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Hölder-Ungleichung: Idee, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 So 13.12.2015
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Prüfe, ob die Hölder-Ungleichung auch für [mm] p=\bruch{3}{4} [/mm] und alle Funktionen [mm] f,g\inP([a,b]) [/mm] mit f [mm] \ge [/mm] c > 0, g [mm] \ge [/mm] c > 0 auf [a,b] gilt:

[mm] |\integral_{a}^{b}{fg}|\le(\integral_{a}^{b}{|f|^{p}})^{\bruch{1}{p}}(\integral_{a}^{b}{|g|^{p}})^{\bruch{1}{q}} [/mm]

wobei [mm] q:=(1-\bruch{1}{p})^{-1}. [/mm]

Guten Tag!

Zuerst einmal muss ich entscheiden, ob die Hölder-Ungleichung für p=3/4 gilt. Ich weiß jedoch nicht, über welches mathematische Verfahren ich dies erledigen kann. Möglicherweise kann ich auch einfach durch einen Widerspruchsbeweis zeigen, dass die Ungleichung in diesem speziellen Fall nicht gilt?

Über einen Denkanstoß von Eurer Seite würde ich mich sehr freuen!

Besten Dank!
mathe_thommy

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Hölder-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 So 13.12.2015
Autor: Ladon

[willkommenmr]

Denkanstoß: Wenn du vermutest, dass die Ungleichung für [mm] $p=\frac{3}{4}<1$ [/mm] nicht gilt, solltest du versuchen ein Gegenbeispiel anzugeben.

LG
Ladon

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Bezug
Hölder-Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 So 13.12.2015
Autor: mathe_thommy

Guten Abend!
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe nun versucht, die Werte in die Ungleichung einzusetzen. Aus
[mm] p=\bruch{3}{4} [/mm]
erhalte ich dementsprechend
[mm] q=(1-\bruch{1}{\bruch{3}{4}})^{-1}=-3 [/mm]

In die Hölder-Ungleichung eingesetzt ergibt das:
[mm] |\integral_{a}^{b}{fg dx}| \le (\integral_{a}^{b}{|f|^{\bruch{3}{4}} dx})^{\bruch{4}{3}}*(\integral_{a}^{b}{|g|^{-3} dx})^{-\bruch{1}{3}} [/mm]

Wie kann ich an dieser Stelle weiter vorgehen? Ist es mir erlaubt, die äußeren Exponenten in die Klammern zu ziehen und mit den dortigen Exponenten zu multiplizieren, sodass jeweils eine 1 im Exponent steht?
Wie komme ich von hier auf einen Widerspruch?

Beste Grüße
mathe_thommy

Bezug
                
Bezug
Hölder-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 So 13.12.2015
Autor: fred97


> Guten Abend!
>  Vielen Dank für die Hilfe!
> Ich habe nun versucht, die Werte in die Ungleichung
> einzusetzen. Aus
> [mm]p=\bruch{3}{4}[/mm]
> erhalte ich dementsprechend
> [mm]q=(1-\bruch{1}{\bruch{3}{4}})^{-1}=-3[/mm]
>  
> In die Hölder-Ungleichung eingesetzt ergibt das:
>  [mm]|\integral_{a}^{b}{fg dx}| \le (\integral_{a}^{b}{|f|^{\bruch{3}{4}} dx})^{\bruch{4}{3}}*(\integral_{a}^{b}{|g|^{-3} dx})^{-\bruch{1}{3}}[/mm]
>  
> Wie kann ich an dieser Stelle weiter vorgehen? Ist es mir
> erlaubt, die äußeren Exponenten in die Klammern zu ziehen
> und mit den dortigen Exponenten zu multiplizieren, sodass
> jeweils eine 1 im Exponent steht?


Nein,überlege warum




>  Wie komme ich von hier auf einen Widerspruch?

Gegenbeispiel suchen

Fred

>  
> Beste Grüße
>  mathe_thommy


Bezug
                        
Bezug
Hölder-Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Mo 14.12.2015
Autor: mathe_thommy

Danke für deine Antwort, Fred!

Meinen vorgeschlagenen Rechenschritte darf ich vermutlich nicht durchführen, da der Exponent das gesamte Integral umschließt und sich damit nicht nur auf die Funktion f bzw. g bezieht.

Als Gegenbeispiel wurde uns gesagt, dass wir uns auf die Suche nach einer passenden Treppenfunktion begeben sollen. Was ist damit gemeint? In meinen Nachschlagewerken finde ich keine hilfreiche Definition.

Besten Dank!
mathe_thommy

Bezug
                                
Bezug
Hölder-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mo 14.12.2015
Autor: fred97


> Danke für deine Antwort, Fred!
>  
> Meinen vorgeschlagenen Rechenschritte darf ich vermutlich
> nicht durchführen, da der Exponent das gesamte Integral
> umschließt und sich damit nicht nur auf die Funktion f
> bzw. g bezieht.

So ist es.


>  
> Als Gegenbeispiel wurde uns gesagt, dass wir uns auf die
> Suche nach einer passenden Treppenfunktion begeben sollen.
> Was ist damit gemeint? In meinen Nachschlagewerken finde
> ich keine hilfreiche Definition.


Google ist auch Dein Freund !!!

FRED

>  
> Besten Dank!
>  mathe_thommy


Bezug
                                        
Bezug
Hölder-Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Mo 14.12.2015
Autor: mathe_thommy

Guten Abend!

Ich habe mir jetzt im Internet mehrere Definitionen von Treppenfunktionen angesehen. So wie ich das verstehe, sind damit Funktionen gemeint, die sozusagen aus vielen "Konstanten" zusammengesetzt werden, zwischen denen Sprünge unterschiedlichster Art entstehen können.
Die Bestimmung und Berechnung der Integrale erscheint mir hierbei besonders einfach, da man stets rechteckige/quadratische Flächen betrachtet.
Mir ist bisher jedoch noch nicht klar geworden, wie ich die Eigenschaften einer Treppenfunktion ausnutzen kann, um einen Widerspruchsbeweis anzuführen - könnte mir da bitte jemand helfen?

Beste Grüße und noch einen angenehmen Abend!
mathe_thommy

Bezug
                                                
Bezug
Hölder-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Mo 14.12.2015
Autor: Ladon

Du sollst keinen []Widerspruchsbeweis durchführen, sondern ein []Gegenbeispiel finden!
Das habe ich bereits in meiner Antwort oben gesagt und Fred hat es dir auch versucht beizubringen. ;-)
Folgendes musst du tun: Du gibst einfach zwei konkrete (Treppen-)Funktionen an, für die du nachrechnen kannst, dass die Ungleichung nicht gilt. Fertig ist der Beweis, dass die Behauptung nicht gilt, durch Angabe eines Gegenbeispiels.
Treppenfunktionen sind sinnvoll, da sie recht einfach zu handhaben sind.

Viele Grüße
Ladon

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Bezug
Hölder-Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mo 14.12.2015
Autor: mathe_thommy

Besten Dank für den Tipp!

Ich habe in meinen Mitschriften unter anderem die "Heavyside"-Funktion gefunden. Wähle ich diese als f und g mit g(x)=x, dann ist die Ungleichung auf dem Intervall [1,2] (dieses darf ich doch auch frei wählen, oder?) nicht erfüllt.

Bezug
                                                                
Bezug
Hölder-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Di 15.12.2015
Autor: fred97


> Besten Dank für den Tipp!
>
> Ich habe in meinen Mitschriften unter anderem die
> "Heavyside"-Funktion gefunden. Wähle ich diese als f und g
> mit g(x)=x, dann ist die Ungleichung auf dem Intervall
> [1,2]


>  (dieses darf ich doch auch frei wählen, oder?)

Klar.




>  nicht
> erfüllt.

Na also

FRED


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