Herleitung arsinh'(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ich scheitere leider bei meinen Versuchen, die Ableitung arsinh'(x) (= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + x^2}}) [/mm] herzuleiten.
1) Angeblich ist es am Einfachsten, die Ableitungsregel für die Umkehrfunktion zu verwenden:
[mm] (f^{-1}(x))' [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}
[/mm]
Mein Ansatz ist:
f(x) := arsinh(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + x^2}}
[/mm]
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2} \Rightarrow (f^{-1}(x))' [/mm] = [mm] \bruch{e^{2x} + 1}{2e^x}
[/mm]
Jetzt müsste nach der Ableitungsregel doch folgende Gleichung wahr sein:
[mm] \bruch{e^{2x} + 1}{2e^x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{1 + y^2}}} [/mm] mit y := sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2}
[/mm]
also
[mm] \bruch{e^{2x} + 1}{2e^x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{1 + (\bruch{e^x - e^{-x}}{2})^2}}} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + (\bruch{e^x - e^{-x}}{2})^2}
[/mm]
Nachdem ich händisch auf keinen grünen Zweig gekommen war, hatte ich es bei Math42 eingegeben, mit dem Ergebnis "Has no solution". Was ist falsch an meinem Ansatz?
2) Andererseits habe ich mir gedacht, müsste es doch möglich sein y = sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2} [/mm] nach x aufzulösen und dann nach y abzuleiten. Aber kann mir einer erklären, wie man 2y = [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] nach x auflöst?
Danke und Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Sa 18.05.2019 | | Autor: | Fulla |
Hallo Martin,
> [mm](f^{-1}(x))'[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm]
>
> Mein Ansatz ist:
>
> f(x) := arsinh(x) [mm]\Rightarrow[/mm] f'(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 + x^2}}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = sinh(x) = [mm]\bruch{e^x - e^{-x}}{2} \Rightarrow (f^{-1}(x))'[/mm]
> = [mm]\bruch{e^{2x} + 1}{2e^x}[/mm]
du vertauschst hier Funktion und Umkehrfunktion.
Richtig wäre:
[mm]f^{-1}(x)=\operatorname{arsinh}(x)[/mm],
[mm]f(x)=\sinh(x)[/mm].
Das heißt:
[mm](f^{-1}(x))^\prime =\operatorname{arsinh}^\prime(x)=\frac{1}{\cosh(\operatorname{arsinh}(x))}[/mm].
> 2) Andererseits habe ich mir gedacht, müsste es doch
> möglich sein y = sinh(x) = [mm]\bruch{e^x - e^{-x}}{2}[/mm] nach x
> aufzulösen und dann nach y abzuleiten. Aber kann mir einer
> erklären, wie man 2y = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^{-x}[/mm] nach x auflöst?
Das ist zwar möglich, aber hier nicht nötig. Falls du die Umformung dennoch nachvollziehen willst, versuche [mm]y=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)[/mm] nach [mm]x[/mm] aufzulösen...
Lieben Gruß,
Fulla
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Hiho,
dein erster Ansatz ist auch zielführend, du hast nur einen Fehler bei der Ableitung von [mm] $\sinh(x)$ [/mm] gemacht.
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = sinh(x) = [mm]\bruch{e^x - e^{-x}}{2} \Rightarrow (f^{-1}(x))'[/mm] = [mm]\bruch{e^{2x} + 1}{2e^x}[/mm]
bei deiner Notation ist [mm] $(f^{-1}(x))' [/mm] = [mm] \frac{e^x + e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \cosh(x)$ [/mm]
Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...
Dann geht auch deine Gleichung auf:
> Jetzt müsste nach der Ableitungsregel doch folgende Gleichung wahr sein:
$ [mm] \bruch{e^x + e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{1 + y^2}}} [/mm] $ mit $y := sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2} [/mm] $
Gruß,
Gono
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Also jetzt bin ich verwirrt
> bei deiner Notation ist [mm](f^{-1}(x))' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)[/mm]
> Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...
[mm] \bruch{e^x + e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e^x + \bruch{1}{e^x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{e^{2x} + 1}{e^x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e^{2x} + 1}{2e^x}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Sa 18.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Also jetzt bin ich verwirrt
>
> > bei deiner Notation ist [mm](f^{-1}(x))' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)[/mm]
> > Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...
>
> [mm]\bruch{e^x + e^{-x}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{e^x + \bruch{1}{e^x}}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{e^{2x} + 1}{e^x}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{e^{2x} + 1}{2e^x}[/mm]
Deine Umformungen sind völlig richtig. Aber wozu?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 Sa 18.05.2019 | | Autor: | sancho1980 |
> Deine Umformungen sind völlig richtig. Aber wozu?
Na weil Gonozal schreibt:
> bei deiner Notation ist [mm](f^{-1}(x))' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)[/mm]
> Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 So 19.05.2019 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> > Deine Umformungen sind völlig richtig. Aber wozu?
>
> Na weil Gonozal schreibt:
>
> > bei deiner Notation ist [mm](f^{-1}(x))' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)[/mm]
> > Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...
na dann ist das Rätsel doch jetzt gelöst.
Aber wie fred schon sagte: Wozu?
Und das hier ist die Lösung zu deiner Gleichung:
Es ist (analog zu deinen Umforumungen)
[mm] $\bruch{e^x - e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e^{2x} - 1}{2e^x} [/mm] $
Und damit:
[mm] $\; \wurzel{1 + \left(\bruch{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2} [/mm] = [mm] \sqrt{1 + \left(\bruch{e^{2x} - 1}{2e^x}\right)^2}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2e^x} \sqrt{4e^{2x} + \left(e^{2x} - 1\right)^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2e^x} \sqrt{4e^{2x} + e^{4x} - 2e^{2x} + 1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2e^x} \sqrt{\left(e^{2x} + 1\right)^2} [/mm] = [mm] \frac{e^{2x} + 1}{2e^x}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 So 19.05.2019 | | Autor: | sancho1980 |
Sieht so aus, als wär das ein Bug in Math42. Wenn ich da die Gleichung eingebe, steht am Ende nur der Ausdruck
[mm] 4e^{6x} [/mm] + [mm] 8e^{4x} [/mm] + [mm] 4e^{x * 2} [/mm] = [mm] e^{6x} [/mm] * 4 + [mm] 8e^{4x} [/mm] + [mm] e^{x * 2} [/mm] * 4 (sic!)
und darunter "Has no solution"
Klar, dass man sich da den Lösungsweg nicht genauer anschaut. Wenn man dann die einzelnen Schritte aufklappt, sieht man, dass der im letzten Schritt substituiert und bei einer Gleichung 0 = 0 ("The statenent is always fulfilled") landet. Insofern schleiferhaft, warum als Endergebnis "Has no solution" dasteht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 So 19.05.2019 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Sieht so aus, als wär das ein Bug in Math42. Wenn ich da
> die Gleichung eingebe, steht am Ende nur der Ausdruck
>
> [mm]4e^{6x}[/mm] + [mm]8e^{4x}[/mm] + [mm]4e^{x * 2}[/mm] = [mm]e^{6x}[/mm] * 4 + [mm]8e^{4x}[/mm] +
> [mm]e^{x * 2}[/mm] * 4 (sic!)
> und darunter "Has no solution"
> Klar, dass man sich da den Lösungsweg nicht genauer
> anschaut. Wenn man dann die einzelnen Schritte aufklappt,
> sieht man, dass der im letzten Schritt substituiert und bei
> einer Gleichung 0 = 0 ("The statenent is always fulfilled")
> landet. Insofern schleiferhaft, warum als Endergebnis "Has
> no solution" dasteht.
einfach ein Beispiel dafür, dass man Algebra-Programme nur verwenden sollte, wenn man weiß, was man tut 
Allgemein gilt die Faustregel: Spucken sie eine Lösung aus, ist das ein guter Hinweis. Liefern sie keine Lösung, hat das nichts zu sagen…
Gruß,
Gono
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Alternative für Physiker:
Bekannt:
[mm] sinh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{2}, cosh(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2}, cosh^2(x)=1+sinh^2(x)
[/mm]
Gegeben: f(x)=y=arsinh(x) [mm] \gdw [/mm] x = sinh(y)
Gesucht: [mm] f'(x)=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
Bekannt:
[mm] \bruch{dx}{dy}= \bruch{d}{dy}\bruch{e^y-e^{-y}}{2}= \bruch{e^y+e^{-y}}{2}= [/mm] cosh(y)
somit [mm] \bruch{dy}{dx}= \bruch{1}{cosh(y)}= \bruch{1}{\wurzel{1+sinh^2(y)}}= \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}=f'(x)
[/mm]
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Hallo HJK,
ich verstehe nur nicht so recht, weshalb du da von einer
Alternative "für Physiker" sprichst.
Sie gefällt durchaus auch einigen Mathematikern (wie z.B. mir) ...
LG , Al
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