Gruppen der Ordnung 8 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Gruppen [mm] $C_8$ ($C_n$ [/mm] zyklische Gruppe der Ordnung n), [mm] $C_4 \times C_2$ [/mm] und [mm] $C_2^3 [/mm] = [mm] C_2 \times C_2 \times C_2$ [/mm] sind die einzigen Abelschen Gruppen der Ordnung 8 und die Diedergruppe [mm] $D_8$ [/mm] und die Quaternionengruppe [mm] $Q_8$ [/mm] die einzigen nicht-Abelschen Gruppen der Ordnung 8. Die 2-Sylowuntergruppe von [mm] $S_4$ [/mm] ist einer Gruppe der Ordnung 8. Welcher Isomorphietyp (von den oben aufgelisteten)? |
Hallo,
schon wieder die Sylowsätze. Das oben ist nur ein Teil der Aufgabe.
Als Hinweis ist angegeben, dass man die Elemente der Ordnung 2 zählen soll. [mm] $S_4$ [/mm] hat 6 Elemente der Ordnung 2.
Kann mir jemand einen Tipp geben? (Ist wahrscheinlich nicht schwer (schließlich nur ne Klausuraufgabe), aber ich habe da irgendwie ein Brett vorm Kopf).
Mfg, Nick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 Do 03.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die Gruppen [mm]C_8[/mm] ([mm]C_n[/mm] zyklische Gruppe der Ordnung n), [mm]C_4 \times C_2[/mm]
> und [mm]C_2^3 = C_2 \times C_2 \times C_2[/mm] sind die einzigen
> Abelschen Gruppen der Ordnung 8 und die Diedergruppe [mm]D_8[/mm]
> und die Quaternionengruppe [mm]Q_8[/mm] die einzigen nicht-Abelschen
> Gruppen der Ordnung 8. Die 2-Sylowuntergruppe von [mm]S_4[/mm] ist
> einer Gruppe der Ordnung 8. Welcher Isomorphietyp (von den
> oben aufgelisteten)?
>
> schon wieder die Sylowsätze. Das oben ist nur ein Teil der
> Aufgabe.
>
> Als Hinweis ist angegeben, dass man die Elemente der
> Ordnung 2 zählen soll. [mm]S_4[/mm] hat 6 Elemente der Ordnung 2.
So, und jetzt zaehl doch mal die Anzahl der Elemente der Ordnung 2 in [mm] $C_8$, $C_4 \times C_2$, $C_2^3$, $D_8$ [/mm] und [mm] $Q_8$.
[/mm]
Und schau evtl. vorher nach ob alle Elemente der Ordnung 2 miteinander kommutieren oder nicht. (Wenn du welche findest die es nicht tun, dann kann es schonmal keine der kommutativen Gruppen sein.)
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Sa 05.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nick
> Die Gruppen [mm]C_8[/mm] ([mm]C_n[/mm] zyklische Gruppe der Ordnung n), [mm]C_4 \times C_2[/mm]
> und [mm]C_2^3 = C_2 \times C_2 \times C_2[/mm] sind die einzigen
> Abelschen Gruppen der Ordnung 8 und die Diedergruppe [mm]D_8[/mm]
> und die Quaternionengruppe [mm]Q_8[/mm] die einzigen nicht-Abelschen
> Gruppen der Ordnung 8. Die 2-Sylowuntergruppe von [mm]S_4[/mm] ist
> einer Gruppe der Ordnung 8. Welcher Isomorphietyp (von den
> oben aufgelisteten)?
>
> Hallo,
>
> schon wieder die Sylowsätze. Das oben ist nur ein Teil der
> Aufgabe.
>
> Als Hinweis ist angegeben, dass man die Elemente der
> Ordnung 2 zählen soll. [mm]S_4[/mm] hat 6 Elemente der Ordnung 2.
Also, eimal hat [mm] $S_4$ [/mm] genau 9 Elemente der Ordnung 2 (Danke an anstei fuer den Hinweis!), und es hat mehrere 2-Sylow-Untergruppen (die aber alle konjugiert zueinander sind).
Du musst allerdings nicht die Anzahl der Elemente der Ordnung 2 in [mm] $S_4$ [/mm] kennen, sondern die Anzahl der Elemente der Ordnung 2 in einer Sylow-UG.
> Kann mir jemand einen Tipp geben? (Ist wahrscheinlich nicht
> schwer (schließlich nur ne Klausuraufgabe), aber ich habe
> da irgendwie ein Brett vorm Kopf).
Ich wuerde explizit die Elemente einer 2-Sylow-UG finden und unter denen dann gucken, wieviele Elemente der Ordnung 2 es gibt. Dazu kannst du wie folgt vorgehen:
- Die 2-Sylow-UG muss ein Element der Ordnung 4 enthalten, nehmen wir einfach mal (1 2 3 4).
- Zusaetzlich muss noch ein weiteres Element ausser die von (1 2 3 4) erzeugte Untergruppe enthalten sein, und die Ordnung muss eine Zweierpotenz sein (da Teiler von 8), also nehmen wir mal ein Element der Ordnung 2. Etwa (1 2) oder (1 3).
Probier doch einfach mal aus ob die von (1 2 3 4) und (1 2) erzeugte UG 8 Elemente umfasst (weniger geht nicht, nur mehr). Wenn sie das tut, dann zaehl in ihr die Elemente der Ordnung 2.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 So 06.04.2008 | | Autor: | nick_twisp |
Hallo,
sorry ich hab die Aufgabe ein bisschen sacken lassen (ich hab mir schon Gedanken darüber gemacht, aber diese noch nicht gepostet). Ja, das mit den sechs Elementen der Ordnung 2 war falsch, da hab ich nur die Transpositionen berücksichtigt.
Also, wenn ich richtig gezählt habe, gilt für die Anzahl der Elemente mit Ordnung 2 in den verschiedenen Gruppen folgendes
& Anz. d. Elemente der Ordnung [mm] 2\\
[/mm]
[mm] \hline
[/mm]
[mm] $C_8$ [/mm] & [mm] 1\\
[/mm]
[mm] $C_4 \times C_2$ [/mm] & [mm] 3\\
[/mm]
[mm] $C_2^3$ [/mm] & [mm] 6\\
[/mm]
[mm] $D_8$ [/mm] & [mm] 2\\
[/mm]
[mm] $Q_8$ [/mm] & 1 [mm] \\
[/mm]
Ich habe denke ich die 2-Sylowgruppe gefunden:
[mm] $U_2 [/mm] = [mm] \{id, (1,3), (2,4), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3), (1,2,3,4), (1,4,3,2)\}$
[/mm]
Ich habe mal so eine Multiplikationstabelle angefangen. Die sah, soweit ich sie gemacht habe, ganz gut aus. (Ich sollte mir vielleicht mal ein Programm schreiben, dass das Erzeugnis von einer Menge von Elementen aus [mm] $S_n$ [/mm] berechnet).
[mm] $\langle \{(1,2), (1,2,3,4)\} \rangle$ [/mm] liefert übrigens keine 2-Gruppe. Die 2-Sylowgruppe enthält 6 Elemente der Ordnung 2, ist also isomorph zu [mm] $C_2^3$. [/mm] Okay, damit wär das geklärt.
In der 2-Sylow-Untergruppe kommen zwar Elemente der Ordnung 4 vor, aber es muss nicht zwangsläufig ein Element der Ordnung 4 in der Sylowuntergruppe vorkommen (nur zwangsläufig muss die Ordnung eine Zweier-Potenz sein), oder?
Danke nochmal für die Hilfe. Wahrscheinlich werde ich in diesem Forum demnächst noch ein paar Fragen los.
Mfg, Nick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Mo 07.04.2008 | | Autor: | nick_twisp |
Mir ist gerade aufgefallen, dass das ein Schnellschuss war gestern abend. Erstens zähle ich gerade nur 5 Element der Ordnung 2 in meiner vermuteten 2-Sylowgruppe und zweitens muss [mm] $C_3^2$ [/mm] doch 7 Elemente der Ordnung 2 haben. Irgendwo steckt der Fehlerteufel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Mo 07.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
das stimmt jetzt soweit alles, außer die anzahl der elemente der ordnung $2$ in [mm] $D_8$. [/mm] denke mal über die ordnung der spiegelungen nach...
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 07.04.2008 | | Autor: | nick_twisp |
Hallo andreas,
o.k. alles klar. [mm] $D_8$ [/mm] hat tatsächlich fünf Elemente der Ordnung 2. Ich habe vorher eine falsche Berechnungsvorschrift benutzt ($ba = [mm] a^2 [/mm] b$ statt $ba = [mm] a^3 [/mm] b$ wobei b die Spiegelung ist).
Danke!
Nick
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Hallo nochmal,
was ändert sich eigentlich, wenn man die 2-Sylowgruppe der Ordnung 8 von [mm] $S_5$ [/mm] betrachtet? Das ist die nächste Frage in der Klausur. Ich verstehe nicht ganz, weshalb man einen anderen Isomorphietyp erhalten sollte. Man kann doch die gleiche 2-Sylowgruppe, wie die von [mm] $S_4$ [/mm] nehmen, oder?
Nächster Punkt:
Was ist eigentlich die Automorphismengruppe von [mm] $\mathbb [/mm] Z/16$ (die 8 Elemente besitzen soll)? Hier ist auch wieder nach dem Isomorphietyp gefragt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Do 10.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> was ändert sich eigentlich, wenn man die 2-Sylowgruppe der
> Ordnung 8 von [mm]S_5[/mm] betrachtet? Das ist die nächste Frage in
> der Klausur. Ich verstehe nicht ganz, weshalb man einen
> anderen Isomorphietyp erhalten sollte. Man kann doch die
> gleiche 2-Sylowgruppe, wie die von [mm]S_4[/mm] nehmen, oder?
im prunzip ändert sich nichts. die $2$-sylowgruppe der [mm] $S_5$ [/mm] ist isomorph zu der der [mm] $S_4$, [/mm] da hast du recht.
> Was ist eigentlich die Automorphismengruppe von [mm]\mathbb Z/16[/mm]
> (die 8 Elemente besitzen soll)? Hier ist auch wieder nach
> dem Isomorphietyp gefragt.
es gilt allgemein [mm] $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \cong \left( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \right)^\times$, [/mm] wie man sich leicht klarmacht. nun ist die frage, wieviel du über die zweite gruppe weißt. für $n [mm] \geq [/mm] 3$ ist stets [mm] $\left( \mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z} \right)^\times [/mm] = [mm] \left< \overline{5} \right> \times \left< \overline{-1} \right>$. [/mm] hier kann man das aber natürlich auch durch probieren herausfinden, wobei man natürlich auch andere erzeuger erhalten kann.
grüße
andreas
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