Gruppenisomorphismus, eukl. VR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 25.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Es sei (V,<.,.>) ein endl.-dim. euklidischer Vektorraum, dim V = n.
Wir definieren:
O(V,<.,.>) := {f [mm] \in [/mm] GL(V)| <f(v),f(w)> = <v,w> für alle v,w [mm] \in [/mm] V }
Zeigen Sie: Es existiert ein Gruppenisomorphismus [mm] \phi [/mm] : O(V,<.,.>) -> O(n)
(O(n) = {A [mm] \in GL(n,\IR) [/mm] | [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] A^t [/mm] } )
Tipp: Wählen Sie eine Orthonormalbasis B von V und betrachten Sie [mm] M^B_B(f) [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich leider absolut nicht weiter!
Zu zeigen: [mm] \phi() [/mm] = [mm] \phi(x) [/mm] * [mm] \phi(y) [/mm] und [mm] \phi [/mm] ist bijektiv
Stimmt das überhaupt? Bin mit bei der Definition von Gruppenisomorphismus nicht wirklich sicher!
Sei B := { [mm] v_1,...,v_n [/mm] } eine orthonormalbasis von V.
Nun sind in O(V,<.,.>) die f [mm] \in [/mm] GL(V) enthalten, die orthogonal sind.
Sei nun f [mm] \in [/mm] GL(V) und orthogonal beliebig gegeben.
Wie sieht denn dann [mm] M^B_B(f) [/mm] aus? Ich kann mir allein hierrunter schon gar nichts vorstellen..
Kann mir jemand den ein oder anderen Tipp geben?
Weiß einfach nicht weiter.
Danke!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 27.05.2008 | | Autor: | side |
muss man zeigen, dass es eine abbildung gibt (die homomorph und bijektiv ist), die jedem f aus
O(V, [mm] <\cdot,\cdot>) [/mm] ein A aus O(n) zuordnet?
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> muss man zeigen, dass es eine abbildung gibt (die homomorph
> und bijektiv ist), die jedem f aus
> O(V, [mm]<\cdot,\cdot>)[/mm] ein A aus O(n) zuordnet?
Hallo,
ja, das ist die Aufgabe.
Gruß v. Angela
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> Es sei (V,<.,.>) ein endl.-dim. euklidischer Vektorraum,
> dim V = n.
> Wir definieren:
> O(V,<.,.>) := [mm] {f\inGL(V)| = für alle v,w\in V }
[/mm]
>
> Zeigen Sie: Es existiert ein Gruppenisomorphismus [mm]\phi[/mm] :
> O(V,<.,.>) -> O(n)
>
> (O(n) = {A [mm] \in GL(n,\IR)| A^{-1} [/mm] = [mm] A^t} [/mm] )
>
> Tipp: Wählen Sie eine Orthonormalbasis B von V und
> betrachten Sie [mm]M^B_B(f)[/mm]
> Hallo,
> bei dieser Aufgabe komme ich leider absolut nicht weiter!
>
> Zu zeigen: [mm]\phi()[/mm] = [mm]\phi(x)[/mm] * [mm]\phi(y)[/mm] und [mm]\phi[/mm] ist
> bijektiv
>
> Stimmt das überhaupt?
Hallo,
nein, das ist ziemlicher Blödsinn:
links wendest Du die Abbildung [mm] \phi [/mm] auf ein Skalar an, und rechts auf Vektoren. Das kann ja nicht sein.
Du mußt, wie Dein Kollege schon bemerkt, vermöge des zu definierenden Homomorphismus [mm] \phi [/mm] jeder Abbildung f aus O(V,<.,.>), also jeder orthogonalen Abbildung, eineindeutig eine Matrix aus O(n), also eine orthogonale Matrix, zuordnen.
Zeigen mußt Du dann für die Homomorphismuseigenschaft, daß für [mm] f,g\in [/mm] O(V,<.,.>)
[mm] \phi (f\circ g)=\phi(f)*\phi(g) [/mm] richtig ist.
> Bin mit bei der Definition von
> Gruppenisomorphismus nicht wirklich sicher!
>
> Sei B := [mm] {v_1,...,v_n} [/mm] eine orthonormalbasis von V.
>
> Nun sind in O(V,<.,.>) die f [mm]\in[/mm] GL(V) enthalten, die
> orthogonal sind.
>
> Sei nun f [mm]\in[/mm] GL(V) und orthogonal beliebig gegeben.
> Wie sieht denn dann [mm]M^B_B(f)[/mm] aus? Ich kann mir allein
> hierrunter schon gar nichts vorstellen.
Es käme jetzt erstmal darauf an herauszufinden, ob die Spalten der Matrix womöglich eine ONB des V bilden.
Daß in den Spalten die Funktionswerte der Basisvektoren in Koordinaten bzgl. B stehen, weißt Du ja hoffentlich. Wenn nicht, solltest Du Dich zunächst mit dem Thema "darstellende Matrix" beschäftigen.
Gruß v. Angela
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