Hessen: Gk A1 e-Funktion TR < Mathe für's Abi '08 < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 13:00 Fr 01.12.2006 | | Autor: | dietlind |
| Aufgabe | Dem menschlichen Körper können Medikamente durch einen Tropf kontinuierlich zugeführt
werden. Zu Beginn weist der Körper keine Medikamentenmenge auf, nach In-Gang-Setzen
des Tropfes erhöht sich die Medikamentenmenge mit jedem Tropfen, aber zugleich beginnen
Nieren und Leber die Substanz wieder auszuscheiden.
Die Funktion m: $t [mm] \to [/mm] m(t)$ , t in Minuten, m in Milligramm gemessen, gebe die Medikamentenmenge
im Körper an.
a. Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion m für oben beschriebenen
Wachstumsprozess.
b. Für ein bestimmtes Medikament gelte $m'(t) = [mm] e^{-0,02 t}$. [/mm]
Bestimmen Sie m(t) unter der Voraussetzung, dass der Tropf zur Zeit t = 0 gestartet wird.
Es gilt fortan: $m(t) = 50 (1 - [mm] e^{-0,02 t})$ [/mm] .
c. Zeichnen Sie die Graphen von m und m für einen sinnvollen Zeitraum und interpretieren
Sie deren Verlauf bezüglich der Medikamentenzufuhr.
d. Erläutern Sie, dass [mm] \limes_{t\to\infty}{m(t)}=50 [/mm] gilt.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Medikamentenmenge 90% dieses Grenzwertes
erreicht und den, von dem ab der Zuwachs des Medikaments weniger als 0,5 mg pro Minute beträgt.
e. Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{10}{e^{-0,02t}\ dt} [/mm] . Erläutern Sie die Bedeutung dieser Zahl.
f. Nach 5 Stunden wird der Tropf abgesetzt. Der Abbau des Medikaments erfolgt danach
mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, von dem ab die Nachweisgrenze des Medikaments von
1 μg [mm] (10^{-3} [/mm] mg) im Körper unterschritten wird.
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Vorbereitung Abitur
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a)
Die Funktion des Wachstumsprozess zeigt und den momentanen Bestand. Die Ableitung dieser Funtkion zeigt uns die momentane Änderungsrate.
b)
Hier müssen wir die Stammfunktion von $m'(t) = [mm] e^{-0,02 t}$
[/mm]
Diese lauet [mm] m(t)=-\bruch{1}{0,02}*e^{-0,02t}
[/mm]
So erhalten wir für [mm] m(0)=-\bruch{1}{0,02}
[/mm]
Dieses Ergebnis zeigt uns damit, dass noch kein Medikament beim Zeitpunkt null wirkt.
Mein Ergebnis ist aber falsch? Wie mach ich die b richtig?
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Hi!
> a)
>
> Die Funktion des Wachstumsprozess zeigt und den momentanen
> Bestand. Die Ableitung dieser Funtkion zeigt uns die
> momentane Änderungsrate.
>
> b)
> Hier müssen wir die Stammfunktion von [mm]m'(t) = e^{-0,02 t}[/mm]
>
> Diese lauet [mm]m(t)=-\bruch{1}{0,02}*e^{-0,02t}[/mm]
Nein, die Stammfunktion lautet: [mm] $m(t)=-\bruch{1}{0,02}*e^{-0,02t} [/mm] + c $ mit [mm] c\in\IR. [/mm]
Wähle jetzt c so, dass $m(0) = 0$.
> So erhalten wir für [mm]m(0)=-\bruch{1}{0,02}[/mm]
>
> Dieses Ergebnis zeigt uns damit, dass noch kein Medikament
> beim Zeitpunkt null wirkt.
>
> Mein Ergebnis ist aber falsch? Wie mach ich die b richtig?
>
>
Gruß Patrick
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danke!
dann erhalte ich für meine Stammfuntkion [mm] m(t)=\bruch{1}{0,02}-\bruch{1}{0,02}e^{-0,02t}
[/mm]
jetzt ist es richtig?
Gruss
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Ja! Wenn du bedenkst, dass 1/0,02=50 und du diese 50 ausklammerst, dann kommst du auch auf das Kontrollergebnis in der Aufgabe.
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