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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mi 10.06.2009 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | Man bestimme eine Transformation x=Ry, die die quadratische Form [mm] x^{T}Cx [/mm] in ihre metrische Normalform überführt (Hauptachsentransformation).
[mm] C=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \\3 & -2 & 1} [/mm] |
Hallo,
bei folgender Aufgabe steh ich irgendwie auf dem Schlauch. Ich soll eine Hauptachsentransformation machen, komm aber irgendwie nicht weiter.
Zunächst habe ich alle Eigenwerte und Eigenvektoren (normiert) der Matrix berechnet, aber jetzt hängt es irgendwie.
In meinen Lehrbuch steht etwas von Drehwinkel? Wo bekomm ich den her? Wie ist jetzt die weitere Vorgehensweise? In meinen Buch seh ich vor lauter transponierter Matrizen und Vektoren nicht mehr durch. Für eine kurze Denkhilfe wäre ich sehr dankbar.
Grüße
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Hallo larifari,
> Man bestimme eine Transformation x=Ry, die die quadratische
> Form [mm]x^{T}Cx[/mm] in ihre metrische Normalform überführt
> (Hauptachsentransformation).
>
> [mm]C=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \\3 & -2 & 1}[/mm]
> Hallo,
>
> bei folgender Aufgabe steh ich irgendwie auf dem Schlauch.
> Ich soll eine Hauptachsentransformation machen, komm aber
> irgendwie nicht weiter.
>
> Zunächst habe ich alle Eigenwerte und Eigenvektoren
> (normiert) der Matrix berechnet, aber jetzt hängt es
> irgendwie.
Jetzt setzt sich die Matrix R aus den normierten Eigenvektoren zusammen.
Es ist dann
[mm]x^{T}*C*x=\left(Ry\right)^{T}*C*\left(Ry)=y^{T}*R^{T}*C*R*y=y^{T}*\left(R^{T}*C*R\right)*y[/mm]
Die Matrix [mm]R^{T}*C*R[/mm] hat jetzt Diagonalgestalt:
[mm]R^{T}*C*R=\pmat{\lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3}}[/mm]
>
> In meinen Lehrbuch steht etwas von Drehwinkel? Wo bekomm
> ich den her? Wie ist jetzt die weitere Vorgehensweise? In
> meinen Buch seh ich vor lauter transponierter Matrizen und
> Vektoren nicht mehr durch. Für eine kurze Denkhilfe wäre
> ich sehr dankbar.
Soviel ich weiß, muß die Matrix R einen Eigenwert 1 und zwei komplexe Eigenwerte besitzen.
Aus den komplexen Eigenwerten errrechnet sich dann der Drehwinkel.
Der Eigenvektor zum Eigenwert 1 von R ist die Drehachse.
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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