Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 04.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Es sei durch [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}, a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{2n}{n+1}*a_{n}} [/mm] eine Folge [mm] a_{n} [/mm] positiver reeller Zahlen rekursiv definiert.
a) Man zeige, dass die Folge monoton steigt.
b) Man beweise, dass [mm] a_{n} \le [/mm] 3 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
c) Man begründe, dass die Folge konvergiert.
d) Man berechne den Grenzwert der Folge. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bevor ich meine Frage stelle, hier erstmal mein Fortschritt. c) und d) vorerst ignorieren
a) Zu beweisen: [mm] a_{1} \le a_{2} \le a_{3};
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{2*\bruch{3}{2}}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2,5}
[/mm]
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{2*2*2,5}{3}} [/mm] = [mm] \wurzel{4,33}
[/mm]
soweit so gut.
b) Die Formel lautet |A - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich verstehe sie nicht genau.
Das A ist offensichtlich der Punkt wo sich der "Haufen" sammelt.
Am besten zitiere ich die allgemeine beschreibung wie sie hier steht:
Ein Häufungspunkt oder Häufungswert einer folge [mm] (a_{n}) [/mm] ist ein Punkt, bei dem unendlich viele Folgenglieder beliebig nahe liegen. Eine Folge hat also einen Häufungspunkt, wenn es eine Zahl A [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 unendlich viele Folgenglieder diese Ungleichung erfüllen(siehe oben für Ungleichung).
Also ist A=3 und [mm] a_{n} [/mm] alle Werte?? und wie soll ich [mm] \varepsilon [/mm] verstehen? ist das ein konstanter wert über 0 oder eine variable?? hilfe...
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Hallo!
> Es sei durch [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}, a_{n+1}[/mm] =
> [mm]\wurzel{1+\bruch{2n}{n+1}*a_{n}}[/mm] eine Folge [mm]a_{n}[/mm] positiver
> reeller Zahlen rekursiv definiert.
>
> a) Man zeige, dass die Folge monoton steigt.
> b) Man beweise, dass [mm]a_{n} \le[/mm] 3 für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> c)
> Man begründe, dass die Folge konvergiert.
> d) Man berechne den Grenzwert der Folge.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Bevor ich meine Frage stelle, hier erstmal mein
> Fortschritt. c) und d) vorerst ignorieren
>
> a) Zu beweisen: [mm]a_{1} \le a_{2} \le a_{3};[/mm]
>
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{1+\bruch{2*\bruch{3}{2}}{2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2,5}[/mm]
> [mm]a_{3}[/mm] = [mm]\wurzel{1+\bruch{2*2*2,5}{3}}[/mm] = [mm]\wurzel{4,33}[/mm]
> soweit so gut.
>
Nennst du das Beweis? Du hast dir nen paar Beispiele angeguckt? Und nichtmal viele. Warum ist denn [mm] a_{100}\le a_{101} [/mm] ???
Du sollst die Aussage im Allgemeinen zeigen.
[mm] a_{n} \le a_{n+1} \forall [/mm] n
> b) Die Formel lautet |A - [mm]a_{n}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> Ich verstehe sie nicht genau.
> Das A ist offensichtlich der Punkt wo sich der "Haufen"
> sammelt.
> Am besten zitiere ich die allgemeine beschreibung wie sie
> hier steht:
>
> Ein Häufungspunkt oder Häufungswert einer folge [mm](a_{n})[/mm]
> ist ein Punkt, bei dem unendlich viele Folgenglieder
> beliebig nahe liegen. Eine Folge hat also einen
> Häufungspunkt, wenn es eine Zahl A [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass
> für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 unendlich viele Folgenglieder
> diese Ungleichung erfüllen(siehe oben für Ungleichung).
>
> Also ist A=3 und [mm]a_{n}[/mm] alle Werte?? und wie soll ich
> [mm]\varepsilon[/mm] verstehen? ist das ein konstanter wert über 0
> oder eine variable?? hilfe...
Was meinst du hier mit Häufungspunkt? Du sollst nur zeigen, dass das Ding immer unterhalb der 3 bleibt, nicht dass 3 ein Häufungspunkt ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 04.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
Nagut ich hab das jetzt so gemacht:
[mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] ist zu zeigen.
Beweis mittels Induktion:
Induktionsanfang: [mm] n_{0} [/mm] = 1;
3/2 [mm] \le \wurzel{2,5}
[/mm]
Induktionsschluß:
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{2n+2}{n+2}*a_{n+1}} \le \wurzel{1+\bruch{2n}{n+1}*a_{n}} [/mm] = [mm] a_{n+1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Do 04.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo ist da ein Induktionsschluß?
wenn esrichtig ist, ist das ein direkter Beweis, aner wie begründest du dein [mm] \le [/mm] Zeichen? auß34dem willst du das Gegenteil zeigem, [mm] a_{n+1}>a:n!
[/mm]
Gruß leduart
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