Häufungspunkte einer Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Do 22.09.2011 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Menge M:= [mm] \{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m} | n,m \in \IN \} [/mm] |
Guten Abend,
habe mich an dieser Aufgabe versucht, komme aber leider nicht weiter. Ich hab bereits gezeigt, dass die Elemente der Menge A:= [mm] \{ \bruch{1}{n} | n \in \IN \} \cup \{0\} [/mm] Häufungspunkte von M sind. Nun bleibt zu zeigen, dass es keine weiteren Häufungspunkte geben kann. Und genau das macht mir zu schaffen. Ich habe folgendes versucht:
Fall 1: Sei a < 0. Setze [mm] \epsilon:= [/mm] |a|. Dann gilt: [mm] U_{\epsilon} \cap [/mm] M = [mm] \{\}. [/mm] Somit kann a kein Häufungspunkt der Menge sein.
Fall 2: Sei a > 2. Setze [mm] \epsilon:= [/mm] a -2. Dann gilt: [mm] U_{\epsilon} \cap [/mm] M = [mm] \{\}. [/mm] Somit kann a kein Häufungspunkt der Menge sein.
Fall 3: Sei 0 < a < 1 und a [mm] \not= \bruch{1}{n} [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gibt es ein [mm] n_{0} \in \IN, [/mm] so dass [mm] \bruch{1}{n_{0} +1} [/mm] < a < [mm] \bruch{1}{n_{0}}. [/mm] Setze [mm] \epsilon:= [/mm] min [mm] \{|a-\bruch{1}{n_{0}}|, |a-\bruch{1}{n_{0}+1}||\}. [/mm] Angenommen [mm] U_{\epsilon} \cap [/mm] M [mm] \not= \{\}. [/mm] Dann gibt es ein x [mm] \in U_{\epsilon} \cap [/mm] M mit x = [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{m} [/mm] und es gilt [mm] \bruch{1}{n_{0}+1} [/mm] < x < [mm] \bruch{1}{n_{0}} [/mm] für entsprechende n,m [mm] \in \IN. [/mm] Dies müsste ich nun zum Widerspruch führen. Weiß aber leider nicht wie. Desweiteren müsste man noch den Fall 1 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 2 betrachten. Irgendwie denke ich das ich auf dem Holzweg bin. Vermutlich lässt sich dies recht leicht mit dem Folgenkriterium zeigen. Dazu habe ich aber leider überhaupt keine Idee.
Ich habe diese Aufgabe auch auf http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=467337 gespostet.
Ich freue mich über jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Fr 23.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Menge M:=
> [mm]\{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m} | n,m \in \IN \}[/mm]
> Guten Abend,
>
> habe mich an dieser Aufgabe versucht, komme aber leider
> nicht weiter. Ich hab bereits gezeigt, dass die Elemente
> der Menge A:= [mm]\{ \bruch{1}{n} | n \in \IN \} \cup \{0\}[/mm]
> Häufungspunkte von M sind. Nun bleibt zu zeigen, dass es
> keine weiteren Häufungspunkte geben kann. Und genau das
> macht mir zu schaffen. Ich habe folgendes versucht:
>
> Fall 1: Sei a < 0. Setze [mm]\epsilon:=[/mm] |a|. Dann gilt:
> [mm]U_{\epsilon} \cap[/mm] M = [mm]\{\}.[/mm] Somit kann a kein
> Häufungspunkt der Menge sein.
> Fall 2: Sei a > 2. Setze [mm]\epsilon:=[/mm] a -2. Dann gilt:
> [mm]U_{\epsilon} \cap[/mm] M = [mm]\{\}.[/mm] Somit kann a kein
> Häufungspunkt der Menge sein.
> Fall 3: Sei 0 < a < 1 und a [mm]\not= \bruch{1}{n}[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
> Dann gibt es ein [mm]n_{0} \in \IN,[/mm] so dass [mm]\bruch{1}{n_{0} +1}[/mm]
> < a < [mm]\bruch{1}{n_{0}}.[/mm] Setze [mm]\epsilon:=[/mm] min
> [mm]\{|a-\bruch{1}{n_{0}}|, |a-\bruch{1}{n_{0}+1}||\}.[/mm]
Das ist gut. Dann ist die [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung von a frei von Elementen der Form 1/n.
Besser wäre es aber, [mm] \epsilon [/mm] nur halb so groß zu wählen. Dann ist nämlich von beiden Rändern der Umgebung jeweils noch freier Platz bis zu den angrenzenden Werten [mm] 1/(n_0+1) [/mm] bzw. [mm] 1/n_0.
[/mm]
Wenn man jetzt m klein genug wählt, erreicht die Summe [mm] 1/(n_0+1)+1/m [/mm] nicht die Epsilon-Umgebung von a.
Gruß Abakus
> Angenommen [mm]U_{\epsilon} \cap[/mm] M [mm]\not= \{\}.[/mm] Dann gibt es ein
> x [mm]\in U_{\epsilon} \cap[/mm] M mit x =
> [mm]\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m}[/mm] und es gilt [mm]\bruch{1}{n_{0}+1}[/mm] <
> x < [mm]\bruch{1}{n_{0}}[/mm] für entsprechende n,m [mm]\in \IN.[/mm] Dies
> müsste ich nun zum Widerspruch führen. Weiß aber leider
> nicht wie. Desweiteren müsste man noch den Fall 1 [mm]\le[/mm] a
> [mm]\le[/mm] 2 betrachten. Irgendwie denke ich das ich auf dem
> Holzweg bin. Vermutlich lässt sich dies recht leicht mit
> dem Folgenkriterium zeigen. Dazu habe ich aber leider
> überhaupt keine Idee.
>
> Ich habe diese Aufgabe auch auf
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=467337
> gespostet.
>
> Ich freue mich über jede Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Fr 23.09.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin diab91,
ich habe mich mal mit meinen verrosteten Analysis-I-Kenntnissen an dieser Fragestellung versucht.
Sei $a>0$ und [mm] $a\notin [/mm] A$. Waehle [mm] $k\in\IN$ [/mm] so gross, dass $0<1/k<a$. Waehle weiterhin ein [mm] $\delta>0$ [/mm] so klein, dass [mm] $1/k
Jede Zahl [mm] $r=1/m+1/n\in [/mm] M$ mit $m,n>2k$ liegt in $(0,1/k)$ und somit *nicht* in [mm] $U_{\delta}(a)$. [/mm] Somit koennen sich in [mm] $U_{\delta}(a)$ [/mm] nur endlich viele Elemente aus $M_$ befinden.
vg Luis
PS: [mm] $1/2\in [/mm] A$ ist folglich auch *kein* Haeufungspunkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Fr 23.09.2011 | | Autor: | diab91 |
> Moin diab91,
>
> ich habe mich mal mit meinen verrosteten
> Analysis-I-Kenntnissen an dieser Fragestellung versucht.
>
> Sei [mm]a>0[/mm] und [mm]a\notin A[/mm]. Waehle [mm]k\in\IN[/mm] so gross, dass
> [mm]0<1/k0[/mm] so klein, dass
> [mm]1/k
>
> Jede Zahl [mm]r=1/m+1/n\in M[/mm] mit [mm]m,n>2k[/mm] liegt in [mm](0,1/k)[/mm] und
> somit *nicht* in [mm]U_{\delta}(a)[/mm]. Somit koennen sich in
> [mm]U_{\delta}(a)[/mm] nur endlich viele Elemente aus [mm]M_[/mm] befinden.
>
> vg Luis
>
> PS: [mm]1/2\in A[/mm] ist folglich auch *kein* Haeufungspunkt.
Wow, sehr schön und kurz. Ich hoffe das ich irgendwann auf sowas auch mal von alleine komme. Vielen Dank :). Auch vielen Dank für deine Hilfe Abakus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Fr 23.09.2011 | | Autor: | luis52 |
> Ich hoffe das ich irgendwann
> auf sowas auch mal von alleine komme.
Keine Sorge, das wird. Bleib nur am Ball. 
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 14:20 Fr 23.09.2011 | | Autor: | hippias |
>
> PS: [mm]1/2\in A[/mm] ist folglich auch *kein* Haeufungspunkt.
>
Ich denke [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ist ganz bestimmt HP von $A$, da die Folge [mm] $(\frac{1}{2}+\bruch{1}{n})_{n\in \IN}$ [/mm] von Elementen aus $A$ den Grenzwert [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] hat. Meiner Meinung nach ist die Urspruengliche Behauptung richtig: Die Menge der HP von $A$ ist [mm] $\{\bruch{1}{n}: n\in \IN\}\cup\{0\}$:
[/mm]
Die eine Inklusion ist trivial. Sei umgekehrt $0< a$ HP von $A$.
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon
Dann ist [mm] $A_{\varepsilon}$ [/mm] nicht endlich:
Angenommen dies ist falsch. Dann gibt es [mm] $(r,s)\in A_{\varepsilon}$ [/mm] so, dass [mm] $\delta:= |a-(\bruch{1}{r}+ \bruch{1}{s})|$ [/mm] minimal ist. Da $a$ HP ist, gibt es [mm] $(n,m)\in A_{\delta}$. [/mm] Wegen [mm] $\delta<\varepsilon$ [/mm] ist dann aber [mm] $(n,m)\in A_{\varepsilon}$ [/mm] und [mm] $|a-(\bruch{1}{n}+ \bruch{1}{m})|< \delta$ [/mm] im Widerspruch zur minimalen Wahl von $(r,s)$. Also ist [mm] $A_{\varepsilon}$ [/mm] unendlich.
Sei nun [mm] $(r,s)\in A_{\varepsilon}$. [/mm] Wegen $a>0$ gilt [mm] $r\leq \bruch{2}{a-\varepsilon}$ [/mm] oder [mm] $s\leq \bruch{2}{a-\varepsilon}$ [/mm] (sonst waere [mm] $|a-(\bruch{1}{r}+ \bruch{1}{s})|>\varepsilon$). [/mm] Da [mm] $A_{\varepsilon}$ [/mm] unendlich ist, gibt es oBdA ein [mm] $r\in \IN$ [/mm] so, dass es unendlich viele [mm] $s\in \IN$ [/mm] mit [mm] $(r,s)\in A_{\varepsilon}$ [/mm] gibt. Dann gilt aber [mm] $|a-\bruch{1}{r}|\leq \varepsilon$.
[/mm]
Wegen $a>0$ ist die Menge $A':= [mm] \{r\in \IN: |a-\bruch{1}{r}|\leq \varepsilon\}$ [/mm] endlich. Ist [mm] $\delta$ [/mm] das Minimum von [mm] $\{|a-\bruch{1}{r}|:r\in A'\}$, [/mm] so ist [mm] $\delta= [/mm] 0$, denn sonst gaebe es nach obiger Ueberlegung ein [mm] $r'\in \IN$ [/mm] mit [mm] $|a-\bruch{1}{r'}|\leq \bruch{\delta}{2}$, [/mm] im Widerspruch zur minimalen Wahl von [mm] $\delta$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 25.09.2011 | | Autor: | diab91 |
> Jede Zahl [mm]r=1/m+1/n\in M[/mm] mit [mm]m,n>2k[/mm] liegt in [mm](0,1/k)[/mm] und
> somit *nicht* in [mm]U_{\delta}(a)[/mm]. Somit koennen sich in
> [mm]U_{\delta}(a)[/mm] nur endlich viele Elemente aus [mm]M_[/mm] befinden.
>
Das macht mich jetzt im nachhinein doch noch ein bisschen stutzig. Würde demnach nicht auch für ein l [mm] \in \IN [/mm] mit 2k > l > k gelten, dass in
[mm]U_{\delta}(\bruch{1}{l})[/mm] nur endlich viele Elemente aus M liegen? Das stimmt aber doch so nicht?! Demnach wäre ja [mm] \bruch{1}{l} [/mm] kein Häufungspunkt der Menge M. Ich habe aber schon gezeigt das dies einer ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 25.09.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
so habe ich in meinem PS leider auch erst gedacht.
Fuer [mm] $l\in\IN$ [/mm] liegen aber unendlich viele Elemente in $ [mm] U_{\delta}(1/l) [/mm] $: Waehle [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] mit [mm] $1/n_0<\delta$. [/mm] Ist [mm] $n\ge n_0$, [/mm] so ist [mm] $1/l+1/n\in [/mm] M$ und [mm] $\in U_{\delta}(1/l) [/mm] $.
vg Luis
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