www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Homomorphiesatz
Homomorphiesatz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Homomorphiesatz: weitere Aussagen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 So 01.11.2009
Autor: side

Aufgabe
Hallo zusammen
Aufgabe:
Zeigen sie die folgenden (in der Vorlesung nicht bewiesenen) Aussagen des Homomorphiesatzes:
a) [mm] Im\bar{\phi}= Im\phi [/mm]
b) [mm] ker\bar{\phi}= \pi(ker\phi) [/mm]
c) [mm] ker\phi [/mm] = [mm] \pi^{-1}(ker\bar{\phi}) [/mm]
d) [mm] \bar{\phi} [/mm] injektiv [mm] \gdw N=ker\phi [/mm]

So, zum besser Verständnis werde ich den Satz wie in der Vorlesung hier posten:
Sei [mm] \phi:G\to\;G' [/mm] ein Homomorphismus und [mm] N\subset\;G [/mm] ein Normalteiler mit [mm] N\subset\;ker\phi [/mm]
Dann existiert genau ein Homomorphismus [mm] \bar{\phi}:G\setminus\!N \to\;G' [/mm] mit [mm] \phi=\bar{\phi}\circ\pi [/mm]

[mm] \pi [/mm] ist hier die kanonische Projektion [mm] \pi:G\to\;G\setminus\!N [/mm]

Ich hab hier überhaupt keinen Durchblick. Wo fang ich an?
zu a) Für Mengengleichheit muss ich ja erstmal zwei Inclusionen Zeigen. Aber ich weiß doch garnicht so viel über die Elemente aus den Bildern, oder?

zu b) gleiches problem wie bei den Bildern.

zu c) folgt das nicht direkt aus b)? Wenn nicht, hab ich auch hier das gleiche problem

zud) natürlich formal wieder klar: ich muss "Hin-" und "Rück-"Richtung zeigen. Aber mir ist noch nicht so genau klar, was ich jeweils aus den Vorraussetzungen für Eigendschaften bekomme...

Danke für eure Hilfe, Grüße
Side

        
Bezug
Homomorphiesatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 So 01.11.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo zusammen
>  Aufgabe:
>  Zeigen sie die folgenden (in der Vorlesung nicht
> bewiesenen) Aussagen des Homomorphiesatzes:
>  a) [mm]Im\bar{\phi}= Im\phi[/mm]
>  b) [mm]ker\bar{\phi}= \pi(ker\phi)[/mm]
>  
> c) [mm]ker\phi[/mm] = [mm]\pi^{-1}(ker\bar{\phi})[/mm]
>  d) [mm]\bar{\phi}[/mm] injektiv [mm]\gdw N=ker\phi[/mm]
>  So, zum besser
> Verständnis werde ich den Satz wie in der Vorlesung hier
> posten:
> Sei [mm]\phi:G\to\;G'[/mm] ein Homomorphismus und [mm]N\subset\;G[/mm] ein
> Normalteiler mit [mm]N\subset\;ker\phi[/mm]
>  Dann existiert genau ein Homomorphismus
> [mm]\bar{\phi}:G\setminus\!N \to\;G'[/mm] mit
> [mm]\phi=\bar{\phi}\circ\pi[/mm]
>  
> [mm]\pi[/mm] ist hier die kanonische Projektion
> [mm]\pi:G\to\;G\setminus\!N[/mm]
>  
> Ich hab hier überhaupt keinen Durchblick. Wo fang ich an?
> zu a) Für Mengengleichheit muss ich ja erstmal zwei
> Inclusionen Zeigen. Aber ich weiß doch garnicht so viel
> über die Elemente aus den Bildern, oder?

Oh doch, du weisst, dass [mm]\phi=\bar{\phi}\circ\pi[/mm] auf ganz $G$ gilt.

>  
> zu b) gleiches problem wie bei den Bildern.
>
> zu c) folgt das nicht direkt aus b)? Wenn nicht, hab ich
> auch hier das gleiche problem

Kommt drauf an, was du mit "direkt" meinst. Die inverse Abbildung [mm] $\pi^{-1}$ [/mm] existiert im Allgemeinen nicht. c ist eine Aussage über das Urbild von [mm] $\ker \bar\phi$. [/mm]

>  
> zud) natürlich formal wieder klar: ich muss "Hin-" und
> "Rück-"Richtung zeigen. Aber mir ist noch nicht so genau
> klar, was ich jeweils aus den Vorraussetzungen für
> Eigendschaften bekomme...

Was sagt denn b aus, wenn [mm] $\bar\phi$ [/mm] injektiv ist?

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]