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| Aufgabe | Sind die folgenden Beispiele Gruppenoperationen?
a) [mm] \IZ_{10} [/mm] auf [mm] \IZ_{5} [/mm] durch Rechtsaddition
b) [mm] \IZ_{5}^{\*} [/mm] auf [mm] \IZ_{5} [/mm] durch Linksmultiplikation
c) [mm] \IZ_{4} [/mm] auf [mm] \IZ_{5} [/mm] durch Linksmultiplikation |
Hallo,
die Prüfung, ob eine Gruppe G auf einer Menge M operiert ist ja eig relativ simpel:
Es muss eine Abb. G [mm] \times [/mm] M [mm] \rightarrow [/mm] M, (g,x) [mm] \longmapsto [/mm] gx geben, mit:
i) (gh)x = g(hx), [mm] \forall [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G, x [mm] \in [/mm] M
ii) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G: ex = x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M
zu a)
Da würde ich als erstes beginnen die Abb. zu definieren. Also
[mm] \IZ_{10} \times \IZ_{5} \rightarrow \IZ_{5}, [/mm] (a,x) [mm] \longmapsto [/mm] x+a mod 5
Also ein neutrales Element in [mm] \IZ_{10} [/mm] existiert, das wäre die 0.
Und nun die andere Voraussetzung: x + (g+h) mod 5 = (x+g)+h mod 5
Mir ist irgendwie nicht ganz klar, wie man dies korrekt prüfen soll..
Würde mich über Hilfe, Aufklärung freuen 
LG
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> Sind die folgenden Beispiele Gruppenoperationen?
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> a) [mm]\IZ_{10}[/mm] auf [mm]\IZ_{5}[/mm] durch Rechtsaddition
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> b) [mm]\IZ_{5}^{\*}[/mm] auf [mm]\IZ_{5}[/mm] durch Linksmultiplikation
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> c) [mm]\IZ_{4}[/mm] auf [mm]\IZ_{5}[/mm] durch Linksmultiplikation
> Hallo,
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> die Prüfung, ob eine Gruppe G auf einer Menge M operiert
> ist ja eig relativ simpel:
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> Es muss eine Abb. G [mm]\times[/mm] M [mm]\rightarrow[/mm] M, (g,x)
> [mm]\longmapsto[/mm] gx geben, mit:
> i) (gh)x = g(hx), [mm]\forall[/mm] g,h [mm]\in[/mm] G, x [mm]\in[/mm] M
> ii) [mm]\exists[/mm] e [mm]\in[/mm] G: ex = x, [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M
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> zu a)
> Da würde ich als erstes beginnen die Abb. zu definieren.
> Also
> [mm]\IZ_{10} \times \IZ_{5} \rightarrow \IZ_{5},[/mm] (a,x)
> [mm]\longmapsto[/mm] x+a mod 5
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> Also ein neutrales Element in [mm]\IZ_{10}[/mm] existiert, das wäre
> die 0.
> Und nun die andere Voraussetzung: x + (g+h) mod 5 =
> (x+g)+h mod 5
> Mir ist irgendwie nicht ganz klar, wie man dies korrekt
> prüfen soll..
Da die Gleichung in [mm] $\IZ$ [/mm] gilt, gilt sie insbesondere [mm] $\mod [/mm] 5$. b) ist analog. c) macht keinen Sinn, da die Abbildung nicht einmal wohldefiniert ist ($0=4$ in [mm] $\IZ/3\IZ$, [/mm] aber [mm] $0\cdot 1=0\not=4=4\cdot [/mm] 1$). Allgemein finde ich die Aufgabe gelinde gesagt schwachsinnig, aber das gehört nicht hierher.
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> Würde mich über Hilfe, Aufklärung freuen
>
> LG
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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