Homomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 07.02.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | | Geben sie ein nichttriviales Beispiel für einen Homomorphismus an, der nicht eineindeutig ist. |
Hallo Zusammen!
"nicht eineindeutig" würde doch auch heißen " nicht umkehrbar eindeutig" somit "nicht injektiv", oder?
Und wenn das so ist dann kann ich also einen surjektiven bzw. bijektiven Homomrphismus und damit einen Isomorphismus angeben?
Wäre es richtig wenn ich die Aufgabe folgendermaßen beantworte?:
f: (Z, +) --> (N0, +) mit f(n) = n² = n*n
Es gilt für beliebige [mm] n, m \in Z[/mm]:
f(n+m) = (n+m) * (n+m) = n²+ m² = f(n) + f(m).?
Vielen Dank für Eure Mühe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Do 07.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
da gibt es doch eine recht bekannte Formel, um (n+m)2 zu berechnen, im Allg. gilt nämlich nicht (n+m)2 = n2+m2 (setze z.B. n:=3 und m:=2).
Soll es ein Gruppen-Homomorphismus, ein Ring-Homomorphismus, ein ... sein?
Beachte, dass [mm] $(\IN_0, [/mm] +)$ keine Gruppe ist.
LG
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo Alex,
danke für den Tipp. War ja echt schlecht gemacht. Das mit der Formel ist klar. Dass (N0,+) keine Gruppe ist auch klar und dass es kein Isomorphismus sein kann ist auch klar.
Hier ein Neuanfang zur Aufgabe (übrigens, es soll ein Gruppenhomomorphismus sein):
Also gesucht wird ein surjektiver Homomorphismus auch Epimorphismus genannt.?
Allerdings wird es jetzt schwer. Ich hab hier einen sur. Homomorphismus gefunden:
Es sei G = (Z, +) und H = (Z/mZ, +) die Gruppe der Restklassen der modulo m bezüglich der Restklassenaddition. Die Abbildung f: G --> H mit f(n) = n(Rest) ist ein surj. Homomorphismus.
Wie zeige ich das jetzt?
Es muss ja f.a. a,b [mm] \in [/mm] G gelten:
f(aob) = f(a) o f(b), im konkreten Fall wäre das ja mit a:=13 und b:=17:
f(13+17) = f(30) = 2(Rest) und
f(13) + f(17) = 6Rest + 3Rest = 9Rest = 2Rest.
Somit gilt f(aob) = f(a) o f(b). Reicht das?
Dank Dir vielmals für Deine Hilfe!!
Fanomos
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:56 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
du kannst dir natürlich nicht einfach ein beliebiges Beispiel zu beweisen aussuchen.
f(a)+f(b)=a mod 7 +b mod 7= (a+b) mod 7 =f(a+b)
Einfache Beispiele für Homomorphismen kann man sich mit Vektorräumen herleiten.
Probiere mal [mm] \IR\to\IR^2 [/mm] und [mm] \IR^2\to\IR.
[/mm]
Ciao.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Fanomos,
wie meistens in der Mathematik gibt es viele Wege zu zeigen, dass eine Funktion surjektiv, injektiv oder bijektiv ist. Wie zeigst Du denn sonst, dass eine Funktion surjektiv ist?
Ein surjektiver Homomorphismus wird manchmal auch Epimorphismus genannt, doch für die allg. Definition eines Epimorphismus ist dieser nicht unbedingt surjektiv (doch das würde zu weit führen, ist also nur eine Randinformation).
Ein wunderschönes Beispiel für einen surjektiven Ringhomomorphismus ist das folgende:
[mm] $\phi: \IZ/n\IZ \to \IZ/p_1^{k_1}\IZ \times \IZ/p_2^{k_2}\IZ \times \ldots \times \IZ/p_n^{k_n}\IZ [/mm] $ definiert durch
$ [mm] \overline{a} \mapsto [/mm] (a [mm] \mod{p_1^{k_1}}, \ldots, [/mm] a [mm] \mod{p_n^{k_n}})$.
[/mm]
Dabei ist [mm] $n=\prod_{i=1}^{n}{p_i^{k_i}}$ [/mm] die bis auf die Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegung.
Du kannst es Dir aber auch leichter machen und z.B. eine lineare Abbildung verwenden, dessen Darstellungsmatrix vollen Rang hat, denn es gilt:
Seien V ein $n$-dimensionaler und $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum, und sei $f : V [mm] \to [/mm] W$ linear. Sei $A [mm] \in M_{mn}(K)$ [/mm] eine Matrixdarstellung von $f$ bezüglich Basen von $V$ und von $W$. Genau dann ist $f$ surjektiv, wenn $Rg(A) = m$ ist.
LG
Alex
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