Harmonische Abb., Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Di 28.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich sitze vor einer scheinbar leichten Aufgabe, finde aber keinen rechten Ansatz.
Ich soll folgendes zeigen:
[mm]a:U->\IC[/mm] sei eine harmonische Abbildung, [mm]z\in U[/mm], U offen.
Dann gibt es eine offene Umgebung V von z in U un eine harmonische Abbildung [mm]b:V->\IR[/mm], so dass [mm]a+ib:V->\IC[/mm] holomorph ist.
Ich hoffe, dass mir jemand einen Wink mit dem Zaunpfahl geben kann.
Vielen Dank schon einmal vorab!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
Man könnte es mit dem Lemma von Poincaré direkt lösen, aber so ist es wohl nicht gedacht.
Also, machen wir es elementar:
Nach Voraussetzung ist [mm] $f:=\frac{\partial a}{\partial x} [/mm] - [mm] i\frac{\partial a}{\partial y}$ [/mm] holomorph auf $U$ (Tipp: Cauchy-Riemann), besitzt also lokal eine Stammfunktion $F=u+iv$. Nun noch einmal Cauchy-Riemann auf $F$ anwenden und vergleichen.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Julius!
Vielen Dank für Deine Antwort.
Leider kann ich das nicht so schnell nachvollziehen, wie Du dein Folgerungen vollziehst.
Zunächst definierst Du eine Funktion f aus der gegebenen harmonischen Funktion a wie folgt: [mm]f:=\frac{\partial a}{\partial x} - i\frac{\partial a}{\partial y}[/mm]. Ist es richtig, dass Du damit die partielle Ableitung von a nach x meinst?
In unserer Notation wäre das [mm]a_x[/mm]. Also: [mm]f:=a_x-ia_y=a_x+i(-a_y)[/mm].
Da a eine harmonische Funktion ist, ist a reell stetig diff´bar und insbesondere reell diff´bar.
Wenn dann die Cauchy-Riemann´schen Differentialgleichungen gelten, dann ist die def. Funktion f holomorph.
Überprüfe die CR-DGLn:
[mm]a_{xx}=-a_{yy}[/mm], da a harmonisch ist und
[mm]a_{xy}=a_{yx}[/mm], da a bel. oft und damit insbesondere zweimal stetig diff´bar ist und somit der Satz von Schwarz gilt.
Also ist f holomoph.
Dann folgerst Du, dass f lokal eine Stammfunktion besitzt.
Diese Folgerung kenne ich so nicht. Kannst Du mir das begründen?
Danach weiss ich auch nicht so recht, wie ich ein harmonisches b finden kann?
Kannst Du mir das noch etwas ausführlicher erklären?
Vielen dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
> Zunächst definierst Du eine Funktion f aus der gegebenen
> harmonischen Funktion a wie folgt: [mm]f:=\frac{\partial a}{\partial x} - i\frac{\partial a}{\partial y}[/mm].
> Ist es richtig, dass Du damit die partielle Ableitung von a
> nach x meinst?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In unserer Notation wäre das [mm]a_x[/mm]. Also:
> [mm]f:=a_x-ia_y=a_x+i(-a_y)[/mm].
>
> Da a eine harmonische Funktion ist, ist a reell stetig
> diff´bar und insbesondere reell diff´bar.
> Wenn dann die Cauchy-Riemann´schen Differentialgleichungen
> gelten, dann ist die def. Funktion f holomorph.
> Überprüfe die CR-DGLn:
> [mm]a_{xx}=-a_{yy}[/mm], da a harmonisch ist und
> [mm]a_{xy}=a_{yx}[/mm], da a bel. oft und damit insbesondere
> zweimal stetig diff´bar ist und somit der Satz von Schwarz
> gilt.
>
> Also ist f holomoph.
> Dann folgerst Du, dass f lokal eine Stammfunktion
> besitzt.
> Diese Folgerung kenne ich so nicht. Kannst Du mir das
> begründen?
Dies folgt aus den Sätzen von Goursat und Morera. Die beiden Eigenschaften "lokale Stammfunktionen besitzen" und "holomorph sein" sind äquivalent, das findest du in jedem Funktionentheoriebuch/-skript.
> Danach weiss ich auch nicht so recht, wie ich ein
> harmonisches b finden kann?
> Kannst Du mir das noch etwas ausführlicher erklären?
Es gilt:
[mm] $v_y [/mm] - [mm] iu_y [/mm] = [mm] u_x [/mm] + [mm] iv_x =F'=f=a_x-ia_y$,
[/mm]
also:
[mm] $a_x=u_x$ [/mm] und [mm] $a_y=u_y$.
[/mm]
Somit unterscheiden sich $a$ und $u$ nur um eine Konstante, und daher ist mit $F=u+iv$ auch
$a+iv$
holomorph.
Viele Grüße
Julius
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