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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 So 19.09.2004 | | Autor: | Olaf |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hi Leute!
Ich brauche nochmals eure Hilfe! Die Aufgabe ist folgende: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und bestimmen Sie mithilfe einer Zerlegungssumme S6 näherungsweise den Inhalt dieser Fläche. Die Funktion f is da jetz sin(x). das Intervall ist [0;µ]. wie geh ich da jetz ran? hab keine ahnung wie ich das da jetz lösen muss!
Danke schon im voraus für eure hilfe!
Olaf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 So 19.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Olaf!
Ich weiß leider nicht, welches Schulbuch ihr benutzt und wie genau ihr den Begriff "Zerlegungssumme" definiert habt. Ich orientiere mich aber jetzt mal an den Bezeichnungen im Lambacher-Schweizer.
Anzuwenden ist das folgende Schema:
Gegeben ist die stetige Funktion [mm] $\blue{f}$ [/mm] mit [mm] $\blue{f(x) \ge 0}$ [/mm] für [mm] $\blue{a \in [a;b]}$. [/mm] Zur näherungsweisen Berechnung des Inhaltes [mm] $\blue{A}$ [/mm] der Fläche zwischen dem Graphen von [mm] $\blue{f}$ [/mm] und der [mm] $\blue{x}$-Achse [/mm] über dem Intervall [mm] $\blue{[a;b]}$ [/mm] kann man wie folgt vorgehen:
1. Man wählt eine feste natürliche Zahl [mm] $\blue{n}$ [/mm] und unterteilt das Intervall [mm] $\blue{[a,b]}$ [/mm] in [mm] $\blue{n}$ [/mm] Teilintervalle der Breite [mm] $\blue{h = \frac{b-a}{n}}$.
[/mm]
2. Aus jedem Teilintervall wählt man eine Stelle [mm] $\blue{x_i}$ [/mm] für [mm] $\blue{i=1,2,\ldots,n}$ [/mm] und berechnet den zugehörigen Funktionswert [mm] $\blue{f(x_i)}$.
[/mm]
3. Man berechnet als Näherungswert für den Flächeninhalt die Zerlegungssumme
[mm] $\blue{s_n = h \cdot f(x_1) + h \cdot f(x_2) + \ldots ü h \cdot f(x_n) = h \cdot [f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]}$.
[/mm]
Beachte bitte: Zur Berechnung eines Näherungswertes von $A$ ist jede Stelle [mm] $x_i$ [/mm] im zugehörigen Teilintervall möglich. Soll dagegen $A$ "nach unten" bzw. "nach oben" abgeschätzt werden, wählt man für die Höhe jedes Rechtecks den kleinsten bzw. den größten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall. Die zugehörigen Zerlegungssummen heißten dann Untersumme [mm] $U_4$ [/mm] bzw. Obersumme [mm] $O_4$.
[/mm]
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion $f$ mit [mm] $f(x)=-0,25x^2 [/mm] + 4$.
a) Bestimmen Sie mithilfe einer Zerlegungssumme [mm] $S_6$ [/mm] näherungsweise den Inhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $a$-Achse über $[0;3]$.
Lösung: Für $h$ gilt: [mm] $h=\frac{3-0}{6}=0,5$. [/mm] Wählt man für [mm] $x_i$ [/mm] aus jedem Teilintervall jeweils die Mitte, so ergibt sich die folgende Tabelle:
[mm] $x_i$ $f(x_i)$
[/mm]
$0,25$ $3,984$
$0,75$ $3,859$
$1,25$ $3,609$
$1,75$ $3,234$
$2,25$ $2,734$
$2,75$ $2,109$
Für [mm] $S_6$ [/mm] gilt:
[mm] $S_6 \approx [/mm] 0,5 [mm] \cdot [/mm] [3,984 + 3,859 + 3,609 + 3,234 + 2,734 + 2,109] [mm] \approx [/mm] 9,76$.
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt näherungsweise $A [mm] \approx [/mm] 9,76$.
b) Schätzen Sie den Flächeninhalt $A$ mithilfe der Ober- und Untersumme ab.
Lösung: Zur Berechnung der Obersumme muss in diesem Fall für [mm] $x_i$ [/mm] jeweils der linke Rand jedes Teilintervalls gewählt werden (da die Funktion monoton fallend ist), also [mm] $x_1=0$, $x_2=0,5$, $\ldots$, $x_6=2,5$.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $O_6 \approx [/mm] 0,5 [mm] \cdot [/mm] [4,000 + 3,938 + 3,750 + 3,438 + 3,000 + 2,438] [mm] \approx [/mm] 10,29$.
Die Untersumme ergibt sich entsprechend mithilfe der rechten Intervallränder:
[mm] $U_6 \approx [/mm] 0,5 [mm] \cdot [/mm] [3,937 + 3,750 + 3,437 + 3,000 + 2,437 + 1,750] [mm] \approx [/mm] 9,15$.
Für den gesuchten Flächeninhalt $A$ gilt:
$9,15 [mm] \le [/mm] A [mm] \le [/mm] 10,29$.
Versuche das nun einmal bitte nachzuvollziehen und auf dein Problem zu übertragen und teile uns deinen Lösungsvorschläge mit. Wir helfen dir gerne weiter, wenn du Schwierigkeiten hast, wollen jetzt aber erst einmal deine eigenen Ansätze und Bemühungen sehen. Denn nur so lernst du auch etwas dabei. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 19.09.2004 | | Autor: | Olaf |
Ich hatte mir gedacht dass ich ja mit dieser formel h erstma das ganze in 6 gleichgroße teile aufteilen muss: da ich das Intervall [0;µ] habe käme dann ja ungefähr 0,5 raus. muss ich damit dann ganz normal weiterrechnen? wo is dann die besonderheit dass das sin(x) als funktion ist??
Ich hätte dann als Obersumme also: 0,5*[f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5)+f(2)+f(2,5)+f(3)+f(µ)] oder wie geht das dann?
Olaf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Olaf!
> Ich hatte mir gedacht dass ich ja mit dieser formel h
> erstma das ganze in 6 gleichgroße teile aufteilen muss: da
> ich das Intervall [0;µ] habe käme dann ja ungefähr 0,5
> raus.
Ich nehme mal an es handelt sich um das Intervall [mm] $[0,\pi]$.
[/mm]
Dann ist die Breite der $6$ Teilintervalle gerade [mm] $\frac{\pi-0}{6} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{6}$
[/mm]
Die $6$ Teilintervalle (beachte bitte, dassnach dem Schema alle genau gleich groß sein müssen, nicht ungefähr gleich groß):
[mm] $[0,\frac{\pi}{6}], [\frac{\pi}{6}, 2\frac{\pi}{6}], \ldots, [5\frac{\pi}{6},\pi]$.
[/mm]
Aus jedem Teilintervall wählst du jetzt ein Element, zum Beispiel den Mittelpunkt jedes Teilintervalls (oder die obere oder auch untere Intervallgrenze).
Daraus berechnest du dann die Zerlegungssumme.
> muss ich damit dann ganz normal weiterrechnen? wo is
> dann die besonderheit dass das sin(x) als funktion ist??
Das ist keine Besonderheit.
> Ich hätte dann als Obersumme also:
> 0,5*[f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5)+f(2)+f(2,5)+f(3)+f(µ)] oder
> wie geht das dann?
Warum sollte das die Obersumme sein? Bei der Obersumme müsstest du aus jedem der Teilintervalle [mm] $I_i:=[i\frac{\pi}{6}, (i+1)\frac{\pi}{6}]$ [/mm] dasjenige Element [mm] $x_i$ [/mm] suchen, so dass [mm] $\sin(x)$ [/mm] im Punkt [mm] $x_i$ [/mm] den größten Wert auf [mm] $I_i$ [/mm] annimmt.
Noch ein Versuch von dir?
Liebe Grüße
Stefan
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