Gruppenisomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 26.10.2016 | | Autor: | studiseb |
| Aufgabe | Geben Sie einen Gruppenisomorphismus [mm] \Phi [/mm] : [mm] U_1(\IC) \to SO_2(\IR) [/mm] an.
mit [mm] U_n(\IC)=\{A\in M_n(\IC) | A^{\*}A=I\}
[/mm]
und [mm] SO_2(\IR)=\{\pmat{ cos \Psi & -sin \Psi \\ sin \Psi & -cos \Psi } | \Psi \in [0,2\pi)\} [/mm] |
n'Abend zusammen, irgendwie steck ich bei dieser Aufgabe richtig fest und mir fehlt eine zündende Idee.
Ich weiß: [mm] \Phi [/mm] heißt Gruppenisomorphismus, falls [mm] \Phi [/mm] eine inverse Abbildung besitzt.
Aber wie kann ich diese angeben? Vielleicht könnt ihr mir da ein paar Tipps geben. Besten DANK
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$ [mm] U_1$ [/mm] besteht also aus komplexen Zahlen mit $ [mm] z\overline {z}=|z|^2=1$. [/mm] Es handelt sich also um den Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene. Dieser ist via $ [mm] \exp (i*\varphi)$ [/mm] zu [mm] $\IR/2\pi\IZ [/mm] $ isomorph. Andererseits wird auch durch die naheliegende Abbildung [mm] $\IR\longrightarrow SO_2 (\IR) [/mm] $ ein surjektiver Homomorphismus mit Kern $ [mm] 2\pi\IZ [/mm] $ gegeben. Also sind beide Gruppen zu $ [mm] IR/2\pi\IZ [/mm] $ isomorph.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mi 26.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Die Aussage stimmt doch überhaupt nicht. [mm]U_1 (\IC)[/mm]
> enthält nur [mm]\pm 1[/mm].
>
> Liebe Grüße
> UniversellesObjekt
Huhu,
ich bin nun kein Experte, aber liegen nicht auch Terme der Form [mm] $e^{i\phi}$ [/mm] in der [mm] $U_1$? [/mm] (Erinnere mich dunkel aus der theoretischen Physik daran^^).
Es ist zumindest [mm] $e^{i\phi}\cdot (e^{i\phi})$*$=1$, [/mm] wenn das Sternchen Konjugation beinhaltet.
Wenn man das weiss, kann man nicht mittels Real- und Imaginaerteil in die [mm] $SO_2$ [/mm] abbilden?
Gruss,
Chris
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Ja, du hast Recht. Danke.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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