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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:59 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Kai1989 |
| Aufgabe | Die abgebildeten Quadrate haben alle die Eigenschaft, dass sie ein Fläche von 1 Flächeneinheit, z.B. 1dm², einnehmen. Außerdem gilt für Quadrate und Kreise, dass die Flächenmaßzahl der grau markierten (symmetrisch liegenden) Schnittflächen genau 1/2 Flächeneinheit sein soll (was in den Abbildungen nur ungefähr der Fall ist).
Welche Radien müssen die Kreise in den Figuren (1), (2), (3) haben, damit diese Eigenschaften zutreffen?
Hinweis: Teilaufgabe (3) ist nicht exakt, sondern nur näherungsweise (numerisch) lösbar!
Abbildung:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Die Aufgaben 1 und 2 fielen mir recht leicht:
1.) Da der Flächeninhalt des Kreises = 1/2 FE = [mm] \pi [/mm] r²
... ist r= 0,3983 FE
2.) Da der Flächeninhalt des Kreises = 1/2 FE = [mm] \pi r²\alpha/360
[/mm]
und [mm] \alpha=90°
[/mm]
... ist r= 0,7979 FE
Bei 3 komme ich allerdings nicht weiter. Jemand eine Idee?
Ich habe bereits die Formel für die Sehnenlänge: [mm] s=2r*sin(\alpha/2)
[/mm]
.... kann sie allerdings nicht anwenden ohne den Winkel und benötige Hilfe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Kai,
du kannst sofort ein paar Aussagen über die Größe des Radius treffen:
- er muss größer als 0,5 LE sein, denn ansonsten wäre das Quadrat breiter als der Kreis
- der Flächeninhalt des Halbkreises muss größer als 0,5 FE sein, denn die graue Fläche füllt nicht den gesamten Halbkreis aus; Auflösen der Flächeninhaltsgleichung nach dem Radius ergibt: r ist größer als ca. 0,56 LE
- er muss deutlich kleiner sein als 0,79 LE, denn der Gesamtflächeninhalt ist deutlich kleiner als 2 FE
usw.
Auf jeden Fall glaube ich, dass man bei dieser Aufgabe leichter vorwärts kommt, wenn man sich mit einem Viertelkreis statt einem Halbkreis befasst!  (Kann natürlich sein, dass ich mich da total irre.)
Die einzige (zugegeben ewas umständliche) Methode, die mir einfällt, ist immerhin recht genau:
Wenn du das Quadrat über dem Kreis waagerecht "durchschneidest", haben beide Hälften logischerweise denselben Flächeninhalt wie deine graue Fläche. Das Kreisstück, welches die Schnittlinie überragt, hat denselben Flächeninhalt wie die beiden "Ecken", die zwischen dem Kreis, dem Quadrat und der Schnittlinie liegen.
Wenn du nun von den Rändern der Schnittlinie zum Mittelpunkt des Kreises jeweils eine Linie ziehst, erhältst du ein Dreieck. Wenn du zum Flächeninhalt dieses Dreiecks (der ja genau 0.25 FE ist, denn wir haben ein Quadrat und daher einen rechten Winkel zwischen den beiden Linien) die noch fehlenden "Eckenhälften" dazuaddierst, die außerhalb des Dreiecks liegen, erhältst du den Flächeninhalt eines Viertelkreises.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Di 08.01.2008 | | Autor: | chrisno |
Hallo Kai,
zuerst einmal vermute ich, dass beim dritten Bild die untere Kante des Quadrats uauf einem Durchmesser des Krieses liegt. Das sieht bei mir nämlich nicht so aus.
Im anderen Fall wäre die Lösung nicht eindeutig, einfachste Variante $ r = [mm] \infty$.
[/mm]
Da steht in der Aufgabe ein Hinweis, dass sie nummerisch zu lösen ist. Was kannst Du in dieser Richtung?
Aufwendig, aber zu einem Ergebnis führend:
- nimm einen vernünftigen Wert für den Radius.
- berechne das Integral für die graue Fläche nummerisch
- ist das Ergebnis größer als 0,5? dann muss der Radius kleiner gewählt werden ... usw, bis Dir die Genauigkeit ausreicht.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:49 Do 10.01.2008 | | Autor: | Kai1989 |
| Aufgabe | Da steht in der Aufgabe ein Hinweis, dass sie nummerisch zu lösen ist. Was kannst Du in dieser Richtung?
Aufwendig, aber zu einem Ergebnis führend:
- nimm einen vernünftigen Wert für den Radius.
- berechne das Integral für die graue Fläche nummerisch
- ist das Ergebnis größer als 0,5? dann muss der Radius kleiner gewählt werden ... usw, bis Dir die Genauigkeit ausreicht |
Ich versuche, deinen/Ihren Vorschlag, das Problem durch Integralrechnung zu lösen, nachzuvollziehen, habe aber dabei eine Menge an Fragen.
Ich muss dazu sagen, dass wir mit der Integralrechnung in der Schule erst vor kurzer Zeit angefangen haben und ich dementsprechend wahrscheinlich dort nur geringes Wissen habe.
Soweit ich weiß, brauche ich, um zu Integrieren einen Bereich, der bei mir von 0-1 geht. Die Lösung sollte 0,5 sein bzw 0,5 nahe kommen. Um zu integrieren, brauche ich, soweit ich weiß, die Funktionsgleichung für diesen Kreisabschnitt, um dann dort "an der richtigen Stelle" meinen angenommenen Wert für r einzusetzen.
Und hier kommt mein erstes Problem, dass ich weder die Funktionsgleichung für Kreisabschnitte kenne, noch weiß, ob es so etwas gibt, da ich sie bisher nicht gefunden habe.
(Ich habe auch schon versucht, die Funktionsgleichung herauszufinden durch die Annahme, dass es eine Funktion zweiten Grades ist, dass f'(0,5)=0 ist, etc. - bin allerdings zu keiner Lösung gekommen...)
Wie komme ich auf eine solche Funktionsgleichung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Do 10.01.2008 | | Autor: | chrisno |
Bei einem Kreis haben alle Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt. Wenn der Mittelpunkt bei (0/0) liegt, dann gilt [mm] r^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] oder anders geschrieben [mm] r^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] f(x)^2.
[/mm]
Damit hast Du f(x).
Damit das nun passt, musst Du von -0,5 bis 0,5 integrieren.
(Die Hälfte reicht auch, danach mal 2 nehmen).
Das machst Du vielleicht am einfachsten mit Trapezen. Für das erste sollten 10 Stück reichen. Also:
nimm einen Wert für r z.B. r = 0,5, denn dann weißt Du was herauskommen muss, und leg los
$F1 = 0,5 [mm] \cdot [/mm] ( f(-0,4)+f(-0,5) ) [mm] \cdot [/mm] 0,1$
$F2 = ... $
usw. bis F10.
Dann vergrößere r, bis das Ergebnis immer mehr sich 0,5 annähert.
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