Hauptsatz: endlich erzeugte ab < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Schreibe G= [mm] \IZ1 \oplus \IZ2 \oplus \IZ3 \oplus \IZ4 \oplus \IZ5 \oplus \IZ6 \oplus \IZ7 \oplus \IZ8 \oplus \IZ9 \oplus \IZ10 [/mm] in der Form des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen. |
Unser Hauptsatz lautet: Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen [mm] f_{1},...,f_{s}∈\IN [/mm] mit [mm] f_{1}∣...∣f_{s} [/mm] und ein eindeutig bestimmtes n s.d. [mm] G\cong\IZ/×...×ℤ/×\IZ^{n}.
[/mm]
Also ich muss doch [mm] f_{1},...,f_{s} [/mm] finden, und darauf achten, dass [mm] f_{1}∣...∣f_{s} [/mm] gilt.
Ich sehe aber nicht wie ich das genau machen muss. Gibt es da irgend einen Trick den ich anwenden kann um es auf den ersten Blick zu sehen?
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Hallo Mathematiklady,
leider scheinst du gewisse Symbole verwendete zu haben, die nicht richtig angezeigt werden. Trotzdem scheint in deinem Hauptsatz noch etwas zu fehlen, wenigstens über Teilbarkeit oder Primzahlen. Sieh dir das am besten noch einmal an.
Liebe Grüße,
Universelles Objekt
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Hallo,
beachte, dass [mm] \IZ_{a} [/mm] * [mm] \IZ_{b} [/mm] = [mm] \IZ_{a*b} [/mm] ist, falls a und b teilerfremd sind.
Forme also die rechte Seite der Gleichung in der Aufgabenstellung damit um (Schreibe z.B. [mm] \IZ_{2}\oplus\IZ_{3} [/mm] statt [mm] \IZ_{6} [/mm] usw.).
Fasse danach jeweils die höchsten Exponenten der Primzahlen zusammen, bis keine mehr übrig bleiben (z.B. werden [mm] \IZ_{4}\oplus\IZ_{3}\oplus\IZ_{5} [/mm] zu [mm] \IZ_{60}, [/mm] aber das siehst du dann während der Rechung) .
In der Lösung kommen dann nur noch fünf [mm] \IZ_{i} [/mm] vor:
[mm] \IZ_{a}\oplus\IZ_{b}\oplus\IZ_{c}\oplus\IZ_{d}\oplus\IZ_{e}, [/mm] wobei die Indizes der Reihe nach Teiler voneinander sind und ihr Produkt 10! ist (Wie die Aussage im Hauptsatz also). a,b,c,d,e sind natürliche Zahlen, die bekommst du dann raus, wenn du es so rechnest wie oben beschrieben.
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