Holomorphe Stammfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Fr 29.05.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Zeige dass die Funktion f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC, [/mm] f(z)=|z| keine holomorphe Stammfunktion besitzt. |
Hallo,
das Vorgehen ist mir grundsätzlich klar, ich versuche einen geschlossenen Integrationsweg zu finden und zu zeigen, dass das Integral nicht 0 ist.
Allerdings wenn ich einen Kreis [mm] y(t)=a+re^{it} [/mm] verwende, kommt 0 raus. Ich benötige wahrscheinlich einen anderen Integrationsweg. Habt ihr eine Idee?
|
|
| |
|
Hiho,
was muss denn gelten, wenn eine Funktion F Stammfunktion für eine weitere Funktion f sein soll?
Was weißt du über holomorphe Funktionen?
Wie oft sind diese differenzierbar?
Da brauchst du eigentlich nichts untersuchen, nur kurz nachdenken....
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 29.05.2015 | | Autor: | Trikolon |
Also angenommen es gäbe eine holomorphe Stammfunktion F(z)=u(z)+iv(z).
Dann muss gelten F'(z)=|z|. Mit den Cauchy-R.-DGLen folgt dann [mm] u_x=Re(F'(z))=\wurzel{x^2+y^2}=v_y [/mm] und [mm] -u_y=v_x=Im [/mm] (F'(z))=0.
Stimmt das soweit? Und nun?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Also angenommen es gäbe eine holomorphe Stammfunktion
> Dann muss gelten F'(z)=|z|.
den Rest brauchen wir nicht.
Was weißt du über die Ableitung einer holomorphen Funktion. Welche Eigenschaften hat diese?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Trikolon |
Ich habe gerade mal ein bisschen ein einem Buch geblättert und gefunden dass die Ableitung einer holomorphen Fkt. wieder holomorph ist. Allerdings hatten wir diesen Satz in der VL noch nicht... Klappt es mit den Cauchy-R.-DGLen nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Sa 30.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe gerade mal ein bisschen ein einem Buch geblättert
> und gefunden dass die Ableitung einer holomorphen Fkt.
> wieder holomorph ist. Allerdings hatten wir diesen Satz in
> der VL noch nicht... Klappt es mit den Cauchy-R.-DGLen
> nicht?
Doch. Mach mal vor.
FRED
|
|
|
| |
|
Ich hatte eine Frage weiter oben schon mal damit begonnen, bin aber stecken geblieben....>
Also angenommen es gäbe eine holomorphe Stammfunktion
> F(z)=u(z)+iv(z).
> Dann muss gelten F'(z)=|z|. Mit den Cauchy-R.-DGLen folgt
> dann [mm]u_x=Re(F'(z))=\wurzel{x^2+y^2}=v_y[/mm] und [mm]-u_y=v_x=Im[/mm]
> (F'(z))=0.
>
> Stimmt das soweit? Und nun?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Trikolon |
Ist das was ich geschrieben hatte i.O. Ich komme dann aber irgendwie nicht weiter bei den DGLen...
|
|
|
| |
|
Hiho,
dein Ansatz stimmt. Führe nun die Aussage:
[mm] $v_x [/mm] = 0, [mm] v_y=\sqrt{x^2+y^2}$
[/mm]
bzw
[mm] $u_x [/mm] = [mm] \sqrt{x^2+y^2}, u_y=0$
[/mm]
zum Widerspruch.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:10 Di 02.06.2015 | | Autor: | Calculu |
Ich mache mal hier weiter:
Wie bereits erwähnt muss gelten:
[mm] u_{x} [/mm] = [mm] v_{y}
[/mm]
Es ist aber:
[mm] u_{x} [/mm] = Re(F'(z)) = Re(|z|) = [mm] \sqrt{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] v_{y} [/mm] = Im(F‘(z)) = Im(|z|) = 0
Somit ist [mm] u_{x} \not= v_{y}.
[/mm]
Also sind die CRDGL nicht erfüllt und F(z) ist somit nicht komplex diffbar.
Reicht das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Di 02.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich mache mal hier weiter:
> Wie bereits erwähnt muss gelten:
> [mm]u_{x}[/mm] = [mm]v_{y}[/mm]
>
> Es ist aber:
> [mm]u_{x}[/mm] = Re(F'(z)) = Re(|z|) = [mm]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> [mm]v_{y}[/mm] = Im(F‘(z)) = Im(|z|) = 0
>
> Somit ist [mm]u_{x} \not= v_{y}.[/mm]
> Also sind die CRDGL nicht
> erfüllt und F(z) ist somit nicht komplex diffbar.
> Reicht das so?
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Di 02.06.2015 | | Autor: | Calculu |
Super, danke! 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 01.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Sorry, hatte eine falsche Idee.
|
|
|
|
