Häufungspunkte kompaktheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Sa 24.09.2005 | | Autor: | flo137 |
Hallo
ich hab probiert bei dieser Folge die Häufungspunkte der Folge und der Reihe zu berrechnen und ob die Menge {an} kompakt ist
an = ( [mm] (-1)^{(n³-3n²+2n)/2} [/mm] + [mm] (-1)^{[n/2]} [/mm] ) * ( [mm] n/(n+1))^{n+2}
[/mm]
also HP der Folge sind bei mir 0 , -2 , 2
HP der Reihe -2 ,2
ja und zur kompaktheit würd ich sagen das sie kompakt da sie eine teilmenge von R ist alle ihre HP enthält und beschränkt ist
kann mir bitte jemand schreiben ob das so richtig ist vorallem das mit der kompaktheit kommt mir in diesem fall zu leicht vor
und nochetwas mir ist klar das die Periodizität von (n³-3n²+2n)/2
4 ist und das es nur für 4k-1 ungerade ist aber wie für ich dazu einen exakten beweiß
danke im vorhinein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 So 25.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
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> und nochetwas mir ist klar das die Periodizität von
> (n³-3n²+2n)/2
> 4 ist und das es nur für 4k-1 ungerade ist aber wie für
> ich dazu einen exakten beweiß
>
Nun, es gilt ja [mm] $\bruch{n^3-3n^2+2n}{2}=\bruch{n(n-1)(n-2)}{2}$
[/mm]
Setze einfach für n hintereinander die Werte 4k, 4k+1, 4k+2 und 4k+3 ein.
Dann brauchst du nur noch zu begründen, warum das Resultat jeweils gerade oder ungerade ist. Zum Beispiel $n=4k+3$ ergibt
[mm] $\bruch{(4k+3)(4k+2)(4k+1)}{2}=(4k+3)*(2k+1)*(4k+1)$
[/mm]
Ein Produkt von drei ungeraden Zahlen ist ungerade.
Gruss
Paul
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Hallo!
Zur Periodizität hat Paulus dir ja schon etwas geschrieben.
Die richtige Antwort zur Frage nach der Kompaktheit findest du in [mm] $\IR$, [/mm] wenn du herausfindest, ob [mm] $A:=\{a_n\colon n\in\IN\}$ [/mm] abgeschlossen und beschränkt ist. Beschränkt ist $A$ in der Tat, aber ist sie auch abgeschlossen? Denk nochmal darüber nach, ob die Häufungspunkte auch wirklich in $A$ liegen!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 26.09.2005 | | Autor: | flo137 |
mir ist schon selbst aufgefallen das die HP nicht -2 2 sind sondern -2/e , 2/e
aber was mir eben bei der kompaktheit nicht klar war ist
ob man den limit von [mm] (n/n+1)^n [/mm] also 1/e zur menge an rechnen darf oder nicht da es zwar unendlich viele punkte gibt die beliebig nahe an 1/e liegen es aber niemals erreicht wird???
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Hallo!
> mir ist schon selbst aufgefallen das die HP nicht -2 2 sind
> sondern -2/e , 2/e
So ist es! Und natürlich die 0...
> aber was mir eben bei der kompaktheit nicht klar war ist
> ob man den limit von [mm](n/n+1)^n[/mm] also 1/e zur menge an
> rechnen darf oder nicht da es zwar unendlich viele punkte
> gibt die beliebig nahe an 1/e liegen es aber niemals
> erreicht wird???
Die Menge [mm] $A=\{a_n\colon n\in\IN\}$ [/mm] enthält einen Häufungspunkt $a$ nur dann, wenn es ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt mit [mm] $a=a_n$...
[/mm]
Also ist [mm] $0\in [/mm] A$. Bei [mm] $-\frac 2e,\frac [/mm] 2e$ sieht das anderes aus...
Gruß, banachella
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