mm] ) • b = e•b =b
>
> Stimmt das so?
Ja!
Mir fällt gerade ein: Ein Beispiel [mm] $f,g\in\operatorname{Sym}(\{1,2,3\})$ [/mm] mit [mm] $f\circ g\not=g\circ [/mm] f$ zu finden, dürfte überflüssig sein, wenn ihr schon wisst, dass diese Gruppe nicht kommutativ ist. Dann könnt ihr einfach darauf verweisen, dass solche f und g existieren, ohne sie explizit anzugeben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mi 16.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke für deine Hilfe!
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also erstens hab ich noch eine Frage zur d)
das steht in der Aufgabenstellung ja : x * y = z
daraus folgt doch :
y = e * y [mm] =(x^{-1} [/mm] *x) * y = [mm] x^{-1} [/mm] * (x*y) = [mm] x^{-1} [/mm] * z
und das ist doch für nichtabelsche Gruppen ungleich : z * [mm] x^{-1}
[/mm]
also würde doch die Äquivalenz nicht gelten. oder ?
und zur f.: hier habe ich nicht ganz verstanden zu welchen Ergebnis ihr gekommen seid, ist die Aussage wahr oder falsch ?
Und was mach ich mit der nichtkommutativen Gruppe hier ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> also erstens hab ich noch eine Frage zur d)
>
> das steht in der Aufgabenstellung ja : x * y = z
> daraus folgt doch :
> y = e * y [mm]=(x^{-1}[/mm] *x) * y = [mm]x^{-1}[/mm] * (x*y) = [mm]x^{-1}[/mm] * z
> und das ist doch für nichtabelsche Gruppen ungleich : z *
> [mm]x^{-1}[/mm]
>
> also würde doch die Äquivalenz nicht gelten. oder ?
Im Ergebnis völlig richtig, richtige Idee, in der Begründung noch nicht vollständig:
In nichtabelschen Gruppen G GIBT ES [mm] $a,b\in [/mm] G$ mit [mm] $a\cdot b\not=b\cdot [/mm] a$. Mit [mm] $x=a^{-1}$, $y=a\cdot [/mm] b$ und $z=b$ ist die linke Seite der Äquivalenz erfüllt, die rechte Seite nicht.
> und zur f.: hier habe ich nicht ganz verstanden zu welchen
> Ergebnis ihr gekommen seid, ist die Aussage wahr oder
> falsch ?
Wahr.
> Und was mach ich mit der nichtkommutativen Gruppe hier ?
Richtig herum nach c auflösen 
[mm] $a\cdot [/mm] c=b$ ist gleichbedeutend mit [mm] $c=a^{-1}\cdot [/mm] b$. Ich weiß nicht genau, ob ihr das voraussetzen könntet oder beweisen müsstet. Nachdem c so gefunden wurde, reicht es aber völlig nachzurechnen, dass dieses c der Gleichung [mm] $a\cdot [/mm] c=b$ genügt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 17.11.2011 | | Autor: | Nischke |
Da stellt sich mir eine Frage zu e):
Weshalb ist, wenn [mm] M=\IR [/mm] mit •= gewöhn. Multiplikation, also [mm] (\IR, [/mm] •) keine Gruppe?
Ist es deshalb keine Gruppe, weil wenn man jedes x aus [mm] \IR [/mm] mit 0 multipliziert, die 0 rauskommt. Somit ist jedes Element aus [mm] \IR [/mm] ein neutrales Element?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Da stellt sich mir eine Frage zu e):
> Weshalb ist, wenn [mm]M=\IR[/mm] mit •= gewöhn. Multiplikation,
> also [mm](\IR,[/mm] •) keine Gruppe?
> Ist es deshalb keine Gruppe, weil wenn man jedes x aus [mm]\IR[/mm]
> mit 0 multipliziert, die 0 rauskommt.
Vielleicht meinst Du das Richtige.
Wenn [mm](\IR,[/mm] •) eine Gruppe wäre, so müßte es zu x=0 ein [mm] x^{-1} \in \IR [/mm] geben mit:
$0= x* [mm] x^{-1}=1$
[/mm]
Das ist aber Quark.
> Somit ist jedes
> Element aus [mm]\IR[/mm] ein neutrales Element?
Nein.
FRED
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Di 15.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo tobit
ich verstehe dein Argument zu d) nicht, es wird doch nicht gesagt, dass x,y,z notwendig verschieden sind, nur dass es drei, nicht notwendig verschiedene elemente gibt mit [mm] x\circle [/mm] y=z.
Auch dein Tip zu e) ist mir unklar, es sei denn es ist implizit gemein e' neutrales Element also e'*x=x
gesucht ist doch ein M mit der Eigenschaft, das keine Gruppe ist?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 15.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart,
> ich verstehe dein Argument zu d) nicht, es wird doch nicht
> gesagt, dass x,y,z notwendig verschieden sind, nur dass es
> drei, nicht notwendig verschiedene elemente gibt mit
> [mm]x\circle[/mm] y=z.
Richtig. Zum Beweis nehme man $x=y=z=e$.
> Auch dein Tip zu e) ist mir unklar, es sei denn es ist
> implizit gemein e' neutrales Element also e'*x=x
> gesucht ist doch ein M mit der Eigenschaft, das keine
> Gruppe ist?
Genau. Und [mm] $\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Multiplikation ist ja auch keine Gruppe.
Viele Grüße
Tobias
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Noch mal zur e)
Nehme ich als M einfach mal die Menge : {0,1,2,3}
dann gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: x * x' = e' (mit x'=e'=0)
(M,*) ist aber keine Gruppe denn:
(2,3) [mm] \mapsto [/mm] 6 und 6 [mm] \not\in [/mm] M.
[mm] \Box
[/mm]
reicht das ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Constantin,
> Noch mal zur e)
> Nehme ich als M einfach mal die Menge : {0,1,2,3}
> dann gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: x * x' = e' (mit x'=e'=0)
> (M,*) ist aber keine Gruppe denn:
> (2,3) [mm]\mapsto[/mm] 6 und 6 [mm]\not\in[/mm] M.
> [mm]\Box[/mm]
Völlig richtig ist, dass M mit der gewöhnlichen Multiplikation keine Gruppe ist. Aber die gewöhnliche Multiplikation liefert nicht einmal eine Verknüpfung auf M (da, wie von dir festgestellt, z.B. [mm] 2*3\not\in [/mm] M). In der Aufgabenstellung ist jedoch eine (assoziative) Verknüpfung auf M vorausgesetzt. Daher ist durch das von dir genannte kein geeignetes Gegenbeispiel gegeben.
Viele Grüße
Tobias
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OK...
Sei M = [mm] \IR
[/mm]
Dann gilt : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: x*x'=e' (mit x'=e'=0)
Wir benutzen als Verknüpfung die gewöhnliche Mult.
Da 0 [mm] \in \IR [/mm] muss gelten : [mm] \exists x^{-1} \in \IR [/mm] mit :
[mm] 0*x^{-1}=1 [/mm] (da bei Gruppen mit gew. Mult. 1 das Neutrale ist)
Dieses x existiert aber nicht. ( Mult. mit 0 ergibt immer 0)
Also ist [mm] (\IR,*) [/mm] keine Gruppe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Sei M = [mm]\IR[/mm]
> Dann gilt : [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: x*x'=e' (mit x'=e'=0)
> Wir benutzen als Verknüpfung die gewöhnliche Mult.
> Da 0 [mm]\in \IR[/mm] muss gelten : [mm]\exists x^{-1} \in \IR[/mm] mit :
> [mm]0*x^{-1}=1[/mm] (da bei Gruppen mit gew. Mult. 1 das Neutrale
> ist)
> Dieses x existiert aber nicht. ( Mult. mit 0 ergibt immer
> 0)
> Also ist [mm](\IR,*)[/mm] keine Gruppe.
Diese Argumentation stimmt!
(Man könnte noch Kleinigkeiten an der Art des Aufschreibens verbessern. Wenn du daran interessiert bist, frag einfach nochmal nach.)
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Wäre natürlich super,wenn du da auch helfen könntest. Mir fehlt da einfach noch die Übung, mit dem Aufschreiben.
mfg
ConstantinJ
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Sei M = [mm] \IR
[/mm]
> Dann gilt : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: x*x'=e' (mit x'=e'=0)
> Wir benutzen als Verknüpfung die gewöhnliche Mult.
Die letzten beiden Zeilen würde ich vertauschen.
> Da 0 [mm] \in \IR [/mm] muss gelten :
...müsste gelten, wenn M mit der besagten Verknüpfung eine Gruppe wäre:
> [mm] \exists x^{-1} \in \IR [/mm] mit :
> [mm] 0*x^{-1}=1 [/mm] (da bei Gruppen mit gew. Mult. 1 das Neutrale ist)
(da 1 neutrales Element von M ist)
> Dieses x existiert aber nicht. ( Mult. mit 0 ergibt immer 0)
[mm] $x^{-1}$ [/mm] statt x.
> Also ist [mm] (\IR,*) [/mm] keine Gruppe.
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Vielen Dank, ich hab damit noch Schwirigkeiten.
> > [mm]0*x^{-1}=1[/mm] (da bei Gruppen mit gew. Mult. 1 das Neutrale
> ist)
> (da 1 neutrales Element von M ist)
Hierzu hab ich aber noch eine Frage:
Da ja zu untersuchen ist ob M eine Gruppe ist, existiert das Neutrale in dem Sinne ja gar nicht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> > > [mm]0*x^{-1}=1[/mm] (da bei Gruppen mit gew. Mult. 1 das Neutrale
> > ist)
> > (da 1 neutrales Element von M ist)
>
> Hierzu hab ich aber noch eine Frage:
> Da ja zu untersuchen ist ob M eine Gruppe ist, existiert
> das Neutrale in dem Sinne ja gar nicht, oder?
Wahrscheinlich habt ihr den Begriff neutrales Element nur für Gruppen eingeführt. Man kann ihn aber genauso auch für beliebige mit einer Verknüpfung versehene Mengen erklären.
In diesem Sinne hat M das neutrale Element 1 (denn [mm] $1\cdot x=x\cdot [/mm] 1=x$ für alle [mm] $x\in\IR$).
[/mm]
Wäre nun M eine Gruppe, müsste es bezüglich dieses neutralen Elementes inverse Elemente [mm] $x^{-1}$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] geben.
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| Aufgabe | | f) Falls a*a =e für alle a [mm] \in [/mm] G gilt, ist G abelsch. |
zu der aufgabe gibs auch noch eine f)
wenn jetzt hier die Verknüpfung ein gewöhnliches Mal ist (was ich hoffe) würde doch gelten:
a*a = e erfüllen nur 1 und -1
es gilt 1 * -1 = -1 * 1 = -1
=> G ist abelsch oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Naja dass eine Gruppe abelsch ist bedeutet, dass die Kommutativität zweier Elemente bezüglich der Verknüpfung gegeben ist, also dass gilt:
a*b=b*a wobei a,b /in G
und *:G [mm] \times [/mm] G [mm] \mapsto [/mm] G die Abbildung/Verknüpfung ist.
d.h. wenn a*a=e ist, bedeutet das nicht unbedingt dass die Gruppe abelsch ist.
Im allgemeinen ist die Verknüpfung nicht explizit, also nicht eine Multiplikation.
Wenn e hier das Neutralelement der Gruppe meint dann wäre
a*a=e
[mm] \gdw a^{-1}*a*a=e*a^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw e*a=e*a^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw a=a^{-1}
[/mm]
Was bedeuten würde dass jedes Element zu sich selbst invers ist.
Ps: das sollen keine "mals" sondern sternchen sein ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fyrus und herzlich !
Stimmt alles bis auf:
> d.h. wenn a*a=e ist, bedeutet das nicht unbedingt dass die
> Gruppe abelsch ist.
Doch, sie muss dann abelsch sein.
Für beliebige [mm] $a,b\in [/mm] G$ ist dazu [mm] $a\cdot b=b\cdot [/mm] a$ zu zeigen.
Es gilt [mm] $(a\cdot b)\cdot(a\cdot [/mm] b)=e$ und somit
[mm] $a\cdot b=a\cdot(a\cdot b)\cdot(a\cdot b)\cdot b=\ldots$
[/mm]
Versucht einmal, ein bisschen weiter umzuklammern und erneut die Voraussetzung ins Spiel zu bringen, bis ihr auf [mm] $\ldots=b\cdot [/mm] a$ kommt.
Viele Grüße
Tobias
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Aber, wenn das eine gew. Mult. als Verknüpfung wäre, dann wäre meine Argumentation doch richtig , oder ?
also dass nur die -1,1 in der Gruppe sein können und das (G,mal) eine abelsche Gruppe ist, oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Aber, wenn das eine gew. Mult. als Verknüpfung wäre, dann
> wäre meine Argumentation doch richtig , oder ?
Sehr spezielle Annahme.
> also dass nur die -1,1 in der Gruppe sein können und das
> (G,mal) eine abelsche Gruppe ist, oder ?
Stimmt soweit.
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Hier sind mal noch meine Lösungsversuche zu a) und c)
a) Die Menge U= {1,2,3,4,5} ist keine Untergruppe von [mm] (\IZ,+), [/mm] denn:
es müsste gelten: [mm] +|_{UxU}: [/mm] UxU [mm] \to [/mm] U, [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x+y
aber für x=4 und y=5 gilt:
(4,5) [mm] \mapsto [/mm] 9
9 [mm] \not\in [/mm] U => (U,+) ist keine Gruppe (Untergruppe)
(außerdem : - kein Neutrales mit x + e = x (das wäre 0)
- keine Inversen, da keine negativen Zahlen in U)
c) Aussage ist falsch, denn:
Sei G = [mm] \IR \{0}
[/mm]
es gilt e = 1
für x = 2 gilt: 2 * [mm] 2^{-1} [/mm] = 1
für x = 3 gilt: 3 * [mm] 3^{-1} [/mm] = 1
Da das Inverse eindeutig ist, und die Inversen von 2 und 3 verschieden sind, kann kein y [mm] \in [/mm] G existieren, das Inverses für alle x [mm] \in [/mm] G ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Aufgabe A ist meiner Meinung nach gut gelöst, aller dings solltest du dir die Definition einer Gruppe bzw das Untergruppenkriterium noch einmal anschauen.
Es ist nämlich nicht gesagt, dass es EIN inverses Element zu allen Elementen der Gruppe gibt sondern, dass das inverse Element bezüglich eines Elementes der Gruppe eindeutig sein muss.
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Also bei mir in den Unterlagen steht, das jedes Element einer Gruppe ein Inverses hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Do 17.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Ich denke, das passt alles so!
(Von Inversen Elementen zu sprechen, ergibt übrigens nur Sinn, wenn ein neutrales Element existiert.)
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