Hölderungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:58 Fr 15.04.2005 | | Autor: | wetterfrosch |
Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe zur Hölderungleichung, und muss folgendes beweisen:
Seien x,y [mm] \in [/mm] IR und p,q >1 mit 1/p+1/q=1. Sei [mm] \delta [/mm] das kanonische Skalarprodukt auf dem [mm] IR^{n}.
[/mm]
z.z. ist, dass [mm] \delta(x,y) [/mm] = [mm] ||x||_{p} ||y||_{q} [/mm] genau dann gilt, wenn [mm] x_{i} y_{i} \ge [/mm] 0 für alle i= 1,...,n und die Vektoren ( [mm] |x_{i}|^{p}) [/mm] mit i=1,...,n und ( [mm] |y_{i}|^{q}) [/mm] mit i=1,...,n in [mm] IR^{n} [/mm] linear unabhängig sind.
Ich weiß nicht genau, wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll.
Ich weiß aber, dass die Hölderungl. eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungl. ist : [mm] |\delta (x,y)|\le ||x||_{2} ||y||_{2},aus [/mm] der dann die Dreicksungl. folgt.
Lineare Unabhängigkeit bedeutet doch, dass [mm] \alpha [/mm] | [mm] x_{i}|^{2}+\beta |y_{i}|^{2} [/mm] = 0 mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] =0 ist. Aber ich versteh den Zusammenhang zwischen Hölder und der linearen Unabhängigkeit von Vektoren nicht, und bitte deswegen um Hilfe.
Danke!
wetterfrosch
|
|
| |
|
Hallo wetterfrosch,
Also entweder das kanonische Skalarprodukt ist nicht das was ich denke oder ich hab ein Gegenbeispiel für deine Aufgabe.
Sei p=q=2
[mm]x= \vektor{1 \\ 1}[/mm]
[mm]y= \vektor{1 \\ 2}[/mm]
[mm]=1*1+1*2=3[/mm]
[mm]||x||_2=\wurzel{2}[/mm]
[mm]||y||_2=\wurzel{5}[/mm]
Naja da gilt auf jeden Fall keine Gleichheit obwohl die Bedingungen erfüllt sein sollten. An diesem Bsp. sieht man auch das Gleichheit offensichtlich gilt wenn diese Vektoren lin. abhängig sind.
Wo ist der Fehler?
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo,
also ich weiß nicht, wo hier dein Fehler steckt.
Für mich ist das Skalarprodukt auf [mm] \IR^{n} [/mm] so definiert:
[mm] \delta(x,y)= x^{x}y= \summe_{j=1}^{n} x_{j} y_{j}.
[/mm]
Was hat die Hölderungl. mit der linearen Abhängigkeit zu tun? Dein Gegenbeweis bringt mir nicht viel, weil die Tatsache ja git,dass die Vektoren linear abhängig sind. Wenn ich die eine Richtung zeigen will, dass die Vektoren linear abh. sind, wie geh ich davor?
Die Hölderungl. lautet ja normalerweise so:
[mm] |\delta(x,y)| \le ||x||_{p} ||y||_{q}, [/mm] aber hier ist es eine Gleichheit. Und die Gleicheit gilt scheinbar, wenn sie linear abh. sind, aber wie zeig ich das?
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo wetterfrosch!
Du bist witzig  . Plötzlich redest du von linearer Abhängigkeit, gestern war es noch lineare Unabhängigkeit - und ich Depp denke, genauso wie mathemaduenn, darüber nach, was an meinen Gegenbeispielen falsch ist. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Naja, jetzt ist zumindestens die eine Richtung nicht mehr schwierig.
Seien also für [mm] $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ [/mm] oBdA
[mm] $x_i \ge [/mm] 0$ und [mm] $y_i \ge [/mm] 0$.
(Der Fall [mm] $x_i \le [/mm] 0$ und [mm] $y_i \le [/mm] 0$ für mindestens ein $i$ verursacht nur mehr Schreibarbeit durch Beträge.)
Weiterhin seien [mm] $(|x_1|^p,\ldots,|x_n|^p)^T$ [/mm] und [mm] $(|y_1|^q,\ldots,|y_n|^p)^T$ [/mm] linear abhängig. Dann gibt es (ohne Einschränkung, im Falle $y=0$ und $x [mm] \ne [/mm] 0$ vertauscht man die Rollen von $x$ und $y$) ein [mm] $\lambda\in \IR$ [/mm] mit
[mm] $x_i^p [/mm] = [mm] \lambda \cdot y_i^q$
[/mm]
für alle [mm] $i=1,\ldots,n$. [/mm] Insbesondere gilt [mm] $\lambda\ge [/mm] 0$. (Die Beträge kann man wegen [mm] $x_i\ge [/mm] 0$ und [mm] $y_i \ge [/mm] 0$ weglassen.)
Nun gilt:
[mm] $\left\vert \sum\limits_{i=1}^n x_i y_i \right\vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n x_iy_i= \lambda^{\frac{1}{p}} \sum\limits_{i=1}^n y_i^{\frac{q}{p}} \cdot y_i [/mm] = [mm] \lambda^{\frac{1}{p}} \sum\limits_{i=1}^n y_i^{1 + \frac{q}{p}} [/mm] = [mm] \lambda^{\frac{1}{p}} \sum\limits_{i=1}^n y_i^q$.
[/mm]
Jetzt rechne mal
[mm] $\left( \sum\limits_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}$
[/mm]
aus, und du wirst sehen, dass da das Gleiche rauskommt.
Für die andere Richtung fehlt mir gerade die Zeit (und die spontane Idee...).
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo,
besteht vielleicht ein Zusammenhang zwischen der linearen Abhängigkeit von Vektoren und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung? Aus der folgt ja die Dreiecksungl., und diese ist ja nur ein Speziallfall der Hölder(un)gleihung so weit ich weiß.
Also die eine Richtung war ja verständlich, aber für die Richtung, dass man die Höldergleichheit so annimmt, und nun die lineare Abh. zeigen muss, da hab ich echt keine Ahnung.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe nun versucht, die andere Richtung zu beweisen (die eine Richtung hat mir Stefan schon gezeigt), und möchte damit eine Rückmeldung bekommen, ob meine Lösungsidee richtig ist:
Es gilt: [mm] \mu(x,y) [/mm] = [mm] ||x||_{p}||y||_{q}
[/mm]
z.z. [mm] x_{i}y_{i} \ge [/mm] 0 und [mm] (|x_{i}|^{p}) [/mm] und [mm] (|y_{i}|)^{q}) [/mm] linear abhnängig.
Ich bin so vorgegangen:
[mm] \mu(x,y)=||x||_{p}||y||_{q}=( \summe_{i=1}^{n}x_{i}^{p})^{ \bruch{1}{p}}( \summe_{i=1}^{n}y_{i}^{q})^{ \bruch{1}{q}} [/mm] nach Definition.
Das Skalarproduktist immer [mm] \mu(x,y) \ge [/mm] 0. Das kanonische Skalarprodukt lautet: [mm] \mu(x,y)=x^{t}y= \summe_{j=1}^{n}x_{j}y_{j}.
[/mm]
Wenn [mm] \mu(x,y)=0, [/mm] dann ist nach Def. [mm] ||x||_{p}=0 [/mm] oder [mm] ||y||_{q}=0.
[/mm]
Also: [mm] ||x||_{p}=( \summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^{ \bruch{1}{p}}=0 [/mm] gdw [mm] |x_{i}|=0 [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n, also [mm] x_{i}=0.
[/mm]
Analog für [mm] ||y||_{q} [/mm] und es folgt [mm] y_{i}=0.
[/mm]
[mm] ||x||_{p} [/mm] >0 gdw [mm] x_{i} [/mm] >0 oder [mm] x_{i}<0.
[/mm]
Analog auch für [mm] ||y||_{q}>0 [/mm] gdw [mm] y_{i}>0 [/mm] oder [mm] y_{i}<0.
[/mm]
Für [mm] x_{i}, y_{i}\ge [/mm] 0 ist also: [mm] x_{i}y_{i} \ge [/mm] 0 und für [mm] x_{i},y_{i} \le [/mm] 0 ist
[mm] x_{i}y_{i}\ge [/mm] 0.
Stimmt der erste Teil des Beweises? Bitte um rückmeldung!
Dann muss ich noch was zeigen: dass [mm] (|x_{i}^{p}) [/mm] und [mm] (|y_{i}^{q}) [/mm] linear abhängig sind.
Da bin ich so vorgegangen:
[mm] (|x_{i}^{p}) [/mm] = [mm] (|x_{1}|^{p}, |x_{2}|^{p},...,|x_{n}|^{p})^{t} [/mm] und [mm] (|y_{i}^{q}) [/mm] = [mm] (|y_{1}|^{q}, |y_{2}|^{q},...,|y_{n}|^{q})^{t} [/mm] sind Vektoren.
Soll lineare Abhängigkeit gelten, dann muss gelten:
[mm] \alpha (|x_{i}^{p})+\beta (|y_{i}^{q})=0
[/mm]
z.z. ist dass [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nicht beide verschwinden, also nicht beide =0 sind.
Aber wie zeigt man das? Da hab ich noch keine gescheite Idee.
Ich bitte um Hilfe.
Danke.
wetterfrosch
|
|
|
| |
|
Tut mir leid, ich hab mich leider vertippt gestern. Weiß auch nicht, wie ich lineare Unabhängigkeit mit linearer Abhängigkeit verwechselt habe.
Zumindest ist das richtige die Abhängigkeit.
Sorry! 
Danke.
wetterfrosch.
|
|
|
|
