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Okay also ich habe ein Problem mit der Lösung des Gleichungssystems... aber von vorne:
Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die in P (0/0) einen Extrempunkt, bei x=3 eine Extremstelle und in P(1/1) einen Wendepunkt hat!
Mein Ansatz:
f(x) = [mm] ax\4 [/mm] + [mm] bx\3 [/mm] + cx² + dx + e
f'(x) = [mm] 4ax\3 [/mm] + 3bx² + 2cx + d
f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c
f(0) = 0 -> e = 0
f'(0) = 0-> d = 0
f'(3) = 0-> 0 = 108a + 27b + 6c
f(1) = 1 -> 1 = a + b + c
f''(1)= 0-> 0 = 12a + 6b + 2c
-------------------------------------
I-II:
0 = 108a + 27b + 6c
-(1 = a + b + c) / mit 6 multiplizieren
0 = 108a + 27b + 6c
-(6 = 6a + 6b + 6c)
--------------------------------
-6 = 102 a + 21 b
II-III:
1 = a + b + c / mit 2 multiplizieren
-(0=12a + 6b+2c)
2 = 2a + 2b + 2c
-(0=12a +6b +2c)
----------------------------
2 = -10a -4b
wie soll ich jetzt mit beiden neuen gleichungen verfahren? da die koefffizienten von a und b jeweils keine vielfachen voneinander sind... :( *nu geht das subtraktions/additionsverfahren ja nicht mehr...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 So 28.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo DerHochpunkt,
bis dahin ist alles richtig gerechnet, deine Schreibweise der Rechnung ist sehr gut nachzuvollziehen.
Du hast jetzt also die beiden Gleichungen
-6 = 102a + 21b
2 = -10a - 4b
Natürlich kann du hier weiterhin das Additionsverfahren anwenden, denn es dürfen da ruhig beide beteiligte Gleichungen mit einer Zahl multipliziert werden.
Naiverweiser -- und nur um zu zeigen, dass es geht -- könntest du z.B. die erste mit 4 und die zweite mit 21 multiplizieren: Es fällt bei Addtion das "b" weg. Oder du multiplizierst die erste mit 10 und die zweite mit 102: Dann fällt das "a" weg.
Ich würde aber vorher versuchen, jede Gleichung durch den ggT ihrer Koeffizienten zu teilen, damit die vorkommenden Zahlen (betragsmäßig) klein bleiben. Also:
(die erste Gleichung durch 3, und die zweite durch geteilt)
-2 = 34a + 7b
1 = -5a -2b
Jetzt multipliziere ich die erste mit 2 und die zweite mit 7:
-4 = 68a + 14b
7 = -35a - 14b
und nach Addition der beiden Gleichung ergibt sich:
3 = 33a
<=> a = 1 / 11
Also: Durch Multplikation beider Gleichung kannst du erreichen, dass die Koeffizienten ganzzahlig bleiben und bei Addition der Gleichungen eine Variable eliminiert wird.
Alles Gute,
Marc.
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und erhalte für a = 1/11,für b = -8/11 und für c = 18/11 ?
vielen Dank für deine Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 28.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo DerHochpunkt,
deine Werte stimmen 
Streng genommen -- und da du ja LK hast, wird das sicher auch erwartet -- mußt du jetzt noch überprüfen, ob deine ermittelte Funktion tatsächlich die Bedingungen erfüllt.
Zum Beispiel könnte die Funktion ja an der Stelle 0 eine Sattelstelle haben (und keinen Extrempunkt).
Der Grund für diese Probe ist, dass in das Gleichungssystem ja nur die notwendigen Bedingungen einfließen (können), und die hinreichenden dann separat überprüft werden müssen.
Alles Gute,
Marc.
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danke, das hätte ich sonst ganz vergessen zu üben. aber es muss ja nur überprüft werden, ob die aus der aufgabenstellung gepicktern indizien tatsächlich mit der ermittelten funktion übereinstimmen...
Probe:
f(0) = 0 -> w.A.
f'(0) = 0 -> w. A.
f'(3) = 0 -> w. A.
f(1) = 1 -> w. A.
f''(1) = 0
f'''(1) ungleich 0 => WP -> w.A.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mo 29.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
nein, das reicht noch nicht. Na dem, was du überprüft hast, kann es sich an den Stellen [mm]x=0[/mm] und [mm]x=3[/mm] immer noch um Sattelpunkte (und keine Extrempunkte, wie gefordert!) handeln. Was unterscheidet denn einen Sattelpunkt von einem Extrempunkt?
Melde dich bitte wieder. Wenn du es nicht weißt, folgt dann die Auflösung.
Alles Gute
Stefan
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soweit ich weiß, ist ein wendepunkt vorhanden wenn die 3. ableitung ungleich 0 ist, ist dies nicht der fall handelt es sich um einen sattelpunkt. aber von möglichen sattelpunkten bei extrema (also hoch/tiefpkt.) hab ich noch nix gehört.
??? bin gespannt auf die auflösung :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Di 30.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
von "Sattelpunkten bei Extrema" habe ich ja auch nicht gesprochen, die gibt es in der Tat nicht.
Was ich geschrieben hatte, ist folgendes: Die Bedingung [mm]f'(x_0)=0[/mm] ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür, dass an der Stelle [mm]x_0[/mm] ein Extrempunkt vorliegt. Es kann sich dann genausogut um einen Sattelpunkt handeln (ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, der dann vorliegt, wenn [mm]f'(x_0)=0[/mm], [mm]f''(x_0)=0[/mm] und [mm]f'''(x_0) \ne 0[/mm] gilt).
Wenn du jetzt also nur die Bedingung [mm]f'(x_0)=0[/mm] überprüfst und dann -wenn sie wahr ist- schreibst: "Okay, das gilt, also handelt es sich um einen Extrempunkt", dann ist das nicht ausreichend. Die Bedingung [mm]f'(x_0)=0[/mm] sagt nur aus, dass eine waagerechte Tangente vorliegt. Dies gilt aber sowohl für Extrema als auch für Sattelpunkte.
Was du machen musst, ist folgendes: Du musst überprüfen, ob
[mm]f'(x_0)=0[/mm] und [mm]f''(x_0) \ne 0[/mm]
gilt, also beides. Wenn beides gilt, dann handelt es sich um einen Extrempunkt. Wenn dagegen
[mm]f'(x_0)=0[/mm] und [mm]f''(x_0) = 0[/mm] und [mm]f'''(x_0) \ne 0[/mm]
gilt, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Okay? Versuche es jetzt noch einmal.
Was du dich jetzt fragen solltest: Was passiert denn, wenn
[mm]f'(x_0)=0[/mm] und [mm]f''(x_0) = 0[/mm] und [mm]f'''(x_0) = 0[/mm]
gilt??? Nun, dann musst du immer weiter ableiten. Irgendwann wird die Ableitung mal nicht gleich 0 sein (oder aber es war vorher eine konstante Funktion, aber diesen Fall betrachtet man natürlich nicht auf diese Weise). Es gibt also irgendein [mm]n[/mm] mit
[mm]f'(x_0)=0[/mm], ..., [mm]f^{(n-1)}(x_0)=0[/mm] und [mm] f^{(n)}(x_0) \ne 0[/mm],
wobei ich mit [mm]f^{(n)}[/mm] die [mm]n[/mm]-te Ableitung bezeichne, also ein kleinstes [mm]n \in \IN[/mm] mit
[mm] f^{(n)}(x_0) \ne 0[/mm].
Nun machst du eine Fallunterscheidung:
1. Fall: n ist gerade
Dann handelt es sich um einen Extrempunkt, und zwar im Falle [mm] f^{(n)}(x_0) < 0[/mm] um einen Hochpunkt und im Falle [mm] f^{(n)}(x_0)> 0[/mm] um einen Tiefpunkt.
2. Fall: n ist ungerade
Dann handelt es sich um einen Sattelpunkt.
So, alles klar?
Versuche die Aufgabe jetzt noch einmal richtig zu Ende zu führen. Was musst du also noch überprüfen?
Alles Gute
Stefan
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