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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Di 26.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
Sei f(x,y) eine stetige Funktion. Wenn die zweite Ableitungen von f stetige Funktionen sind, dann ist die Hesse Matrix symmetrisch. |
Hallo,
die Lösung ist, dass diese Aussage wahr ist.
Aber wieso? Was hat denn die Stetigkeit der zweiten Ableitungen von f mit der Symmetrie der Hesse Matrix zu tun?
LG
Mathics
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Hiho,
ihr hattet sicher den ![[]](/images/popup.gif) Satz von Schwarz.
Nun schau dir mal dessen Aussage an und dann die Definition der Hesse-Matrix.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 26.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Den hatten wir leider nicht im Detail. Wir haben uns einfach gemerkt, dass in der Hesse-Matrix fxy = fyx.
Dies ist anscheinend auf den Satz von Schwarz zurückzuführen, wie ich auch dem Wikipedia Artikel entnehmen kann. Aber wieso sagt der auch aus, dass die Hesse Matrix symmetrisch ist. Der Beweis bei Wikipedia war mir nicht ganz klar. Kann man das auch ganz simpel ausdrücken?
Und zu dem Gegenbeispiel im Wikipedia Artikel:
Woran erkenne ich genau, dass eine Funktion nicht stetig ist?
Ich habe mir das bis jetzt immer gemerkt, dass wenn z.B.
y =2 für 0 [mm] \le [/mm] x < 5
y=10-x für x [mm] \ge [/mm] 5
schreibt, ist es nicht stetig.
Kann man die Unstetigkeit auch anders erkennen, wenn es halt nicht so klar ersichtlich wie in meinem Beispiel ist?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 26.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Ist D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] zweimal stetig differenzierbar auf D, so sagt der Satz von Schwarz:
(*) [mm] f_{xy}=f_{yx} [/mm] auf D.
Die Hessematrix ist
[mm] \pmat{f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} }
[/mm]
Aus (*) folgt die Symmetrie dieser Matrix.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Di 26.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Okey, das merk ich mir dann so.
Kurz noch eine Frage:
Bei der Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ohne Nebenbedingungen. Ist die stetig? Weil in x=0 ist sie ja nicht definiert, deshalb würde ich sagen nein.
Wie kann man unstetige Funktionen auch ohne die abschnittsweise Schreibform erkennen?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Di 26.01.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Mathics!
Eine Funktion
[mm] f\colon D\subseteq\IR\to\IR
[/mm]
heißt stetig (auf [mm] $D\$), [/mm] wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereichs (also [mm] $D\$) [/mm] stetig ist.
Wir setzen
[mm] $f(x):=\frac{1}{x}\$.
[/mm]
Für [mm] $x\not=0\$ [/mm] ist [mm] $f\$ [/mm] stetig.
Für [mm] $x=0\$ [/mm] ist [mm] $f\$ [/mm] nicht definiert.
Damit ist [mm] $f\$ [/mm] an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig.
Also ist [mm] $f\$ [/mm] stetig.
(Die Funktion [mm] $f\$ [/mm] ist in Null weder stetig noch unstetig, denn sie ist dort nicht definiert.
Siehe Heuser; Stichwort: "Zerrissenheit".)
Gruß
DieAcht
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