Holomorph in beschr Gebiet < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Di 12.07.2011 | | Autor: | Nisse |
| Aufgabe | Sei [mm]G \subset \IC[/mm] beschränktes Gebiet, [mm]f: \bar{G} \rightarrow \IC[/mm] stetig, f holomorph auf G und [mm]|f|[/mm] konstant auf [mm]\partial G[/mm], dem Rand von G.
Zeige: f ist konstant oder f hat eine Nullstelle in G. |
Moin,
dies ist meine erste Frage im Forum, im Rahmen meiner anlaufenden Examensvorbereitung. Ich bin also auch dankbar für Kritik an meiner Form.
Die Voraussetzungen schreien danach, f als nullstellenfrei vorauszusetzen und mit (der 2. Formulierung des) Minimums-Prinzips zu folgern:
[mm]|f|[/mm] nimmt ein Minimum auf dem Rand [mm]\partial G[/mm] an.
Aber wie komme ich weiter darauf, dass f konstant ist? Eine Idee war, [mm]\frac{1}{f}[/mm] zu betrachten, dass wegen [mm]f \neq 0[/mm] stetig und außerdem beschränkt ist (aber ist es holomorph???), aber da f nicht ganz ist, kann ich nicht mit Liouville weiterfolgern, dass [mm]\frac{1}{f}[/mm] konstant und somit f konstant ist.
Und eine Abschätzung über den Satz von Rouché hilft mir auch nicht weiter, da der interessant Weg über den Rand und nicht innerhalb von G verläuft.
Ich denke, ich brauche nur einen Stupps in die richtige Richtung.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 12.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]G \subset \IC[/mm] beschränktes Gebiet, [mm]f: \bar{G} \rightarrow \IC[/mm]
> stetig, f holomorph auf G und [mm]|f|[/mm] konstant auf [mm]\partial G[/mm],
> dem Rand von G.
> Zeige: f ist konstant oder f hat eine Nullstelle in G.
> Moin,
>
> dies ist meine erste Frage im Forum, im Rahmen meiner
> anlaufenden Examensvorbereitung. Ich bin also auch dankbar
> für Kritik an meiner Form.
>
> Die Voraussetzungen schreien danach, f als nullstellenfrei
> vorauszusetzen und mit (der 2. Formulierung des)
> Minimums-Prinzips zu folgern:
> [mm]|f|[/mm] nimmt ein Minimum auf dem Rand [mm]\partial G[/mm] an.
>
> Aber wie komme ich weiter darauf, dass f konstant ist? Eine
> Idee war, [mm]\frac{1}{f}[/mm] zu betrachten, dass wegen [mm]f \neq 0[/mm]
> stetig und außerdem beschränkt ist (aber ist es
> holomorph???), aber da f nicht ganz ist, kann ich nicht mit
> Liouville weiterfolgern, dass [mm]\frac{1}{f}[/mm] konstant und
> somit f konstant ist.
>
> Und eine Abschätzung über den Satz von Rouché hilft mir
> auch nicht weiter, da der interessant Weg über den Rand
> und nicht innerhalb von G verläuft.
>
> Ich denke, ich brauche nur einen Stupps in die richtige
> Richtung.
Ich fürchte der folgende Stupps verrät die Lösung komplett:
Fall 1: f ist auf G konstant. Dann bist Du schon fertig.
Fall 2: f ist auf G nicht konstant. Annahme: f hat in G keine Nullstelle.
Das Max./Min.- Prinzip sagt nun:
$min [mm] ~\{|f(w)| : w \in \partial G\} \le [/mm] |f(z)| [mm] \le [/mm] max ~ [mm] \{|f(w)|: w \in \partial G\} [/mm] $ für alle z [mm] \in \overlin{G}
[/mm]
Nach Vor. ist $ |f| $ konstant auf $ [mm] \partial [/mm] G $, also ist |f| auf G konstant.
Warum ist dann f auf G konstant ?
FRED
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Nisse |
> Nach Vor. ist [mm]|f|[/mm] konstant auf [mm]\partial G [/mm], also ist |f|
> auf G konstant.
>
> Warum ist dann f auf G konstant ?
Ah, Gebietstreue gibt den Rest. Vielen Dank!
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