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[mm] \integral_{a}^{b}{a(1+x)^{-a-1} dx} [/mm] = a* [mm] \bruch{(1+x)}{-a}^{-a} |_{0}^{\infty} [/mm] = [mm] -(1+x)^{-a} |_{0}^{\infty} [/mm] = 0-(-1) = 1
wobei a [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] und b=1
Ich weiss schon das Ergebnis. Aber ich verstehe nicht, wie man darauf kommt. Meine Fragen:
1) Wieso im dritten Schritt steht -a im Nenner?
2) Wie berechnet man F(b)-F(a) verstehe ich in diesem Beispiel auch nicht..
Könnte vielleicht jemand die Zwischenrechnung mit ein bisschen Erklärung machen? Ich bedanke mich im Voraus.
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Hallo,
> [mm]\integral_{a}^{b}{a(1+x)^{-a-1} dx}[/mm] = a*
> [mm]\bruch{(1+x)}{-a}^{-a} |_{0}^{\infty}[/mm] = [mm]-(1+x)^{-a} |_{0}^{\infty}[/mm]
> = 0-(-1) = 1
>
> wobei a [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm] und b=1
>
> Ich weiss schon das Ergebnis. Aber ich verstehe nicht, wie
> man darauf kommt. Meine Fragen:
>
> 1) Wieso im dritten Schritt steht -a im Nenner?
Die Regel (direkt abgeleitet aus der Potenzregel fürs Ableiten) lautet:
Eine Stammfunktion von $f(x) = [mm] x^{n}$ [/mm] ist $F(x) = [mm] \frac{1}{n+1}*x^{n+1}$. [/mm] (Kannst du leicht durch Ableiten nachvollziehen)!
Bei uns ist: $f(x) = [mm] a*(1+x)^{-a-1}$.
[/mm]
Nun die Regel (In diesem Fall ist $n = -a-1$ !):
$F(x) = [mm] a*\frac{1}{(-a-1)+1}*(1+x)^{(-a-1) + 1} [/mm] = [mm] a*\frac{1}{-a}*(1+x)^{-a}$.
[/mm]
Okay?
> 2) Wie berechnet man F(b)-F(a) verstehe ich in diesem
> Beispiel auch nicht..
Wir wissen nun, dass
$F(x) = [mm] -(1+x)^{-a} [/mm] = [mm] \frac{-1}{(1+x)^{a}}$, [/mm] wobei a > 0.
ist.
Nun müssen wir
[mm] $F(\infty) [/mm] - F(0)$
bestimmen.
Ich denke, für a [mm] \ge [/mm] 1 ist es einsichtig, warum der Term für [mm] x\to\infty [/mm] gegen 0 geht: Der Nenner wird für x immer größer, und a beschleunigt diesen Vorgang sogar.
Dies ist aber auch für a < 1 der Fall, denn obwohl dann so etwas wie zum Beispiel [mm] \frac{-1}{\sqrt{1+x}}
[/mm]
dasteht (für a = 1/2 ), kannst du dir vorstellen, dass das für x gegen unendlich der Nenner immer noch gegen unendlich geht.
Grüße,
Stefan
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Alles klar. Vielen Dank!!!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:34 Di 09.02.2010 | | Autor: | itstudentin |
Danke!!! Ich habe noch eine dritte Frage: 
[mm] -(1+x)^{-a}|_{0}^{\infty} [/mm] = 0-(-1)=1 dies sollte dem F(b)-F(a) entsprechen.
Muss ich bei dieser Berechnung zuerst anstelle von X den Wert von b stellen und danach den Wert von a?
Aber ich kenne den Wert a nicht. Ich weiss nur, dass a [mm] \in (0,\infty) [/mm] liegt.
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Es ist mir alles klar geworden.. Danke an alle!
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