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| Aufgabe | | Herleitung des Zusammenhangs von HNF und Abstand Punkt-Ebene |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr Mathematiker,
ich muss in Mathe als Übung für das mündliche Abitur ein Referat über das oben angegebene Thema machen. Ich schätze mal, dass ich die komplette Lösung hier im Heft stehen hab, leider versteh ich nur Bahnhof und Abfahrt :-(
Ich werd mal versuchen wieder zu geben, was hier in meinem Heft steht:
Ich hab eine Lotgerade (l:x=p+t*n). Diese Lotgerade soll ich mir der Ebene schneiden (n1x+n2y+n3z=c). Dabei kommt folgendes heraus: n*(p+t*n)=c und das ist dann c-p*n/n2! So weit so gut und dann steht da: "Wenn n die Länge 1 hätte, dann wäre t schon die Zahl für den Abstand. Also sorgen wir gleich zu Beginn der Rechung dafür, dass der Normalenvektor der Ebene die Länge 1 hat." Diese beiden Sätze sind mein erstes Probelm!
Dann geht es weiter mit einer Beispielsrechnung. 5x-3y-2z=7 Wenn man da alles mögliche rechnet kommt am Schluss raus, dass n=1 und dann steht da folgendes Fazit: "Dividiert man die Koordinatengleichung einer Ebene durch die Länge des erhaltenen Normalenvektors, so erhält man eine Koordinatengleichung bei der der enthaltende Normalenvektor die Länge 1 hat!" Das ist das nächste Problem!
Und dann wird es für mich absolut unverständlich. Da steht: Bemerkung zur Länge: 1=n=wurzel aus [mm] n1^2 [/mm] + [mm] n2^2 [/mm] + [mm] n3^2=wurzel [/mm] aus [mm] n^2
[/mm]
daraus folgt [mm] 1=n^2
[/mm]
damit vereinfacht sich die Formel für t:
t=c-n*p
für den Abstand gilt dann:
d=l c-n*p l
= l n*p-n*q l
= l n*(p-q) l
Dann kommt die Handhabung in der Praxis mit der HNF. Das ist mir klar wie das funktioniert. Ich versteh nur nicht, wieso ich dafür die Formel für den Abstand herleiten muss, denn dann benutz ich die Formel ja gar nicht mehr, oder? Da hab ich ja dann eine Eben und ein Punkt. Dann berechne ich n der Ebene, mach eine HNF und setze den Punkt ein. Was hat das mit dieser Formel zu tun? Versteh ich nicht! Und wie man die Formel herleitet vertseh ich auch nicht. Ich brauch gaaanz dringend Hilfe. Währe wirklich seeehr nett, wenn es jemand gibt, der mir da helfen könnte!!!
Liebe Grüßchen
Kathrin :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Sa 22.04.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
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> Ich hab eine Lotgerade (l:x=p+t*n). Diese Lotgerade soll
> ich mir der Ebene schneiden (n1x+n2y+n3z=c). Dabei kommt
> folgendes heraus: n*(p+t*n)=c und das ist dann c-p*n/n2! So
> weit so gut und dann steht da: "Wenn n die Länge 1 hätte,
> dann wäre t schon die Zahl für den Abstand. Also sorgen wir
> gleich zu Beginn der Rechung dafür, dass der Normalenvektor
> der Ebene die Länge 1 hat." Diese beiden Sätze sind mein
> erstes Probelm!
>
Wenn Du t ausrechnest, heißt das ja, dass Du n genau t mal zwischen Punkt und Ebene stellen kannst. (Wenn Du z.B. die Breite des Tisches mit einem Geodreieck misst, dann schaust Du ja, wie oft das Geodreieck auf den Tisch passt. Angenommen, das Geodreieck passt 10 mal rein. Dann ist der Tisch aber nicht 10 cm breit, weil das Geodreieck ja eine Länge von 15 cm hat Wenn das Geodreieck aber die Länge 1 cm hätte, dann wäre der Tisch 10 cm breit.
Mit Vektoren sähe das dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Dann geht es weiter mit einer Beispielsrechnung. 5x-3y-2z=7
> Wenn man da alles mögliche rechnet kommt am Schluss raus,
> dass n=1 und dann steht da folgendes Fazit: "Dividiert man
> die Koordinatengleichung einer Ebene durch die Länge des
> erhaltenen Normalenvektors, so erhält man eine
> Koordinatengleichung bei der der enthaltende Normalenvektor
> die Länge 1 hat!" Das ist das nächste Problem!
Du musst zunächst einmal genau verstehen, wie man eine Koordinatengleichung in die Normalenform umrechnet.
Da Du es ja verstanden haben musst für das Referat, wirst Du nicht darum herumkommen, Dir das zu erarbeiten.
Daher füge ich Dir mal zwei pdf Dateien bei. In der einen stehen ein paar Grundlagen zum Skalarprodukt (ohne großartige Erklärung allerdings). Das solltest Du schon mal gesehen haben, ansonsten musst Du es in Deinem Heft nacharbeiten.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dann ein Aufgabenblatt zur Erarbeitung der Normalenform.
Datei-Anhang
Zum Veranschaulichen empfehle ich mein Programm Archimedes Geo3D (www.raumgeometrie.de) , mit dem Du Punkte, Vektoren, Ebenen usw zeichnen kannst.
Wenn Du das verstanden hast, verstehst Du vielleicht auch die Hessesche Normalenform (der einzige Unterschied ist, dass der Normalenvektor bei der Hesseschen Normalenform immer die Länge 1 hat, so dass beim Einsetzen eines PUnktes, der nicht auf der Ebene liegt, automatisch der Abstand herauskommt).
Was ich hier vorschlage, ist aber nicht der leichte Weg, das wird Dich ein paar Stunden Arbeit kosten!
Viele Grüße und viel Erfolg,
Andreas
>
> Und dann wird es für mich absolut unverständlich. Da steht:
> Bemerkung zur Länge: 1=n=wurzel aus [mm]n1^2[/mm] + [mm]n2^2[/mm] +
> [mm]n3^2=wurzel[/mm] aus [mm]n^2[/mm]
> daraus folgt [mm]1=n^2[/mm]
> damit vereinfacht sich die Formel für t:
> t=c-n*p
> für den Abstand gilt dann:
> d=l c-n*p l
> = l n*p-n*q l
> = l n*(p-q) l
>
> Dann kommt die Handhabung in der Praxis mit der HNF. Das
> ist mir klar wie das funktioniert. Ich versteh nur nicht,
> wieso ich dafür die Formel für den Abstand herleiten muss,
> denn dann benutz ich die Formel ja gar nicht mehr, oder? Da
> hab ich ja dann eine Eben und ein Punkt. Dann berechne ich
> n der Ebene, mach eine HNF und setze den Punkt ein. Was hat
> das mit dieser Formel zu tun? Versteh ich nicht! Und wie
> man die Formel herleitet vertseh ich auch nicht. Ich brauch
> gaaanz dringend Hilfe. Währe wirklich seeehr nett, wenn es
> jemand gibt, der mir da helfen könnte!!!
>
> Liebe Grüßchen
> Kathrin :)
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Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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