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Hallo zusammen,
ich frage mich gerade, wie ich eine solche DGL lösen könnte:
[mm] y'=\pmat{ 0 & x \\ x & 0 } [/mm] y
Hat da jemand eine Idee?
Bei konstanten Matrizen würde ich die Eigenwerte bestimmen, zugehörige Eigenvektoren bestimmen und eine Lösungsbasis bilden. Nun habe ich aber ja leider KEINE konstante Matrix...
Ich hab auch schon versucht die DGL umzuschreiben zu
[mm] y_1 [/mm] ' = [mm] xy_2
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] ' = [mm] xy_1
[/mm]
Das bringt mich bisher aber leider auch nicht weiter...
Gibt es einen allgemeinen Ansatz um die oben angegebene DGL zu lösen oder ist das Finden von Lösungen eher Ausprobieren und Glückssache?
Wäre echt klasse, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
Viele Grüße,
Isa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Fr 23.10.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo zusammen,
Huhu,
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> ich frage mich gerade, wie ich eine solche DGL lösen
> könnte:
> [mm]y'=\pmat{ 0 & x \\ x & 0 }[/mm] y
>
> Hat da jemand eine Idee?
>
> Bei konstanten Matrizen würde ich die Eigenwerte
> bestimmen, zugehörige Eigenvektoren bestimmen und eine
> Lösungsbasis bilden. Nun habe ich aber ja leider KEINE
> konstante Matrix...
>
> Ich hab auch schon versucht die DGL umzuschreiben zu
> [mm]y_1[/mm] ' = [mm]xy_2[/mm]
> [mm]y_2[/mm] ' = [mm]xy_1[/mm]
>
> Das bringt mich bisher aber leider auch nicht weiter...
Hmm, vlt doch...
Die zweite Gleichung kannst du ja umschreiben zu [mm] $\frac{y_2^{\prime}}{x} [/mm] = [mm] y_1$. [/mm] Wenn du das nun ableitest, bekommst du [mm] $y_1^{\prime}$. [/mm] Das kannst du in die erste Gleichung einsetzen und bekommst eine Gleichung in [mm] $y_2$
[/mm]
>
> Gibt es einen allgemeinen Ansatz um die oben angegebene DGL
> zu lösen oder ist das Finden von Lösungen eher
> Ausprobieren und Glückssache?
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> Wäre echt klasse, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
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> Viele Grüße,
> Isa
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Fr 23.10.2015 | | Autor: | Isabelle90 |
Danke, das hatte ich auch schon probiert, allerdings müsste ich dann ja noch Fallunterscheidung bezüglich x machen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 23.10.2015 | | Autor: | fred97 |
1. Jede Lösung des Systems
(*) $ [mm] y'=\pmat{ 0 & x \\ x & 0 } [/mm] $ y .
existiert auf ganz [mm] \IR.
[/mm]
2. Man kann erraten, dass [mm] $y^{[1]}(x)=\vektor{e^{x^2/2} \\ e^{x^2/2}}$ [/mm] eine Lösung ist.
3. Mit dem Reduktionsverfahren von d'Alembert
http://binomi.de/pdf/dgl1.pdf
kannst Du nun eine weitere Lösung [mm] y^{[2]} [/mm] konstruieren und zwar so, dass
[mm] \{y^{[1]},y^{[2]} \}
[/mm]
ein Fundamentalsystem von (*) ist.
FRED
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Vielen, vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter!
Gibt es zum Erraten der ersten Nullstelle irgendeinen Trick? Ich hätte die jetzt nicht so spontan gesehen, wobei es total offensichtlich scheint, wenn man sie einmal kennt... Vielleicht fehlt mir aber einfach auch nur die Erfahrung, und man sieht sowas einfach mit der Zeit eher?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Fr 23.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen, vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter!
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> Gibt es zum Erraten der ersten Nullstelle
Nullstelle ?
> irgendeinen
> Trick? Ich hätte die jetzt nicht so spontan gesehen, wobei
> es total offensichtlich scheint, wenn man sie einmal
> kennt... Vielleicht fehlt mir aber einfach auch nur die
> Erfahrung, und man sieht sowas einfach mit der Zeit eher?
Na ja, ich habe mich umgesehen nach Lösungen mit [mm] y_1=y_2
[/mm]
Das führt auf eine einfache homogene lineare Differentialgleichung 1.Ordnung
Fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Fr 23.10.2015 | | Autor: | Isabelle90 |
> > Vielen, vielen Dank! Das hilft mir sehr weiter!
> >
> > Gibt es zum Erraten der ersten Nullstelle
>
> Nullstelle ?
>
Sorry, ich meinte natürlich Lösung!
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>
> > irgendeinen
> > Trick? Ich hätte die jetzt nicht so spontan gesehen, wobei
> > es total offensichtlich scheint, wenn man sie einmal
> > kennt... Vielleicht fehlt mir aber einfach auch nur die
> > Erfahrung, und man sieht sowas einfach mit der Zeit eher?
>
> Na ja, ich habe mich umgesehen nach Lösungen mit
> [mm]y_1=y_2[/mm]
>
> Das führt auf eine einfache homogene lineare
> Differentialgleichung 1.Ordnung
>
> Fred
>
Super, danke für den Hinweis!
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