Hermitesche Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Forum,
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
ich hab mich gestern mal mit mir zusammengesetzt und wir haben
gemeinsam was über hermitesche Matitzen gelesen.
Wir haben, denken wir, auch die Vorgehensweise kapiert, wissen allerdings noch
nicht so richtig, wo man solche Sachen braucht (Anwendungsfälle???).
Vielleicht gibt es ja ein paar lustige Aufgaben zu dem Thema, die ihr uns
verraten wollt. (War das jetzt ein Fragesatz?)
Liebe Grüße
Wir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Herby!
Die hermiteschen Matrizen sind genau die Darstellungsmatrizen von hermiteschen Formen. Diese Aussage soll ![[]](/images/popup.gif) hier in Aufgabe H47 bewiesen werden.
Zusatz (falls du es nicht weißt): Eine Hermitesche Form ist eine Sesquilinearform [mm] $\langle \cdot [/mm] , [mm] \cdot \rangle \, [/mm] : [mm] \, [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $\langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \overline{\langle y ,x \rangle}$, [/mm] wobei $V$ ein [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] ist.
Hermitesche Matrizen haben die schöne Eigenschaft, dass sie diagonalisierbar sind. Das kannst du ja mal für ein Beispiel durchrechnen, in Aufgabe H49 auf dem gleichen Blatt.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Di 21.06.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Stefan,
Hallo Forum,
> Zusatz (falls du es nicht weißt): Eine Hermitesche Form ist
> eine Sesquilinearform [mm]\langle \cdot , \cdot \rangle \, : \, V \times V \to \IC[/mm]
> mit [mm]\langle x, y \rangle = \overline{\langle y ,x \rangle}[/mm],
> wobei [mm]V[/mm] ein [mm]\IC[/mm]-Vektorraum ist.
Gibt es auch noch andere Vektorräume, oder schreibt man das nur der Form
halber dazu? (damit das auch so Leuten wie mir einleuchtet ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") )
Mit anderen Vektorräumen meine ich die, auf die die Eigenschaften von x,y trotzdem zutreffen. Das es allgemein andere Vektorräume gibt ist "bekannt".
> Hermitesche Matrizen haben die schöne Eigenschaft, dass sie
> diagonalisierbar sind. Das kannst du ja mal für ein
> Beispiel durchrechnen, in Aufgabe H49 auf dem gleichen
> Blatt.
ich hab mal mit der Aufgabe 49 angefangen:
Folgende Matrix war gegeben
A:= [mm] \pmat{ -1 & i & 0 \\ -i & 1 & 2i \\ 0 & -2i & 0 } [/mm] mit [mm] \in M_{3,3} (\IC)
[/mm]
a) A ist hermitesch
also einmal sind die Hauptdiagonalelemente H reell, dann stellen die Realteile
eine symmetrische Matrix dar (ist eh alles 0, außer H und liegt ja Symmetrie vor) und
der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch.
Außerdem ist auch noch det A reell. (det A = 3; wenn ich mich mit den Minüssen nicht vertan habe).
Weiterhin ist [mm] (A^{\*})^{T}=A
[/mm]
Das mach ich jetzt aber nich mit diesem Formeledit, ok. Is ja auch trivial!
b) charakteristisches Polynom
[mm] (A-\lambda E)x=-\lambda^{2}+3\lambda [/mm] +6
Nullstellen in [mm] \IC [/mm] (was ist damit genau gemeint, mit diesem : in [mm] \IC [/mm] ?)
Bei der Gleichung oben erhalte ich jedenfalls: [mm] \lambda_{1}=-1,337228... [/mm] und [mm] \lambda_{2}=4,337228...
[/mm]
c) Eigenräume zu A durch Angabe einer Basis
Das Thema habe ich noch nicht so ganz geschnallt -
Der Eigenraum ergibt sich doch aus allen linear unabhängigen Vektoren und
die Vektoren, aus denen man durch Linearkombination alle anderen erhält,
bilden die Basis, oder?
Ich hab in die Form [mm] A-\lambda [/mm] E das [mm] \lambda_{1} [/mm] eingestetzt und erhalte folgendes Gleichungssystem:
[mm] 0,37728...x_{1}+ix_{2}=0
[/mm]
[mm] 2,37728...x_{1}+ix_{2}=0
[/mm]
[mm] 1,37728...x_{1}+ix_{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1,2}=0
[/mm]
War der Ansatz richtig?
Wie geht's weiter, falls ja?
Bedanke mich schon mal für Unterstützung 
Liebe Grüße
Herby
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Hallo!
>
> > Zusatz (falls du es nicht weißt): Eine Hermitesche Form ist
> > eine Sesquilinearform [mm]\langle \cdot , \cdot \rangle \, : \, V \times V \to \IC[/mm]
> > mit [mm]\langle x, y \rangle = \overline{\langle y ,x \rangle}[/mm],
> > wobei [mm]V[/mm] ein [mm]\IC[/mm]-Vektorraum ist.
>
> Gibt es auch noch andere Vektorräume, oder schreibt man das
> nur der Form
> halber dazu? (damit das auch so Leuten wie mir einleuchtet
> )
> Mit anderen Vektorräumen meine ich die, auf die die
> Eigenschaften von x,y trotzdem zutreffen. Das es allgemein
> andere Vektorräume gibt ist "bekannt".
>
Klar gibt es andere Vektorräume.
Du kannst Vektorräume natürlich über beliebigen Körpern betrachten, da gelten dann unter Umständen etwas andere Bedingungen, wodurch die Angabe des Körpers wichtig und sinnvoll wird.
Ist z.B. nämlich [mm] $\operatorname{char}K=2$, [/mm] so ist jede alternierende Sesquilinearform auch symmetrisch und umgekehrt (Beweis: trivial )
> > Hermitesche Matrizen haben die schöne Eigenschaft, dass sie
> > diagonalisierbar sind. Das kannst du ja mal für ein
> > Beispiel durchrechnen, in Aufgabe H49 auf dem gleichen
> > Blatt.
>
> ich hab mal mit der Aufgabe 49 angefangen:
>
> Folgende Matrix war gegeben
>
> A:= [mm]\pmat{ -1 & i & 0 \\ -i & 1 & 2i \\ 0 & -2i & 0 }[/mm] mit
> [mm]\in M_{3,3} (\IC)[/mm]
>
> a) A ist hermitesch
>
> also einmal sind die Hauptdiagonalelemente H reell, dann
> stellen die Realteile
> eine symmetrische Matrix dar (ist eh alles 0, außer H und
> liegt ja Symmetrie vor) und
> der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch.
> Außerdem ist auch noch det A reell. (det A = 3; wenn ich
> mich mit den Minüssen nicht vertan habe).
Also ich hab -3, aber auf jeden Fall was reelles ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Der Rest ist auch klar...
> Weiterhin ist [mm](A^{\*})^{T}=A[/mm]
>
> Das mach ich jetzt aber nich mit diesem Formeledit, ok. Is
> ja auch trivial!
>
> b) charakteristisches Polynom
>
> [mm](A-\lambda E)x=-\lambda^{2}+3\lambda[/mm] +6
>
> Nullstellen in [mm]\IC[/mm] (was ist damit genau gemeint, mit diesem
> : in [mm]\IC[/mm] ?)
> Bei der Gleichung oben erhalte ich jedenfalls:
> [mm]\lambda_{1}=-1,337228...[/mm] und [mm]\lambda_{2}=4,337228...[/mm]
>
hier verstehe ich nicht ganz, was Du meinst... was ist genau dein Problem?
> c) Eigenräume zu A durch Angabe einer Basis
>
> Das Thema habe ich noch nicht so ganz geschnallt -
>
> Der Eigenraum ergibt sich doch aus allen linear
> unabhängigen Vektoren und
> die Vektoren, aus denen man durch Linearkombination alle
> anderen erhält,
> bilden die Basis, oder?
>
> Ich hab in die Form [mm]A-\lambda[/mm] E das [mm]\lambda_{1}[/mm] eingestetzt
> und erhalte folgendes Gleichungssystem:
>
> [mm]0,37728...x_{1}+ix_{2}=0[/mm]
> [mm]2,37728...x_{1}+ix_{2}=0[/mm]
> [mm]1,37728...x_{1}+ix_{2}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1,2}=0[/mm]
>
Also um Eigenräume, z.B. zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] zu bestimmen, löst Du einfach das Gleichungssystem [mm] $Ax=\lambda [/mm] x [mm] \gdw (A-\lambda*e)x=0$.
[/mm]
Alle deine Lösungen bilden nun den Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Jetzt mußt Du nur noch eine Basis für den Eigenraum finden, aber die ergibt sich ja meistens als "Nebenprodukt" bei der Lösung des Gleichungssystems...
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Do 30.06.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Christian,
danke schön für deine Antworten. Ich hatte das, was du geschrieben hast nochmals nachvollzogen und dabei festgestellt, dass ich vollen Murks gerechnet hatte.
> > b) charakteristisches Polynom
> >
> > [mm](A-\lambda E)x=-\lambda^{2}+3\lambda[/mm] +6
> >
> > Nullstellen in [mm]\IC[/mm] (was ist damit genau gemeint, mit diesem
> > : in [mm]\IC[/mm] ?)
> > Bei der Gleichung oben erhalte ich jedenfalls:
> > [mm]\lambda_{1}=-1,337228...[/mm] und [mm]\lambda_{2}=4,337228...[/mm]
> >
>
> hier verstehe ich nicht ganz, was Du meinst... was ist
> genau dein Problem?
Naja, weshalb schreibt man da extra nochmal "in [mm] \IC" [/mm] hin, da es doch eigentlich egal ist, was da raus kommt!
Sollte halt [mm] \IC [/mm] nicht übersteigen! 
Denn es gilt ja z.B.: [mm] \IN\subset\IC [/mm] oder [mm] \IR\subset\IC
[/mm]
>
> Also um Eigenräume, z.B. zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] zu
> bestimmen, löst Du einfach das Gleichungssystem [mm]Ax=\lambda x \gdw (A-\lambda*e)x=0[/mm].
>
> Alle deine Lösungen bilden nun den Eigenraum zum Eigenwert
> [mm]\lambda.[/mm]
> Jetzt mußt Du nur noch eine Basis für den Eigenraum
> finden, aber die ergibt sich ja meistens als "Nebenprodukt"
> bei der Lösung des Gleichungssystems...
Das hab ich jetzt auch verstanden, komme bloß im Augenblick nicht weiter, da ich an b) hängengeblieben bin (siehe neue Frage!)
Nochmals danke
Liebe Grüße
Herby
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Bonjour!
zu a) Das Kriterium für "hermitesch" lautet A = A* = [mm] \overline{A}^{T} [/mm] = [mm] \overline{A^{T}}. [/mm] Dies ist aber nur ein Unterschied in der Schreibweise, deine Überprüfung (A komplex konjugieren, danach transponieren und auf Identität mit dem Original-A überprüfen) ist richtig. Die restlichen Kriterien sollten eigentlich mit obiger Bedingung erfüllt sein, man rechnet sie nur zu den Eigenschaften hermitscher Matrizen (wozu außerdem noch "die Eigenwerte sind reell, die Eigenvektoren bilden ein Orthonormalsystem" gehört).
zu b) Ich habe mir deine Rechnung jetzt nur einmal kurz durchgelesen, sehe aber im Moment auch keinen expliziten Fehler - bist du dir sicher, dass "1" eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms (damit ja auch Eigenwert) sein soll?!
Au revoir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Hexe |
also ich finde da auch keinen Fehler und hab dieselben Nullstellen ausgerechnet wie du
Liebe Grüße
Hexe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Hexe,
Hallo jeu_blanc,
Habt ihr euch die Orginalaufgabe unter Stefans Antwort mal angeschaut?
Vielleicht hab' ich ja die Aufgabe falsch interpretiert!
Falls nicht.....
....... dann mach ich schon mal auf der Basis weiter
bis später.....
Liebe Grüße
Herby
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]"){kind=small}
