Häufungswert der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Häufungswerte der Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] definiert durch [mm] (a_{n}) [/mm] := [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] [\wurzel{n}] [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo,
hab mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe und hoffe mir kann jemand helfen..
Folgendes hab ich mir dazu überlegt: Wenn ich einfach mal einige Werte für n einsetze, so ist mein Ergebnis dass alle Häufungswerte im abgeschlossenen Intervall [0;1] liegen müssen, da die Folge keine anderen Werte annimmt.
Da die Werte immer wieder 0 annehmen und sich dann der 1 annähern, würde ich diese beiden Zahlen als Menge [mm] H(a_{n}) [/mm] nehmen.
Leider hab ich keine Ahnung wie ich hierzu einen Beweis führen kann.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Danke und liebe Grüße,
pinkdiamond
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Di 17.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle Häufungswerte der Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> definiert durch [mm](a_{n})[/mm] := [mm]\wurzel{n}[/mm] - [mm][\wurzel{n}][/mm] für
> alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Hallo,
> hab mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe und hoffe mir
> kann jemand helfen..
>
> Folgendes hab ich mir dazu überlegt: Wenn ich einfach mal
> einige Werte für n einsetze, so ist mein Ergebnis dass
> alle Häufungswerte im abgeschlossenen Intervall [0;1]
> liegen müssen, da die Folge keine anderen Werte annimmt.
> Da die Werte immer wieder 0 annehmen und sich dann der 1
> annähern, würde ich diese beiden Zahlen als Menge
> [mm]H(a_{n})[/mm] nehmen.
> Leider hab ich keine Ahnung wie ich hierzu einen Beweis
> führen kann.
> Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Dreh die Sache mal rum. Versuche zu beweisen, dass 0,3 KEIN Häufungspunkt ist, dass für alle
[mm] \epsilon [/mm] also nur endlich viele Glieder im Intervall [mm] [0,3-\epsilon [/mm] ; [mm] 0,3+\epsilon] [/mm] liegen.
Gruß Abakus
>
> Danke und liebe Grüße,
> pinkdiamond
|
|
|
| |
|
hallo,
danke erst mal für deine Antwort!
Saß jetzt gerade davor, ich glaub iwie steh ich völlig auf dem Schlauch..
wieso soll ich denn beweisen dass 0;3 kein Häufungspunkt ist, dann 3 ist ja auch tatsächlich keiner. Wieso gerade 3 und wäre das dann trotzdem ein richtiger Widerspruch?
Aber selbst wenn ich das jetzt beweisen sollte, hab ich nach wie vor überhaupt keine Ahnung wie ich das anstellen soll.
Ich muss die Aussage ja iwie zum Widerspruch bringen können..
liebe Grüße,
pinkdiamond
|
|
|
| |
|
Kann es sein, dass ich zum Beweis das Cauchy-Kriterium verwenden kann?
Versteh nur iwie grad nicht so genau wie, aber es würde zu dem Beweis passen, dass nur endlich viele Folgeglieder im Intervall liegen, oder?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 17.11.2009 | | Autor: | leduart |
Wenn
du 0,3 nicht als 3/10 liest dann musst du den Antworter ja wohl für recht komisch halten.
denkst du denn es liegen nur endlich viele drin, du hast immerhin unendlich viele n!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Nein, dass nur endlich viele drin liegen hatte ich nicht erwartet. Daraus hatte ich ja gerade gehofft einen Widerspruch zu erlangen, genau so wie es abakus empfohlen hatte?
Ich hab mit meinem Mathe Studium gerade angefangen und bin noch nicht sehr vertraut mit vielen neuen Formulierungen..
Wie soll ich denn eine 3 in einem Intervall als 3/10 lesen?
Was sagt mir denn das?
Danke für eure Bemühungen..
Gruß, pinkdiamond
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 17.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
abakus hat von den vielen Punkten die zwischen 0 und 1 liegen irgendeinen ausgesucht, 0,3=3/10 er hätte genausogut 0, 33 oder 0,7 sagen können. nun sollst du überlegen, ob es in einer Umgebung von dem gewählten Punkt in deinem Intervall, und Umgebung heisst zwischen [mm] 0,3-\epsilon [/mm] und [mm] 0,3+\epsilon [/mm] , epsilon beliebig ,(kleiner 0,3) nur endlich viele Werte gibt.
Wenn ja ist 0,3 kein HP wenn nein ist 0,3 ein HP
Abakus Vorschlag lis darufhin nochmal durch. Und weder er noch ich haben eine 3 erwähnt, da hast du irgendwas falsch gelesen, (ich dachte statt 0,3 der Dezimalzahl eine 0 und eine 3 durch Komma getrennt) das war aber sicher nie gemeint und wäre auch recht sinnfremd.)
gruss leduart
|
|
|
| |
|
achsooo..man bin ich blöd.
Dachte sogar dass 3/10 irgendein mathematischer ausdruck ist. Mathe macht echt blind manchmal;)
Danke, für die Erläuterung.
Ich werde mich mit der Aufgabe so auseinander setzen und mich dann bei Problemen wieder melden.
Danke, mfg
|
|
|
| |
|
Hallo,
habe mich mit der Aufgabe beschäftigt und weiß nicht, wie ich das mit dem empfohlenen Widerspruchsbeweis hinbekommen soll.
Da ich ja vermute die Häufungswert 0 und 1 zu kennen, habe ich zuerst versucht das ganze für den Häufungswert 0 so zu beweisen:
Fall 1: n ist eine Quadratzahl: n= [mm] k^{2}
[/mm]
[mm] a_{n}: a_{k^{2}}= \wurzel{k^{2}} [/mm] - [mm] [\wurzel{k^{2}}] [/mm]
= |k|-|k| = 0
Somit hätte ich den Häufungswert 0 gezeigt.
Gibt es jetzt noch eine Möglichkeit zu zeigen, dass die Folge immer wieder gegen 1 geht?
Es wäre toll, wenn mir jmd helfen würde.
Gruß, pinkdiamond
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kommst du denn auf die Idee, dass das grade gegen 1 gehen soll
guck dir mal an wenn z.Bsp n=2 [mm] n=2*10^2 n=2*(10^k)^2 [/mm] ist. dasselbe mit n=3 usw. warum soll das etwa bei den Teilfolgen gegen 1 gehen?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hey!
danke für deine Hilfe!
sorry, wenn ich nerve, aber ich komm einfach nicht von der Stelle.
Ich habe deswegen auf eine Konvergenz gegen 1 getippt, da zwischen den Quadratzahlen, die Werte der Folge immer zunehmen, die 1 aber nie überschritten und sobald eine Quadratzahl wieder kommt, dann die Werte wieder von Neuem von 0 in Richtung 1 wandern.
Hast du gemeint, ich soll die Folge in TF unterteilen?
So etwa, dass gilt: [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} [/mm] {i [mm] (10^{k})^{i} [/mm] | k [mm] \in \IN [/mm] }?
Hab dies mal für ein Paar Werte ausprobiert und bekomme jedes mal eine neue TFolge, der ich keinen definitiven Grenzwert zuordnen kann ohne k einzusetzen, bzw für k gegen unendlich selbst unendlich sein würde..
Liebe Grüße,
pinkdiamond
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ich dir mit meiner Teilfolge zeigen wollte.
wenn ich mir die Dezimalstellen von [mm] \wurzel{2} [/mm] ansehe, dann kommen sie alle als erste Stelle mal vor, also 0.4,0.1,0.2,0.5 usw.
entsprechend, wenn ich das bei [mm] \wurzel{3} [/mm] mache, oder irgendner Wurzel.
Wieso denkst du dann dass du leichter 0.9999... unendlich oft erreichst als 0.299999..
d.h. Nur 1 und 0 als HP ist sicher falsch.
Was du ausprobiert hast: wenn du alle Zahlen zw. 2 Quadratzahlen untersuchst, dann bist du erst nahe bei 0, am Ende dann nahe an 1 dazwischen hast du etwa zwischen [mm] 30^2 [/mm] und [mm] 31^2 [/mm] 30 Zahlen auf deinem Intervall, alle nicht nahe an 1.
zwischen [mm] 1000000^2 [/mm] und [mm] 1000001^2 [/mm] hast du 1000000 Zahlen auf deinem Intervall! nur die letzten paar liegen nahe an 1.
Denk das mal weiter!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Das heißt dann, dass jeder Wert im abgeschlossenen Intervall [0;1] ein Häufungswert ist.
ok, wäre iwie auch logisch.
Und wie beweise ich das dann, weil nur eine Auflistung der Werte ist ja nicht ausreichend!?
Liebe Grüße,
pinkdiamond
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
beweis, dass es in einer [mm] \epsilon [/mm] Umgebung eines beliebigen Punktes aus dem Intervall nicht nur endlich viele sind.
Das war schon der erste Hinweis.
Gruss leduart
|
|
|
|
