Hilfe! In-/homogene GLS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 09.07.2007 | | Autor: | FHTuning |
| Aufgabe | Von dem nachfolgenden Gleichungssystem bestimme msn
a) allg. Lösung des homogenen Sys.
b) allg. Lösung inhomogenes Sys.
(-2 1 3 -1) (x1) 2
( 4 -2 -1 2) x (x2) = -9
(-2 1 8 -1) (x3) -3
(-10 5 25 -5) (x4) 0 |
Hallo,
habe leider gar keine Ahnung wie ich dies hier lösen soll.
Klar, für ein homogenes System muss das Ergebnis gleich Null sein und für ein inhomogenes kann man die Werte dort stehen lassenm aber wie kann ich dann die einzelnen Werte für x1, x2 usw. errechnen??
Nett wäre eine generelle Lösung bzw. ein genereller Ansatz an dieses Problem ranzugehen!
Bitte Hilfe!!!
Sorry bin noch nicht so vertraut mir eurer Schreibweise hier, wäre nett wenn Ihr mir trotzdem helfen könntet. Die Klammern bei mir sollen natürlich eine große Klammer jeweils darstellen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Von dem nachfolgenden Gleichungssystem bestimme msn
> a) allg. Lösung des homogenen Sys.
> b) allg. Lösung inhomogenes Sys.
> [mm] \pmat{ -2 & 1&3&-1\\ 4 & -2&-1&2\\-2 & 1&8&-1\\-10 & 5&25&-5}* \vektor{x_1\\ x_2\\x_3\\x_4} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-9\\-3\\0}
[/mm]
> Hallo,
> habe leider gar keine Ahnung wie ich dies hier lösen soll.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Welche Methoden zur Lösung von linearen GS kennst Du? Welche kannst Du?
Hattet Ihr das Gaußverfahren (Matrizen, Zeilenumformungen).
Was lernt Ihr gerade?
> Klar, für ein homogenes System muss das Ergebnis gleich
> Null sein
Das stimmt nicht. Das stimmt nur für invertierbare Matrizen, also für solche mit vollem Rang.
Falls Deine Matrix also den Rang 4 hat, ist [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] die einzige Lösung.
Sonst gibt es mehrere Lösungen.
Hattet Ihr das? Weißt Du, was der Rang ist?
> und für ein inhomogenes kann man die Werte dort
> stehen lassenm aber wie kann ich dann die einzelnen Werte
> für x1, x2 usw. errechnen??
Wie gesagt handelt es sich um ein lineares GS mit 4 Gleichungen und 4 Variablen.
Wenn Ihr nichts anderes gelernt habt, kannst Du da zu Fuß herangehen:
[mm] \pmat{ -2 & 1&3&-1\\ 4 & -2&-1&2\\-2 & 1&8&-1\\-10 & 5&25&-5}* \vektor{x_1\\ x_2\\x_3\\x_4} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-9\\-3\\0}
[/mm]
ist gleichbedeutend mit dem GS
A. [mm] -2x_1+ 1x_2+ 3x_3+ -1x_4=2
[/mm]
B. [mm] 4x_1- 2x_2- 1x_3+ 2x_4=-9
[/mm]
C. [mm] -2x_1+ 1x_2+ 8x_3- 1x_4=-3 [/mm]
D. [mm] -10x_1+ 5x_2+ 25x_3- 5x_4=0 [/mm]
Du kannst nun A nach [mm] x_1 [/mm] auflösen, das Ergebnis in B.-C. einsetzen,
dann Dein neues B' nach [mm] x_2 [/mm] auflösen, das Ergebnis in C.,D. einsetzen usw.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 09.07.2007 | | Autor: | FHTuning |
Vielen Dank!
Zur Lösung von Linearen Gleichungssystemen benutze ich eigentlich durchweg den Gauß´schen Algorithmus. Was ein Rang ist, weiß ich auch, nur hatte ich nach Benutzung des Gauß´schen Algorithmusses das Problem, das 2 Zeilen zu Nullzeilen werden konnten und eine dritte Zeile lediglich [mm] x_{3} [/mm] = 0 beinhaltete.
Dann "blieb" für die erste Zeile eine Gleichung mit 3 Variablen und einer Lösung =0. Mein Problem ist / war, das sich die Gleichung ja nun nicht nach einer Variablen umstellen lässt um die dann einzusetzen.
Als Lösung sollte laut meinem Professor [mm] x_{1}=x_{3} [/mm] = 0 ; [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{4} [/mm] = t ; t [mm] \in \IR [/mm] herauskommen.
Werde mich gleich mal ransetzen und die Aufgabe nach Deinem Schema probieren.
Nochmals vielen Dank!!!
|
|
|
| |
|
> Werde mich gleich mal ransetzen und die Aufgabe nach Deinem
> Schema probieren.
Um Himmelswillen! Nein! Mach das nicht!!!
Wenn Du das mit Gauß kannst, mach das.
Ich schlage Dir vor, daß Du die auf Zeilenstufenform gebrachte Matrix hier vorstellst, und ich (oder wer anders) erkläre Dir dann, wie Du den Lösungsraum bekommst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 10.07.2007 | | Autor: | FHTuning |
Ok laut meiner Anwendung von Gauß komme ich zu folgendem Schritt:
[mm] \pmat{ 1 & -0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
und dies ist natürlich alles gleich 0.
Also habe ich [mm] x_{3} [/mm] = 0 , nur wie komme ich zu den weiteren Ergebnissen??
Bitte um Hilfe!!
|
|
|
| |
|
Hallo FHTuning,
das ist alles etwas merkwürdig...
Hmm, die Matrix stimmt, der Rang ist 2, also ist der Lösungsraum des homogenen LGS 2-dimensional.
Mit Zeile 2 hast du richtig [mm] x_3=0
[/mm]
Dann hast du 2 frei wählbare Variablen, nehmen wir [mm] x_4=t, t\in\IR [/mm] und [mm] x_2=s, s\in\IR
[/mm]
Dann ist mit Zeile 1:
[mm] 2x_1=s-t\Rightarrow x_1=\frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t
[/mm]
Also ist ein Lösungsvektor des homogenen LGS von der Gestalt
[mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{\frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t\\s\\0\\t}=\vektor{\frac{1}{2}s\\s\\0\\0}+\vektor{-\frac{1}{2}t\\0\\0\\t}=s\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\1\\0\\0}+t\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\0\\0\\1}
[/mm]
[mm] =\tilde{s}\cdot{}\vektor{1\\2\\0\\0}+\tilde{t}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0\\2}
[/mm]
Also ist der Lösungsraum des homogenen LGS [mm] \langle\vektor{1\\2\\0\\0},\vektor{-1\\0\\0\\2}\rangle
[/mm]
Nun brauchen wir noch eine spezielle Lösung des [mm] \underline{in}homogenen [/mm] LGS:
Dazu kannst du dieselben Umformungen benutzen wie für das homogene LGS, nur auf der rechten Seite statt [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] musst du [mm] \vektor{2\\-9\\-3\\0} [/mm] nehmen.
Ein Lösungsvektor ist zB. [mm] \vektor{-3\\-1\\-1\\0} [/mm] (nachrechnen!)
Damit ergibt sich als Gesamtlösung die Kombination aus spezieller Lösung für das inhomogene LGS und der allg. Lösung für das homogene LGS,
Also: [mm] \mathbb{L}=\{\vektor{-3\\-1\\-1\\0}+s\cdot{}\vektor{-1\\2\\0\\0}+t\cdot{}\vektor{1\\0\\0\\2}\mid s,t\in\IR\}
[/mm]
Also ein affiner Unterraum der Dimension 2
Ich sehe auch nicht ganz, wie dein Prof da auf die andere Lösung kommt.
Hmm mal sehen - vllt haben wir ja beide nen Fehler reingehauen...
LG
schachuzius
|
|
|
| |
|
Hallo,
FHtunings Prof. hat recht - jedenfalls habe ich auch sein Ergebnis erhalten.
Der Rang der Matrix ist =3.
EDITIERT: Er hat nicht recht. Bei erneutem Rechnen habe auch ich Euer Ergebnis.
Irgendwo muß beim auf Zeilenstufenformbringen ein Fehler passiert sein.
Nirgendwo ist Euch ein Fehler passiert.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
hmmm... 
Also wenn ich hier: [mm] \pmat{ -2 & 1&3&-1\\ 4 & -2&-1&2\\-2 & 1&8&-1\\-10 & 5&25&-5}
[/mm]
das 2-fache der ersten Zeile zur 2.Zeile addiere , das (-1)fache der 1.Zeile zur 3.Zeile und das (-5)fache der 1.Zeile zur 3.Zeile addiere, erhalte ich:
[mm] \pmat{ -2 & 1&3&-1\\ 0 & 0&5&0\\0 & 0&5&0\\0 & 0&10&0}
[/mm]
Und das gibt m.E 2 Nullzeilen
Ich finde das merkwürdig
Wo ist der Rechenfehler?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
>
> Wo ist der Rechenfehler?
Nirgendwo.
Aber ich glaube, daß ich noch groß rauskommen werde: wenn es mir sogar gelingt, die professoralen Fehler 1:1 zu imitieren...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mi 11.07.2007 | | Autor: | FHTuning |
Also kann ich davon ausgehen, das der Fehler bei meinem Prof. liegt und nicht bei mir??
|
|
|
| |
|
> Also kann ich davon ausgehen, das der Fehler bei meinem
> Prof. liegt und nicht bei mir??
Ja. Da ich vorhin dasselbe Ergebnis wie der Chef hatte, vermute ich einen Vorzeichenfehler beim Abschreiben oder Rechnen.
Deine Matrix in ZSF stimmt (ich hab sicherheitshalber auch den Rechner nachrechnen lassen), und wie Du zu Deinem Lösungsraum kommst, hat Dir schachuzipus ja gezeit.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo FHTuning!
Versuch es doch mal mit dem Gauß-Eliminationsverfahren
Hier zur Kontrolle meine Lösungen:
a) x1=0 x2=0 x3=0 x4=0
b) x1=-5/3 x2=5/6 x3=-1 x4=-5/6
Grüße Martha.
|
|
|
|
