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| Aufgabe | ![[]](/images/popup.gif) Hier auf der Seite 76, vor der Proposition 2.6.5 wird geschrieben, dass in (2.6.7) beide Funktoren kovariant rechts-exakt sind. |
Mir ist klar, dass der Tensorproduktfunktor - [mm] \otimes Hom_\IZ(B,C) [/mm] rechts exakt ist, aber nicht des [mm] Hom_\IZ(Hom(-,B),C)) [/mm] Funktors.
Ich weiß, dass [mm] Hom_\IZ(-,C), [/mm] sowie Hom(-,B) kontravariant links exakte Funktoren sind, wie sehe ich nun die rechts-exaktheit der "Verschachtelung"?
Könnte es sein, dass [mm] Hom_\IZ(-,C), [/mm] kontravariant links exakt ist, dies aber äquivalent zu [mm] Hom_\IZ(-,C), [/mm] kovariant rechts exakt ist?
Generell: kontravariant links exakt <=> kovariant rechts exakt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 So 04.12.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
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> Hier
> auf der Seite 76, vor der Proposition 2.6.5 wird
> geschrieben, dass in (2.6.7) beide Funktoren kovariant
> rechts-exakt sind.
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> Mir ist klar, dass der Tensorproduktfunktor - [mm]\otimes Hom_\IZ(B,C)[/mm]
> rechts exakt ist, aber nicht des [mm]Hom_\IZ(Hom(-,B),C))[/mm]
> Funktors.
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> Ich weiß, dass [mm]Hom_\IZ(-,C),[/mm] sowie Hom(-,B) kontravariant
> links exakte Funktoren sind, wie sehe ich nun die
> rechts-exaktheit der "Verschachtelung"?
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> Könnte es sein, dass [mm]Hom_\IZ(-,C),[/mm] kontravariant links
> exakt ist, dies aber äquivalent zu [mm]Hom_\IZ(-,C),[/mm] kovariant
> rechts exakt ist?
>
Nein.
> Generell: kontravariant links exakt <=> kovariant rechts
> exakt?
Nein. Man kann einen kontravariant linksexakten Funktor höchstens als kovariant linksexakt bezüglich der dualen Kategorie auffassen.
Der Grund wieso die Aussage aus dem Buch gilt, ist dass dein Objekt C injektiv ist. Deshalb ist [mm]Hom_{\mathbb{Z}}(-, C) [/mm] exakt. Also musst du einfach beim Anwenden auf eine exakte Sequenz zweimal die Pfeile umdrehen; beim ersten Mal linksexakt, und beim zweiten Mal exakt. Am Ende hast du dann eine rechtsexakte Sequenz da stehen.
Beste Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 So 04.12.2011 | | Autor: | lukas10000 |
stimmt jetzt sehe ich es auch, ist ja gerade die definition C injektiv, wenn [mm] Hom_Z(-,C) [/mm] exakt ist, und das mit dem 2x umdrehen ist dann auch klar. danke!
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