Gruppenpräsentation < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 So 26.05.2013 | | Autor: | itzepo11 |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass
[mm] $\langle [/mm] a,b [mm] \mid a^3,b^3,(ab)^3 \rangle \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. [/mm] |
Mein Ansatz: Der Satz von Dyck lässt sich hier nicht anwenden. Sicher ist aber [mm] $\langle [/mm] x,y [mm] \mid [/mm] xy=yx [mm] \rangle$ [/mm] eine Präsentation von [mm] $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. [/mm] Theoretisch sollte es also möglich sein, diese durch Tietze-Trafos ineinander zu überführen. Einen Algorithmus dazu gibt es aber bekanntermaßen nicht. Sicherlich muß man neue Erzeuger wählen und v.a. die zugehörigen Relationen geschickt wählen. Ich komme da aber leider momentan nicht weiter.
|
|
| |
|
moin,
Also so in dieser Form wirst du wohl Probleme kriegen da irgend etwas zu zeigen...
Du hast zum Beispiel auf der linken Seite das $a$, das $a [mm] \neq [/mm] 0$ und $3a = 0$ erfüllt (ich schreib das mal Additiv, weil in [mm] $\IZ \oplus \IZ$ [/mm] ja auch additiv gerechnet wird).
Gäbe es einen Isomorphismus, so müsstest du ein entsprechendes Element in [mm] $\IZ \oplus \IZ$ [/mm] finden.
Seien also $x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] so,dass $(x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0)$ und $3(x,y) = (3x,3y) = (0,0)$.
Daraus solltest du dir wohl einen Widerspruch gebastelt kriegen?
Über [mm] $\IZ/3\IZ \oplus \IZ/3\IZ$ [/mm] auf der rechten Seite könnte man ggf. verhandeln oder nachdenken, da würde ich schon eher an so einen Isomorphismus glauben.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 So 26.05.2013 | | Autor: | itzepo11 |
Das stimmt natürlich. Wie dumm, dass mir das nicht selber aufgefallen ist. [mm] $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ [/mm] ist natürlich torsionsfrei.
Die Möglichkeit [mm] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} [/mm] / [mm] 3\mathbb{Z}$ [/mm] schien mir auch plausibel. Jedoch habe ich das einmal mit gap überprüft: die Gruppe zu der gegebenen Präsentation ist nicht [mm] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} [/mm] / [mm] 3\mathbb{Z}$ [/mm] (und wahrscheinlich auch nicht endlich oder sie hat eine sehr große Ordnung).
|
|
|
|
