Halbkugelbefüllung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Halbkugelschale vom Radius R>0 wird bis zur Höhe h [mm] (\le [/mm] R) mit Wein gefüllt.
i) Berechnen Sie das Füllvolumen V(h) aus V'(h). Erläutern Sie dazu zunächst, welche Geometrische Größe der Weinfüllung durch [mm] \bruch{V(h + \Delta h ) - V(h) }{ \Delta h} [/mm] näherungsweise und durch V'(h) exakt berechnet wird. Bestimmen Sie danach V(h).
ii) Bei welchem Verhältnis x = [mm] \bruch{h}{R} [/mm] ist die Halbkugelschale zur Hälfte mit Wein gefüllt? |
Hallo Leute.
Ich habe keine Ahnung wie das gehen soll. Meine Zielformel soll ja die Kugelsegmentsvolumenformel: [mm] V_{Seg}=\bruch{ h^{2} \* \pi}{3}(3r-h) [/mm] sein. Die soll ich (denk ich mal) hinterher bekommen, ausgehend von der Halbkugelformel [mm] V_{HK} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} \pi r^{3} [/mm] .
Nur wie ich von dort die Kurve zur Segmentsformel bekomme ist mir ein Rätsel.
Die Aufgabe ii müsste mit der ersten dann gut lösbar sein.
Aber bei der ersten verzweifel ich....
Grüße, Matthias
|
|
| |
|
> Eine Halbkugelschale vom Radius R>0 wird bis zur Höhe h
> [mm](\le[/mm] R) mit Wein gefüllt.
> i) Berechnen Sie das Füllvolumen V(h) aus V'(h). Erläutern
> Sie dazu zunächst, welche Geometrische Größe der
> Weinfüllung durch [mm]\bruch{V(h + \Delta h ) - V(h) }{ \Delta h}[/mm]
> näherungsweise und durch V'(h) exakt berechnet wird.
> Bestimmen Sie danach V(h).
>
> ii) Bei welchem Verhältnis x = [mm]\bruch{h}{R}[/mm] ist die
> Halbkugelschale zur Hälfte mit Wein gefüllt?
> Hallo Leute.
>
> Ich habe keine Ahnung wie das gehen soll. Meine Zielformel
> soll ja die Kugelsegmentsvolumenformel: [mm]V_{Seg}=\bruch{ h^{2} \* \pi}{3}(3r-h)[/mm]
> sein. Die soll ich (denk ich mal) hinterher bekommen,
> ausgehend von der Halbkugelformel [mm]V_{HK}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3} \pi r^{3}[/mm]
> .
> Nur wie ich von dort die Kurve zur Segmentsformel bekomme
> ist mir ein Rätsel.
> Die Aufgabe ii müsste mit der ersten dann gut lösbar
> sein.
> Aber bei der ersten verzweifel ich....
>
> Grüße, Matthias
Hallo Matthias,
Ich denke nicht, dass du von der Halbkugelformel ausgehen
sollst. Die erhältst du am Schluss als Nebenergebnis ganz
von selbst, wenn du einfach einmal der Anleitung folgst !
Mach dir zuerst klar, was der Ausdruck
[mm]\bruch{V(h + \Delta h ) - V(h) }{ \Delta h}[/mm]
geometrisch genau bedeutet - es geht darum, was geschieht,
wenn man ein wenig zusätzlichen Wein in die Schale
giesst. [mm] \Delta{h} [/mm] gibt an, um wie viel der "Weinpegel" ansteigt.
Der Grenzwert dieses Differenzenquotienten für [mm] \Delta{h} \to [/mm] 0
ist die Ableitung V'(h).
Übrigens möchte ich dir noch empfehlen, den Radius der
Halbkugel konsequent mit R (gross geschrieben) zu
bezeichnen. Das kleine r kannst du nämlich ganz gut
für einen anderen Zweck gebrauchen.
LG
|
|
|
| |
|
Alles klar. Danke. Das hab ich soweit verstanden. Aber was ist denn meine Funktion V(h)? die muss ich ja einsetzen wenn ich das berechnen will
Gruß, Matthias
|
|
|
| |
|
> Alles klar. Danke. Das hab ich soweit verstanden. Aber was
> ist denn meine Funktion V(h)? die muss ich ja einsetzen
> wenn ich das berechnen will
>
> Gruß, Matthias
Falls wirklich alles klar ist: darf ich also davon ausgehen,
dass du für V'(h) nun eine Formel hast ?
Dann musst du nur noch integrieren: [mm] V(h)=\integral_0^h [/mm] V'(x) dx
LG
|
|
|
| |
|
Ich habe jetzt für den Diff-Quot. 2 [mm] \pi [/mm] R h - [mm] \pi r^{2} [/mm] raus...
|
|
|
| |
|
> Ich habe jetzt für den Diff-Quot. 2 [mm]\pi[/mm] R h - [mm]\pi r^{2}[/mm]
> raus...
Es sollte aber wohl heissen: V'(h)= 2 [mm]\pi[/mm] R h - [mm]\pi h^{2}[/mm] = [mm] \pi *(2*R*h-h^2)
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
Ja klar. Tippfehler. Aber der Ausdruck ist richtig. Jetzt integrier ich ihn und bin fertig mit der i)?
|
|
|
| |
|
> Ja klar. Tippfehler.
> Aber der Ausdruck ist richtig.
Ja. Er ist richtig, sobald du das r durch h ersetzt hast...
> Jetzt integrier ich ihn und bin fertig mit der i)?
Ja, klar.
|
|
|
|
