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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Fr 16.07.2010 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe, H eine nichtleere Teilmenge von G
a) H ist eine Untergruppe [mm] \gdw [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H : [mm] a\cdot b^{-1} \in [/mm] H
b) H endlich, dann gilt: H Untergruppe [mm] \gdw \forall a,b\in [/mm] H: [mm] a\cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] H |
zu a)
[mm] \Rightarrow: a,b\in [/mm] H und [mm] b^{-1}\in [/mm] H, weiter ist die Gruppenoperation abgeschlossen, also [mm] a\cdot b^{-1} \in [/mm] H.
[mm] \Leftarrow: [/mm] ?
zu b)
[mm] \Rightarrow: [/mm] folgt aus der Definition der Untergruppe
[mm] \Leftarrow: [/mm] ? (moegliche Idee: H ist isomorp zu symmetrischen Gruppe [mm] S_{n}, [/mm] womit die Behauptung ueber den Isomorphismus gezeigt wird)
Leute, waere nett, wenn Ihr mal ueber den Beweis schauen koennt und bei ? vielleicht einen Vorschlag machen koennt! Dank im Vorraus!
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Fr 16.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Sei G eine Gruppe, H eine nichtleere Teilmenge von G
> a) H ist eine Untergruppe [mm]\gdw[/mm] a,b [mm]\in[/mm] H : [mm]a\cdot b^{-1} \in[/mm]
> H
> b) H endlich, dann gilt: H Untergruppe [mm]\gdw \forall a,b\in[/mm]
> H: [mm]a\cdot[/mm] b [mm]\in[/mm] H
>
> zu a)
> [mm]\Rightarrow: a,b\in[/mm] H und [mm]b^{-1}\in[/mm] H, weiter ist die
> Gruppenoperation abgeschlossen, also [mm]a\cdot b^{-1} \in[/mm] H.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Leftarrow:[/mm] ?
Was musst du hier denn nachrechnen? Leg doch mal los!
> zu b)
> [mm]\Rightarrow:[/mm] folgt aus der Definition der Untergruppe
> [mm]\Leftarrow:[/mm] ? (moegliche Idee: H ist isomorp zu
> symmetrischen Gruppe [mm]S_{n},[/mm] womit die Behauptung ueber den
> Isomorphismus gezeigt wird)
Benutze a). Du musst zeigen, dass zu $g [mm] \in [/mm] H$ auch [mm] $g^{-1} \in [/mm] H$ liegt. Das kannst du hinbekommen, indem du ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] findest mit [mm] $g^n [/mm] = e$.
LG Felix
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