Herleitung Zentripetalbeschl. < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 31.12.2016 | | Autor: | taytm |
Hi,
ich möchte die Formel für die Zentripetalbeschleunigung herleiten.
Wir verwenden folgende Symbole:
[mm] $\omega [/mm] = [mm] \dot{\theta}$ [/mm] - Winkelgeschwindigkeit, [mm] $\theta$ [/mm] - Winkel, [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \dot{\omega} [/mm] = [mm] \ddot{\theta}$ [/mm] - Winkelbeschleunigung, [mm] $a_Z$ [/mm] - Zentripetalbeschleunigung, $v$ - Geschwindigkeit auf der Kreisbahn, $x$ - Position auf der Kreisbahn.
Laut Unterricht muss rauskommen: [mm] $a_Z [/mm] = [mm] \frac{v^2}{r} [/mm] = [mm] w^2 [/mm] r$ (und für die Geschwindigkeit: $v = [mm] \omega [/mm] r$).
Die Position ist [mm] $\vec{x} [/mm] = (r [mm] \cos \theta, [/mm] r [mm] \sin \theta)^T$. [/mm] Also [mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \frac{d\vec{x}}{dt} [/mm] = [mm] \frac{d\vec{x}}{d\theta} \frac{d \theta}{dt} [/mm] = (-r [mm] \sin \theta, [/mm] r [mm] \cos \theta)^T \omega$. [/mm]
Also $v = [mm] \sqrt{r^2 \omega^2 \sin^2 \theta + r^2 \omega^2 \cos^2 \theta} [/mm] = r [mm] \omega$ [/mm] - check.
Zweite Ableitung von [mm] $\vec{x}$ [/mm] (und jetzt geht das ja mit der Kettenregel nicht mehr so schön, weil auch [mm] $\omega$ [/mm] von $t$ abhängt?): [mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \ddot{\vec{x}} [/mm] = [mm] \dot{\vec{v}} [/mm] = r [mm] \left( \alpha (- \sin \theta, \cos \theta)^T + \omega (- \cos \theta, - \sin \theta)^T \omega \right)$. [/mm]
Betrag davon ausrechnen: $a = r [mm] \sqrt{(- \alpha \sin \theta - \omega^2 \cos \theta)^2 + (\alpha \cos \theta - \omega^2 \sin \theta)^2} [/mm] = [mm] \dots [/mm] = r [mm] \sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$. [/mm]
Was habe ich damit jetzt ausgerechnet?
Jetzt ist [mm] $\vec{a}$ [/mm] ja die Summe von zwei orthogonalen Vektoren. Habe ich Unsinn gerechnet oder ist $r [mm] \alpha (-\sin \theta, \cos \theta)^T$ [/mm] die Tangialbeschleunigung und $r [mm] \omega^2 [/mm] (- [mm] \cos \theta, [/mm] - [mm] \sin \theta)^T$ [/mm] die Zentripetalbeschleunigung? Denn damit würden die Beträge für die jeweiligen Beschleunigungen und die Richtungen der Vektoren stimmen. Ich kann die Formel bei Google aber nicht finden, was verunsichert.
Vielen Dank und freundliche Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> und jetzt geht das ja mit der Kettenregel nicht mehr so schön, weil auch $ [mm] \omega [/mm] $ von $ t $ abhängt?
Nein, warum?
Du hast anfangs
[mm] \vec{x}=\vektor{r\cos(\omega t) \\ r\sin(\omega t)}
[/mm]
wäre [mm] \omega [/mm] nicht konstant, müßtest du bereits die erste Ableitung etwas komplizierter berechnen, die erste Komponente wäre
[mm] $(r\cos(\omega(t)\cdot t))'=-r\cdot \sin(\omega(t)\cdot [/mm] t) * [mm] (\omega(t)\cdot t)'=-r\cdot \sin(\omega(t)\cdot [/mm] t) * [mm] (\alpha(t)\cdot [/mm] t + [mm] \omega(t))$
[/mm]
Es ist schon so, daß [mm] \omega [/mm] konstant ist, selbst vektoriell gesehen zeigt es ja entlang der Drehachse, und ist auch dann konstant.
Damit ist es ganz einfach:
[mm] $\vec{v}=\vektor{-r\omega \sin(\omega t) \\ \omega r\cos(\omega t)}$
[/mm]
[mm] $\vec{a}=\vektor{-r\omega^2 \cos(\omega t) \\ -r\omega^2\sin(\omega t)}$
[/mm]
[mm] $|\vec{a}|=r\omega^2$
[/mm]
[mm] $\vec{a}$ [/mm] zeigt vom Ort [mm] \vec{x} [/mm] exakt Richtung Ursprung, so, wie es sein sollte. Und wenn [mm] \omega [/mm] nicht konstant wäre, wären [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] komplizierter. Letzteres würde auch nicht zwingend zum Ursprung zeigen, da noch weitere Kräfte im Spiel wären.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Sa 31.12.2016 | | Autor: | taytm |
Hey,
danke für deine Antwort.
So ganz komme ich damit aber noch nicht klar. Angenommen, [mm] $\omega$ [/mm] ist nicht konstant. Dann kann ich den Drehwinkel [mm] $\theta$ [/mm] doch gar nicht als [mm] $\omega(t) \cdot [/mm] t$ ausdrücken, sondern müsste dazu über [mm] $\omega(t)$ [/mm] integrieren, oder?
Wenn der Drehwinkel aber durch [mm] $\theta(t)$ [/mm] gegeben ist, ist die Winkelgeschwindigkeit [mm] $\omega(t) [/mm] = [mm] \dot{\theta}(t)$? [/mm] Deswegen komme ich, wenn ich etwa die erste Komponente $r [mm] \cdot \cos(\theta(t))$ [/mm] ableite, auf $- r [mm] \sin(\theta(t)) \dot{\theta}(t) [/mm] = -r [mm] \sin(\theta [/mm] (t)) [mm] \omega(t)$. [/mm]
Grüße
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Hallo!
Du hast natürlich recht, ich habe da einen unglaublichen Bock geschossen, und auch nicht genau gesehen, was deine eigentliche Frage ist
. Also, du hast einen zeitabhängigen Winkel [mm] \theta(t), [/mm] dann gilt:
$ [mm] \vec{x}=\vektor{r\cos(\theta(t)) \\ r\sin(\theta(t))} [/mm] $
$ [mm] \vec{v}=\vektor{-r\dot\theta(t)\sin(\theta(t)) \\ r\dot\theta(t)\cos(\theta(t))} [/mm] $
$ [mm] \vec{a}=\vektor{-r\ddot\theta(t)\sin(\theta(t))-r\dot\theta(t)^2\cos(\theta(t)) \\ r\ddot\theta(t)\cos(\theta(t))- r\dot\theta(t)^2\sin(\theta(t)) } [/mm] $
Typischerweise bewegt sich der Körper mit vom Betrag her konstanter Bahngeschwindigkeit, bzw. mit konstanter Winkelgeschwindigkeit [mm] \dot\theta(t)=\omega, [/mm] daher auch [mm] $\theta(t)=\omega [/mm] t$ , und damit lauten die letzten beiden Gleichungen
$ [mm] \vec{v}=\vektor{-r\omega\sin(\omega t) \\ r\omega\cos(\omega t)} [/mm] $
$ [mm] \vec{a}=\vektor{-r\omega^2\cos(\omega t) \\ - r\omega^2\sin(\omega t) } [/mm] $
Ausgehend von den allgemeinen Gleichungen gilt
$ [mm] |\vec{v}|=\sqrt{(r\dot\theta(t)\sin(\theta(t)))^2 + (r\dot\theta(t)\cos(\theta(t)))^2}= r\dot\theta(t) [/mm] $
$ [mm] |\vec{a}|=\sqrt{(-r\ddot\theta(t)\sin(\theta(t))-r\dot\theta(t)^2\cos(\theta(t)))^2 + (r\ddot\theta(t)\cos(\theta(t))- r\dot\theta(t)^2\sin(\theta(t)))^2 } =r\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$
[/mm]
Also ja, du hast alles richtig berechnet.
Und du hast auch mit deiner Aussage recht, daß in
$ [mm] \vec{a}=\vektor{-r\ddot\theta(t)\sin(\theta(t))-r\dot\theta(t)^2\cos(\theta(t)) \\ r\ddot\theta(t)\cos(\theta(t))- r\dot\theta(t)^2\sin(\theta(t)) } [/mm] $
rechts die radial gerichtete Zentripetalkraft steht, und links die tangentiale Beschleunigung.
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