Homöomorphismus < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Übungsaufgabe 26
Zeigen Sie, dass der Rand eines Quadrates, eine Kreislinie und der Rand einer Ellipse homöomorph ist. |
Hallo liebe Mathegemeinde,
immerhin weiß ich nunm dass ich von von einem Kreis eine Abbildung zu einer Ellipse finden muss und vom Kreis zu einem Quadrat. Leider habe ich keinen Plan, wie ich vorgehen muss. Wären vielleicht hier Polarkoordinaten hilfreich? Wenn ja hätte ich eine sehr banale Idee, die wahrscheinlich nicht komplett richtig ist. Bei Quadrat habe ich keine Ahnung.
Idee: [mm]\begin{pmatrix} r\sin x \\ r\cos x \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} a\sin x \\ b\cos x \end{pmatrix}[/mm]
Vielen Dank schon mal im Voraus
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Do 29.07.2010 | | Autor: | cycore |
Hallo,
EDIT: hat einer kleinen zeichnung bedarft, bis mir das mit der ellipse eingefallen ist...
kreis<->quadrat:
denke einfach mal an die verschiedenen p-normen (die schönerweise allesamt stetig sind) die dir so zur verfügung stehen...hast sogar die auswahl...d.h. wie sehen denn die urbilder der maximumnorm oder 1-norm von 1 aus? erinnere, du kannst den einheitskreis in der ebene als urbild der 1 von der 2-norm darstellen.
kreis<->ellipse:
Das ist noch einfacher! schau die doch auch hier einmal die zu grunde liegenden mengen an...
[mm] S^1 [/mm] = [mm] \left\{\vektor{x\\y} \middle| x^2 + y^2 = 1\right\}
[/mm]
und die Ellipse zu [mm] {a\not={0}\not={b}}
[/mm]
E = [mm] \left\{\vektor{x\\y} \middle| \bruch{x^2}{a^2} + \bruch{y^2}{b^2} = 1\right\}
[/mm]
und überlege dir eine abb. [mm] E\to\IR^2 [/mm] mit Bild [mm] S^1
[/mm]
hoffe das hilft
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Do 29.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Erstmal sollte man mal erwähnen, was überhaupt die Topologien auf den jeweiligen Mengen sind. Ich nehm mal stark an es geht um die vom [mm] $\IR^2$ [/mm] induzierte...
> kreis<->quadrat:
>
> denke einfach mal an die verschiedenen p-normen (die
> schönerweise allesamt stetig sind) die dir so zur
> verfügung stehen...hast sogar die auswahl...d.h. wie sehen
> denn die urbilder der maximumnorm oder 1-norm von 1 aus?
> erinnere, du kannst den einheitskreis in der ebene als
> urbild der 1 von der 2-norm darstellen.
Was hat das denn damit zu tun?! Er muss einen Homöomorphismus von [mm] S^1 [/mm] auf das Einheitsquadrat Q konstruieren...!
Das einfachste was mir da spontan in den Sinn kommt ist die Projektion auf [mm] S^1, [/mm] z. B. in Polarkoordinaten gegeben durch [mm] $(r,\varphi)\mapsto(\cos\varphi,\sin\varphi)$.
[/mm]
Und einen Homöomorphismus vom Einheitskreis auf eine Ellipse zu finden dürfte wirklich nicht das Problem sein, wenn man mal an lineare Abbildungen denkt.
Gruß, Robert
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Danke für deinen Beitrag Robert. Meinst du das meine Idee mit der Abbildung richtig war? Wenn ja, bleibt nur noch das Problem mit dem Quadrat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 29.07.2010 | | Autor: | pelzig |
> Danke für deinen Beitrag Robert. Meinst du das meine Idee
> mit der Abbildung richtig war? Wenn ja, bleibt nur noch das
> Problem mit dem Quadrat.
Die Abbildung die oben beschrieben hast, ist (wenn man sich noch ein bischen mathematischen Formalismus wie Definitions- und Bildbereich sowie den Fakt, dass du das stillschweigend in Polarkoordinaten angbist, dazudenkt) tatsächlich ein Homöomorphismus von [mm] $S^1=\{(x,y)\in\IR^2\mid x^2+y^2=1\}$ [/mm] auf die Ellipse [mm] $E=\{(x,y)\in\IR^2\mid x^2/a^2+y^2/b^2=1\}$. [/mm] Aber das musst du wahrscheinlich noch beweisen!
Gruß, Robert
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Genau da liegt men Problem. Wie macher ich das formal richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Do 29.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Ja vielleicht überlegst du dir erstmal was du eigentlich genau zeigen sollst, d.h. wie ist ein "Homöomorphismus" definiert....
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:27 Do 29.07.2010 | | Autor: | mathestuden |
Ein Homöomorphismus ist ganz einfach eine Funktion die stetig ist und ihre Umkehrung auch und wie beweise ich das nun? Vielleicht damit, dass das Urbild und das Bild wegzusammenhängend sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:04 Fr 30.07.2010 | | Autor: | cycore |
> Erstmal sollte man mal erwähnen, was überhaupt die
> Topologien auf den jeweiligen Mengen sind. Ich nehm mal
> stark an es geht um die vom [mm]\IR^2[/mm] induzierte...
>
> > kreis<->quadrat:
> >
> > denke einfach mal an die verschiedenen p-normen (die
> > schönerweise allesamt stetig sind) die dir so zur
> > verfügung stehen...hast sogar die auswahl...d.h. wie sehen
> > denn die urbilder der maximumnorm oder 1-norm von 1 aus?
> > erinnere, du kannst den einheitskreis in der ebene als
> > urbild der 1 von der 2-norm darstellen.
> Was hat das denn damit zu tun?! Er muss einen
> Homöomorphismus von [mm]S^1[/mm] auf das Einheitsquadrat Q
> konstruieren...!
[mm] S^1_{\|*\|_2}\to{S^1_{\|*\|_1}}
[/mm]
[mm] z\mapsto\bruch{z}{\|z\|_1}
[/mm]
ist jawohl ein homöo mit umkehrfkt.
[mm] z\mapsto\bruch{z}{\|z\|_2}
[/mm]
oder was sehe ich da falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:49 Fr 30.07.2010 | | Autor: | pelzig |
> [mm]S^1_{\|*\|_2}\to{S^1_{\|*\|_1}}[/mm]
> [mm]z\mapsto\bruch{z}{\|z\|_1}[/mm]
> ist jawohl ein homöo mit umkehrfkt.
> [mm]z\mapsto\bruch{z}{\|z\|_2}[/mm]
>
> oder was sehe ich da falsch?
Nein. Ich bin einfach nicht drauf gekommen, was du damit anfangen willst. Sieht astrein aus. Wenn man den Gedanken mal kurz weiterführt heißt das ja, dass in einem beliebigen Vektorraum X (auch unendlichdimensional!) zwei Normen [mm] $\|\cdot\|_i$, [/mm] i=1,2 die jeweiligen Einheitssphären bzgl. der jeweiligen Relativtopologie homöomorph sind. Oder hab ich jetzt noch was übersehen? Mit anderen Worten: Die Topologie der Einheitssphären von Normen wird allein durch die (nackte) Vektorraumstruktur bestimmt, und die hängt ja auch nur von der Dimension, also einer Kardinalzahl ab.
Hätte ich jetzt irgendwie überhaupt nicht erwartet. Aber es ist schonmal in sofern plausibel, dass wenn man mal an FunkAna I denkt, wo man zeigt dass die Einheitsshäre in Banachäumen genau dann kompakt ist, wenn der Raum endlichdimensional ist. Nach obigem kann man jedenfalls nicht in der einen Norm ne kompakte Einheitssphäre produzieren und in der anderen nicht...
Gruß, Robert
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Vielen Dank für die Beiträge.
Ist dies die Abbildng vom Kreis zum Quadrat? Wenn ja, weise ich die Stetigkeit damit nach, dass sowohl Kreis als auch Quadrat in sich wegzusammenhängend sind?
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Fr 30.07.2010 | | Autor: | meili |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Christoph,
> Vielen Dank für die Beiträge.
>
> Ist dies die Abbildng vom Kreis zum Quadrat? Wenn ja, weise
Ja, das ist eine Abbildung vom Kreis zum Quadrat, sogar eine sehr elegante und platzsparend zu schreibende.
Skizziere $S^1_{\parallel . \parallel_1}$ und $S^1_{\parallel . \parallel_2}$
> ich die Stetigkeit damit nach, dass sowohl Kreis als auch
> Quadrat in sich wegzusammenhängend sind?
Ist nicht so gut. Besser die von cycore vorgeschlagene Abbildung von $S^1_{\parallel . \parallel_2}$ mit der von $\parallel . \parallel_2}$ induzierten Relativtopologie auf $S^1_{\parallel . \parallel_1}$ mit der von $\parallel . \parallel_1}$ induzierten Relativtopologie. (Stetigkeit hängt von den Topologien auf Definitions- und Bildbereich ab)
>
> Gruß
>
> Christoph
Gruß meili
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Hallo Leute,
ich habe mal meine Frage eine Zeit lang liegen lassen, da ich mal auf neue Gedanken kommen musste. Aber nun zurück zum Thema.
Ich habe eine Lösung entwickelt, die meiner Meinung nach dem Ergebnis wohl nahe kommt, wenn es nicht sogar schon richtig ist.
Mein Ansatz ist:
1. Ellipse, Kreis
[mm]f:\begin{pmatrix} a\cos x \\ a\sin x \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} a\cos x \\ b\sin x \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{pmatrix} a \\ a \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}[/mm]
Es gibt hier ein [mm]q\in\left[ a,-a \right]:\left[ a,-a \right]\setminus f^-1(\left[ a,-a \right])=\left[ -b,b \right]\setminus f(q))\in\left[ a,-a \right][/mm]
Dies müsste so sein da [mm]\left[ b,-b \right]\subseteq\left[ a,-a \right]\[/mm] bei der Umkehrung sich auf die "a-Achse" der Ellipse bezieht ebenso wie das f(q). Also ist q wieder auf der "a-Achse".
Ich hoffe mein Ansatz ist nicht so wirr. Hier noch eine Angabe, wie ich die Stetigkeit begründet habe:http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit_%28Topologie%29
Ich habe unter abgschlossene Mengen (3. Punkt) geschaut und mir eine Ellipse mitten in ein Koordinatenkreuz gezeichnet.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen zu sagen ob dies hinreichend ist. Die Abbildung Kreis Quadrat wird nach diesem Teil noch kommen.
Schöne Grüße und vielen Dank schon mal im Voraus.
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 13.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Fr 30.07.2010 | | Autor: | cycore |
> [...] Wenn man den Gedanken
> mal kurz weiterführt heißt das ja, dass in einem
> beliebigen Vektorraum X (auch unendlichdimensional!) zwei
> Normen [mm]\|\cdot\|_i[/mm], i=1,2 die jeweiligen Einheitssphären
> bzgl. der jeweiligen Relativtopologie homöomorph sind.
> Oder hab ich jetzt noch was übersehen? Mit anderen Worten:
> Die Topologie der Einheitssphären von Normen wird allein
> durch die (nackte) Vektorraumstruktur bestimmt, und die
> hängt ja auch nur von der Dimension, also einer
> Kardinalzahl ab.
So genau hab ich mir das noch nicht überlegt, aber ich denke ganz so krass ist es nicht...schließlich bedarf es einem normierten raum und was passiert, wenn dafür eher ungebräuchliche körper (z.B. mit diskreter topologie) betrachtet werden ist mir spontan nicht so klar. aber halten wir fest - für [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] - VR scheint dem ganzen nichts im wege zu stehen...
schöner gedanke...dankee ;)
EDIT: Also...hab mir gedanken gemacht...das ganze ist so natürlich nur für [mm] \IR, \IC [/mm] - VR (oder besser für alle körper, die wir als [mm] \IR-VR [/mm] auffassen können) definiert, aber da klappt es dann auch (falls normiert) wirklich...dass in beliebigen K-VR nicht klappt hat aber keine topologischen gründe sondern ist einfach nur definitionswidrigkeit zur linearen algebra.
>
> Hätte ich jetzt irgendwie überhaupt nicht erwartet. Aber
> es ist schonmal in sofern plausibel, dass wenn man mal an
> FunkAna I denkt, wo man zeigt dass die Einheitsshäre in
> Banachäumen genau dann kompakt ist, wenn der Raum
> endlichdimensional ist. Nach obigem kann man jedenfalls
> nicht in der einen Norm ne kompakte Einheitssphäre
> produzieren und in der anderen nicht...
>
> Gruß, Robert
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:47 Do 05.08.2010 | | Autor: | Merle23 |
Ich sehe gerade nicht wie man die Stetigkeit dieser Abbildungen zeigt, wenn die Normen nicht äquivalent sind.
LG, Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 05.08.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich sehe gerade nicht wie man die Stetigkeit dieser
> Abbildungen zeigt, wenn die Normen nicht äquivalent sind.
Ich auch nicht. Ich habe das damals nur oberflächlich überprüft, und dabei übersehen dass die Abbildung [mm] $X\ni x\mapsto \|x\|_2\in\IR$ [/mm] bzgl. der von [mm] $\|\cdot\|_\red{1}$ [/mm] induzierten Topologie i.A. gar nicht stetig ist. Also im endlichdimensionalen brauchen wir nicht darüber reden, aber im Allgemeinen ist es wahrscheinlich sogar einfach falsch...
Danke für den Hinweis.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 07.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Danke für deinen Beitrag Cycore, aber scheint nicht Richtig zu sein, da die Umkehrung von x²+y²=1 nicht stetig ist. Zumindest sagt das mein Forster (Analysis II).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Do 29.07.2010 | | Autor: | pelzig |
> Danke für deinen Beitrag Cycore, aber scheint nicht
> Richtig zu sein, da die Umkehrung von x²+y²=1 nicht
> stetig ist.
Die Aussage macht so keinen Sinn. Abbildungen können stetig oder eben auch nicht stetig sein, aber welche Abbildung meinst du denn mit [mm] "x^2+y^2=1"?!
[/mm]
Gruß, Robert
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Ich meine die Kreisgleichung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Do 29.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Eine Gleichung ist aber was anderes als eine Abbildung!
Robert
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Naja, eine Abbildung ist eine Funktion und eine Funktion ist ja auch immer mit einer Gleichung verbunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Fr 30.07.2010 | | Autor: | pelzig |
> Naja, eine Abbildung ist eine Funktion und eine Funktion
> ist ja auch immer mit einer Gleichung verbunden.
Sorry, aber das ist so einfach Unsinn. Funktionen/Abbildungen können sehr wirr sein, was machst du z.B. mit [mm]f:\IR\to\IR[/mm] wobei [mm] $$f(x):=\begin{cases}1&\text{falls }x\in\IQ\\0&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] Eine Funktion ist eben nur eine Zuordnung zwischen Elementen von Mengen: Jedem Element des Definitionsbereiches wird genau ein Element im Wertebereich zugeordnet.
Bei gutwilliger Interpretation kann man schon sagen, dass solche Gleichungen ja Relationen definieren, die als Spezialfall natürlich auch die Funktionen umfassen, aber es gibt eben auch Relationen, die sich nicht ohne Weiteres als Funktion auffassen lassen.
Was du vielleicht verwechselst ist, dass man manchmal durch Gleichungen eine implizite Funktion gegeben hat. z.B. ist durch die Gleichung [mm] $x^2+y^2=1$ [/mm] implizit eine Funktion [mm] $y=\sqrt{1-x^2}$ [/mm] beschrieben, aber die ist in keinster Weise kanonisch (also frei von irgendwelchen Wahlen) gegeben, ich hätte ja auch genauso gut [mm] $y=-\sqrt{1-x^2}$ [/mm] nehmen können.
Auf einer allgemeinen Menge hat man außerdem ad hoc soetwas wie Gleichungen gar nicht zur Verfügung, was soll den zum Beispiel [mm] x^2 [/mm] sein wenn x z.B. ein Element aus der Menge aller Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] ist?
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Do 29.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Danke für deinen Beitrag Cycore, aber scheint nicht
> Richtig zu sein, da die Umkehrung von x²+y²=1 nicht
> stetig ist. Zumindest sagt das mein Forster (Analysis II).
Die nicht stetige Umkehrung bezieht sich auf eine Funktion von einem Intervall auf den Einheitskreis $ f:[a,b) [mm] \rightarrow S^1$,
[/mm]
z.B. $ f:[0, [mm] 2\pi) \rightarrow S^1$ [/mm] f(t) = (cos(t), sin(t)).
Mit der Umkehrabbildung wird hier bildlich der Kreis aufgeschnitten in eine Linie mit zwei Enden.
Gruß meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 Fr 30.07.2010 | | Autor: | cycore |
> Danke für deinen Beitrag Cycore, aber scheint nicht
> Richtig zu sein, da die Umkehrung von x²+y²=1 nicht
> stetig ist. Zumindest sagt das mein Forster (Analysis II).
Und da hat der Forster ja auch recht, aber ich habe eine andere abbildung gemeint. Bin darauf oben nochmal eingegangen...
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:55 Mo 16.08.2010 | | Autor: | mathestuden |
| Aufgabe | Übungsaufgabe 26
Zeigen Sie, dass der Rand eines Quadrates, eine Kreislinie und der Rand einer Ellipse homöomorph ist. |
Hallo Leute,
ich denke ich habe eine plausible Lösung für meinen Ansatz.
1. Ellipse, Kreis
[mm]f : \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ b \sin \phi \end {pmatrix} \to \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ a \sin \phi \end {pmatrix}[/mm]
[mm]\left( a,b \right) \mapsto \left( a,a \right)[/mm]
[mm]f^{-1} : \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ a \sin \phi \end {pmatrix} \to \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ b \sin \phi \end {pmatrix}[/mm]
[mm]\left( a,a \right) \mapsto \left( a,b \right)[/mm]
[mm]\Rightarrow f[/mm] ist bijektiv.
Stetigkeit: Zu Zeigen: sowohl Ellipse als auch Kreis sind wegzusammenhängend also auch stetig.
[mm]\gamma \left( 0 \right)=0[/mm]
[mm]\gamma \left( 1 \right)=2 \pi [/mm]
Der Anfangs- und Endpunkt ist beim Kreis und bei der Ellipse gleich, also sind beide stetig und somit auch die Abbildung.
2. Kreis, Quadrat
Ich habe hierbei eine Funktion unter http://de.wikiversity.org/wiki/Topologie/Topologische_%C3%84quivalenz/Euklidischer_Spezialfall/Beispiel gefunden. Also:
[mm]f : S_1 \to Q_1[/mm]
[mm]\left( a,b \right) \mapsto \left( f\left(a,b \right) \right)=\bruch{1}{max\left\{ \left| a \right|,\left| b \right| \right\}}[/mm]
[mm]f^{-1} : Q_1 \to S_1[/mm]
[mm]\left( a,b \right) \mapsto \left( f\left(a,b \right) \right)=\bruch{1}{\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow f[/mm] ist bijektiv.
Da [mm]f \in \mathcal{C}\left[ a,b \right] \Rightarrow f[/mm] ist stetig.
Ist meine Lösung so korrekt?
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Di 17.08.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo.
Das gehoert doch eindeutig in diesen Thread. Ich verschiebe es mal...
LG Felix
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Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Übungsaufgabe 26
Zeigen Sie, dass der Rand eines Quadrates, eine Kreislinie und der Rand einer Ellipse homöomorph ist. |
Hallo Leute,
ich denke ich habe eine plausible Lösung für meinen Ansatz.
1. Ellipse, Kreis
$ f : \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ b \sin \phi \end {pmatrix} \to \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ a \sin \phi \end {pmatrix} $
$ \left( a,b \right) \mapsto \left( a,a \right) $
$ f^{-1} : \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ a \sin \phi \end {pmatrix} \to \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ b \sin \phi \end {pmatrix} $
$ \left( a,a \right) \mapsto \left( a,b \right) $
$ \Rightarrow f $ ist bijektiv.
Stetigkeit: Zu Zeigen: sowohl Ellipse als auch Kreis sind wegzusammenhängend also auch stetig.
$ \gamma \left( 0 \right)=0 $
$ \gamma \left( 1 \right)=2 \pi $
Der Anfangs- und Endpunkt ist beim Kreis und bei der Ellipse gleich, also sind beide stetig und somit auch die Abbildung.
2. Kreis, Quadrat
Ich habe hierbei eine Funktion unter http://de.wikiversity.org/wiki/Topologie/Topologische_%C3%84quivalenz/Euklidischer_Spezialfall/Beispiel gefunden. Also:
$ f : S_1 \to Q_1 $
$ \left( a,b \right) \mapsto \left( f\left(a,b \right) \right)=\bruch{1}{max\left\{ \left| a \right|,\left| b \right| \right\}} * \left( a,b \right) $
$ f^{-1} : Q_1 \to S_1 $
$ \left( a,b \right) \mapsto \left( f\left(a,b \right) \right)=\bruch{1}{\wurzel{a^2+b^2} $ $*\left( a,b \right) $
$ \Rightarrow f $ ist bijektiv.
Da $ f \in \mathcal{C}\left[ a,b \right] \Rightarrow f $ ist stetig.
Ist meine Lösung so korrekt?
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Mi 18.08.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Christoph,
hoer bitte auf, dauernd neue Threads mit dem gleichen Inhalt zu eroeffnen.
Frag im urspruenglichen Thread weiter.
Dort finden sich auch schon einige Hinweise, wie man die Aufgabe loesen kann.
LG Felix
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Hallo Felix,
das tue ich nur, damit mein Thread immer aktuell bei den "offenen Fragen" ist, da anscheinend die Mitglieder hier nicht darauf reagieren. Ist nicht böse gemeint.
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mi 18.08.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Übungsaufgabe 26
> Zeigen Sie, dass der Rand eines Quadrates, eine Kreislinie
> und der Rand einer Ellipse homöomorph ist.
> Hallo Leute,
>
> ich denke ich habe eine plausible Lösung für meinen
> Ansatz.
>
> 1. Ellipse, Kreis
>
> [mm]f : \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ b \sin \phi \end {pmatrix} \to \begin{pmatrix} a \cos \phi \\ a \sin \phi \end {pmatrix}[/mm]
So schreibt man die Mengen nicht auf.
> [mm]\left( a,b \right) \mapsto \left( a,a \right)[/mm]
Und das ist garantiert nicht die Abbildungsvorschrift, die du meinst!
> Stetigkeit: Zu Zeigen: sowohl Ellipse als auch Kreis sind
> wegzusammenhängend also auch stetig.
Sie sind wegzusammenhaengend. Allerdings macht es keinen Sinn, bei Punktmengen von Stetigkeit zu reden! Das tut man nur bei Funktionen.
> [mm]\gamma \left( 0 \right)=0[/mm]
> [mm]\gamma \left( 1 \right)=2 \pi[/mm]
>
> Der Anfangs- und Endpunkt ist beim Kreis und bei der
> Ellipse gleich, also sind beide stetig und somit auch die
> Abbildung.
Was ist [mm] $\gamma$? [/mm] Was hat das mit obigem zu tun?
> 2. Kreis, Quadrat
>
> Ich habe hierbei eine Funktion unter
> http://de.wikiversity.org/wiki/Topologie/Topologische_%C3%84quivalenz/Euklidischer_Spezialfall/Beispiel
> gefunden. Also:
>
> [mm]f : S_1 \to Q_1[/mm]
>
> [mm]\left( a,b \right) \mapsto \left( f\left(a,b \right) \right)=\bruch{1}{max\left\{ \left| a \right|,\left| b \right| \right\}} * \left( a,b \right)[/mm]
>
> [mm]f^{-1} : Q_1 \to S_1[/mm]
>
> [mm]\left( a,b \right) \mapsto \left( f\left(a,b \right) \right)=\bruch{1}{\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
> [mm]*\left( a,b \right)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f[/mm] ist bijektiv.
Ja. Aber weisst du auch, warum?
> Da [mm]f \in \mathcal{C}\left[ a,b \right] \Rightarrow f[/mm] ist
> stetig.
Ich uebersetze: "Da $f$ stetig ist, ist $f$ stetig."
Wuerdest du das so gelten lassen?
> Ist meine Lösung so korrekt?
Die zu 2. noch nicht ganz, die du 1. nicht.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine Hilfe. Hier meine berichtigten Ansätze:
[mm] f : \bruch{x^2}{a}+\bruch{y^2}{b}=1 \to x^2+y^2=1 [/mm]
[mm] \left( a,b \right) \mapsto \left( 1,1 \right) [/mm]
[mm] f^{-1} : x^2+y^2=1 \to \bruch{x^2}{a}+\bruch{y^2}{b}=1 [/mm]
[mm] \left( 1,1 \right) \mapsto \left( a,b \right) [/mm]
[mm] \Rightarrow f [/mm] ist bijektiv.
Ich habe bei meiner vorigen Frage versucht, nach der Defintion des Homöomorphismus die Stetigkeit nachzuweisen, mithilfe der Defintion wegzusammenhängender Mengen, die sagt, dass wegzusammenhängende Mengen auch stetige Mengen sind.
"Ja. Aber weisst du auch, warum?" Worauf beziehst du das?
"Ich uebersetze: "Da $ f $ stetig ist, ist $ f $ stetig." Wuerdest du das so gelten lassen?" Naja, im Forster (Analysis2) steht, sofern ich das richtig verstanden habe, dass jede Funktion, die auf einem normierten Vektorraum definiert ist, zur Klasse der stetigen Funktionen gehört (ohne Beweis).
Um zurück zur Aufgabe zu kommen: Da f von der euklidischen Norm zur Supremums-Norm abbildet, muss auch ganz f stetig sein.
Gruß
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Sa 21.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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