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| Aufgabe | Hilbertshotel hat unendlich viele Zimmer, die mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert sind. Wenn alle Zimmer belebt sind und ein neuer Gast kommt, wird einfach jeder der vorhandenen Gäste in das Zimmer mit der nächst höheren Nummer verlegt, so dass das Zimmer Nummer 0 für den neuen Gast frei wird. Jetzt kommen aber unendlich viele neue Gäste (die auch mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert sind).
Hier ist ein Vorschlag diese Gäste auch im Hotel unterzubringen:
Alle Gäste werden um eins verschoben um Platz für den Gast mit der Nummer 0 zu schaffen. Dies wiederholt man für alle neuen Gäste unendlich oft. Auf diese weise erhält jeder neue Gast irgendwann ein Zimmer.
Warum ist dies kein Beweis, dass die Menge aller alten und neuen Gäste gleichmächtig zu der Menge der Zimmer ist?
Können Sie eine bessere Strategie angeben um alle Gäste unterzubringen? |
Hallo,
ich habe eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:
Erst einmal zu der Frage, warum dies kein Beweis für die Gleichmächtigkeit aller Gäste zu der Menge der Zimmer ist.
Beschrieben wird hier eine Abbildung, die die Gäste injektiv in die Menge der Zimmer abbildet.
Für die Gleichmächtigkeit müsste man aber noch wissen, dass die Abbildung surjektiv ist. Das ist allerdings nicht gegeben.
Eine bessere Strategie alle Gäste unterzubringen wäre, anstelle sie um eins zu verschieben, alle Gäste in das Zimmer mit der doppelten Raumnummer zu schicken, also der Gast aus Zimmer 0 bleibt in Zimmer 0. Der Gast in Zimmer 1 geht in Zimmer 2, der Gast aus Zimmer 2 geht in Zimmer 4 usw.
So schafft man mit einem mal unendlich viel Platz, der gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ist.
Korrekt, oder habe ich etwas übersehen?
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mo 14.12.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hilbertshotel hat unendlich viele Zimmer, die mit den
> natürlichen Zahlen durchnummeriert sind. Wenn alle Zimmer
> belebt sind und ein neuer Gast kommt, wird einfach jeder
> der vorhandenen Gäste in das Zimmer mit der nächst
> höheren Nummer verlegt, so dass das Zimmer Nummer 0 für
> den neuen Gast frei wird. Jetzt kommen aber unendlich viele
> neue Gäste (die auch mit den natürlichen Zahlen
> durchnummeriert sind).
> Hier ist ein Vorschlag diese Gäste auch im Hotel
> unterzubringen:
>
> Alle Gäste werden um eins verschoben um Platz für den
> Gast mit der Nummer 0 zu schaffen. Dies wiederholt man für
> alle neuen Gäste unendlich oft. Auf diese weise erhält
> jeder neue Gast irgendwann ein Zimmer.
>
> Warum ist dies kein Beweis, dass die Menge aller alten und
> neuen Gäste gleichmächtig zu der Menge der Zimmer ist?
> Können Sie eine bessere Strategie angeben um alle Gäste
> unterzubringen?
> Hallo,
>
> ich habe eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:
>
> Erst einmal zu der Frage, warum dies kein Beweis für die
> Gleichmächtigkeit aller Gäste zu der Menge der Zimmer
> ist.
>
> Beschrieben wird hier eine Abbildung, die die Gäste
> injektiv in die Menge der Zimmer abbildet.
In welchem Zimmer ist "zum Schluss" denn die Person, die vorher in Zimmer 0 war? Wenn das eine Abbildung ist, muss es ja ein Zimmer $m$ geben, in welchem diese Person untergebracht ist.
> Für die Gleichmächtigkeit müsste man aber noch wissen,
> dass die Abbildung surjektiv ist. Das ist allerdings nicht
> gegeben.
Man muss insbeondere eine Abbildung haben.
> Eine bessere Strategie alle Gäste unterzubringen wäre,
> anstelle sie um eins zu verschieben, alle Gäste in das
> Zimmer mit der doppelten Raumnummer zu schicken, also der
> Gast aus Zimmer 0 bleibt in Zimmer 0. Der Gast in Zimmer 1
> geht in Zimmer 2, der Gast aus Zimmer 2 geht in Zimmer 4
> usw.
> So schafft man mit einem mal unendlich viel Platz, der
> gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ist.
Genau. Das liefert auch eine "echte" Abbildung, die bijektiv ist 
LG Felix
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Naja, wäre die beschriebene Abbildung nicht einfach
[mm] $f:G\to [/mm] Z$
[mm] $n\mapsto [/mm] n+1$
Wobei G die Menge der Gäste sein soll, welche ja mit den natürlichen Zahlen durchnummieriert werden können. Und Z die Menge der Zimmer, welche ebenfalls mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert werden können.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 Di 15.12.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Naja, wäre die beschriebene Abbildung nicht einfach
>
> [mm]f:G\to Z[/mm]
>
> [mm]n\mapsto n+1[/mm]
>
> Wobei G die Menge der Gäste sein soll, welche ja mit den
> natürlichen Zahlen durchnummieriert werden können. Und Z
> die Menge der Zimmer, welche ebenfalls mit den natürlichen
> Zahlen durchnummeriert werden können.
Du suchst eine Abbildung $G [mm] \cup [/mm] Z [mm] \to [/mm] Z$, wobei $G [mm] \cup [/mm] Z$ eine disjunkte Vereinigung sein soll. Also eine Abbildung wie [mm] $(\{ 0 \} \times [/mm] G) [mm] \cup (\{ 1 \} \times [/mm] Z) [mm] \to [/mm] Z$, die injektiv (oder sogar bijektiv) ist.
Wenn $(0, n)$ auf $n + 1$ abgebildet wird, wohin wird dann $(1, m)$ abgebildet? In der Zielmenge ist nur noch das Element 0 "frei".
LG Felix
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Ich bin mir nicht sicher, ob ich das nun richtig verstehe.
Also es ist kein "Beweis" für die Gleichmächtigkeit der alten Gäste + neuen Gäste zu der Menge der Zimmer, da man erstmal eine Abbildung braucht, was sich ja von selbst versteht, aber die beschriebene Abbildung nicht surjektiv ist, da man etwa dem Gast, welcher früher dem Zimmer Null zugeordnet wurde, kein neues Zimmer zuweisen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 Mi 16.12.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich bin mir nicht sicher, ob ich das nun richtig verstehe.
> Also es ist kein "Beweis" für die Gleichmächtigkeit der
> alten Gäste + neuen Gäste zu der Menge der Zimmer, da man
> erstmal eine Abbildung braucht, was sich ja von selbst
> versteht, aber die beschriebene Abbildung nicht surjektiv
> ist, da man etwa dem Gast, welcher früher dem Zimmer Null
> zugeordnet wurde, kein neues Zimmer zuweisen kann.
Der Punkt ist: es wird überhaupt keine Abbildung beschrieben. Eine Abbildung muss jedem Element ein (eindeutiges) Bild zuweisen. Aber hier wird dem "vorhandenen" Gast 0 kein Bild zugewiesen (sowie auch keinem anderen vorhandenen Gast), und wenn man genau schaut auch keinem der neuen Gäste. Damit ist für keinen einzigem Gast festgelegt, wo er schliesslich landet. Bei einer Abbildung muss das allerdings für jeden Gast der Fall sein.
LG Felix
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Vielen Dank für deine Hilfe.
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