Homomorphismus, Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 12.09.2014 | | Autor: | soulflow |
| Aufgabe 1 | | Sei G eine Gruppe. Für ein g aus G sei [mm] \varphi_g : G \to G[/mm] definiert durch [mm] \varphi_g (h) := ghg^{-1}[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]\varphi_g[/mm] ein Gruppenisomorphismus ist. |
| Aufgabe 2 | | Sei G eine Grupe. Das Paar [mm](Bij(G, G), \circ)[/mm] ist eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] G \to Bij(G, G), a \to l_{a}[/mm] ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. ( [mm] l_{a} =[/mm] Linksmultiplikation mit a) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
brauche eure Hilfe bei den beiden genannten Aufgaben.
Zu Aufgabe 1:
Laut Definition heißt eine Abbildung f Isomorphismus, falls Sie:
- ein Homomorphismus ist
- bijektiv ist
Für Homomorphimus:
[mm] \varphi_g(h) * \varphi_g(i) = (g*h*g^{-1}) * (g*i*g^{-1}) = g*h*(g^{-1}*g)*i*g^{-1} = g*h*(e_g)*i*g^{-1} = g*(h*i)*g^{-1} = \varphi_g(h*i) [/mm]
Für Bijektivität hätte ich einfach die Umkehrabbildung berechnet, denn falls es eine gibt, würde daraus ja folgern, dass f bijektiv ist. Also:
[mm] \varphi_g(h) = y = g*h*g^{-1} \gdw g^{-1}*y*g = h
\Rightarrow \varphi_g^{-1}(h) = g^{-1}*y*g
\varphi_g^{-1}( \varphi_g(h)) = g*(g^{-1}*h*g)*g^{-1} = h [/mm]
Und da G nach G abgebildet, muss auf die nicht geachtet werden?!?!
Also da f sowohl ein Homomorphismus, als auch bijektiv ist, ist f auch ein Isomorphimus.
Zu Aufgabe 2:
Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich kann mir
unter [mm](Bij(G, G), \circ)[/mm] auch nichts vorstellen.
Hoffe ihr könnt mir helfen, ohne gleich die Lösung zu verraten. Vielen Dank im Vorraus.
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Hallo,
> Sei G eine Gruppe. Für ein g aus G sei [mm]\varphi_g : G \to G[/mm]
> definiert durch [mm]\varphi_g (h) := ghg^{-1}[/mm]. Zeigen Sie, dass
> [mm]\varphi_g[/mm] ein Gruppenisomorphismus ist.
> Sei G eine Grupe. Das Paar [mm](Bij(G, G), \circ)[/mm] ist eine
> Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]G \to Bij(G, G), a \to l_{a}[/mm]
> ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. ( [mm]l_{a} =[/mm]
> Linksmultiplikation mit a)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> brauche eure Hilfe bei den beiden genannten Aufgaben.
> Zu Aufgabe 1:
>
> Laut Definition heißt eine Abbildung f Isomorphismus,
> falls Sie:
> - ein Homomorphismus ist
> - bijektiv ist
>
> Für Homomorphimus:
> [mm]\varphi_g(h) * \varphi_g(i) = (g*h*g^{-1}) * (g*i*g^{-1}) = g*h*(g^{-1}*g)*i*g^{-1} = g*h*(e_g)*i*g^{-1} = g*(h*i)*g^{-1} = \varphi_g(h*i)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für Bijektivität hätte ich einfach die Umkehrabbildung
> berechnet, denn falls es eine gibt, würde daraus ja
> folgern, dass f bijektiv ist. Also:
> [mm]\varphi_g(h) = y = g*h*g^{-1} \gdw g^{-1}*y*g = h
\red{\Rightarrow \varphi_g^{-1}(h) = g^{-1}*y*g}
\varphi_g^{-1}( \varphi_g(h)) = g*(g^{-1}*h*g)*g^{-1} = h[/mm]
Der rote Ausdruck ist doch merkwürdig. Du stopfst ein Argument $h$ in die Funktion, aber das $h$ taucht in der Abbildungsvorschrift gar nicht auf. Das [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] ist doch keine konstante Abbildung.
Richtig: [mm] $\varphi_g^{-1}(h)=g^{-1}hg$
[/mm]
Damit [mm] $\varphi_g(\varphi_g^{-1}(h))=...=h=id(h)$
[/mm]
> Und da G nach G abgebildet, muss auf die nicht geachtet
> werden?!?!
> Also da f sowohl ein Homomorphismus, als auch bijektiv
> ist, ist f auch ein Isomorphimus.
Welches f?
>
> Zu Aufgabe 2:
> Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
> Ich kann mir
> unter [mm](Bij(G, G), \circ)[/mm] auch nichts vorstellen.
Ich denke mal, damit sind die Bijektionen von [mm] $G\to [/mm] G$ gemeint mit der Hintereinanderausführung (Verkettung) als Gruppenoperation
Die Injektivität zeige geradeheraus nach Definition.
Nenne die Abbildung von [mm] $G\to [/mm] Bij(G,G)$ mal f und zeige:
[mm] $f(a)=f(b)\Rightarrow [/mm] a=b$
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen, ohne gleich die Lösung zu
> verraten. Vielen Dank im Vorraus.
Gruß
schachuzipus
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Fr 12.09.2014 | | Autor: | soulflow |
> > Für Bijektivität hätte ich einfach die Umkehrabbildung
> > berechnet, denn falls es eine gibt, würde daraus ja
> > folgern, dass f bijektiv ist. Also:
> > [mm]\varphi_g(h) = y = g*h*g^{-1} \gdw g^{-1}*y*g = h
\red{\Rightarrow \varphi_g^{-1}(h) = g^{-1}*y*g}
\varphi_g^{-1}( \varphi_g(h)) = g*(g^{-1}*h*g)*g^{-1} = h[/mm]
>
> Der rote Ausdruck ist doch merkwürdig. Du stopfst ein
> Argument [mm]h[/mm] in die Funktion, aber das [mm]h[/mm] taucht in der
> Abbildungsvorschrift gar nicht auf. Das [mm]\varphi^{-1}[/mm] ist
> doch keine konstante Abbildung.
>
> Richtig: [mm]\varphi_g^{-1}(h)=g^{-1}hg[/mm]
>
> Damit [mm]\varphi_g(\varphi_g^{-1}(h))=...=h=id(h)[/mm]
>
Stimmt, hab den vorherigen Ausdruck einfach kopiert. Das passiert wenn man nicht dabei nachdenkt.
> > Und da G nach G abgebildet, muss auf die nicht geachtet
> > werden?!?!
> > Also da f sowohl ein Homomorphismus, als auch bijektiv
> > ist, ist f auch ein Isomorphimus.
>
> Welches f?
>
Ich meinte natürlich [mm]\varphi_g[/mm]
> >
> > Zu Aufgabe 2:
> > Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen
> soll.
> > Ich kann mir
> > unter [mm](Bij(G, G), \circ)[/mm] auch nichts vorstellen.
>
> Ich denke mal, damit sind die Bijektionen von [mm]G\to G[/mm]
> gemeint mit der Hintereinanderausführung (Verkettung) als
> Gruppenoperation
>
> Die Injektivität zeige geradeheraus nach Definition.
>
> Nenne die Abbildung von [mm]G\to Bij(G,G)[/mm] mal f und zeige:
>
> [mm]f(a)=f(b)\Rightarrow a=b[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
> >
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich versuche mich jetzt einmal an Aufgabe 2 und melde mich nochmal, sobald ich, etwas brauchbares habe.
Gruß
soulflow
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 12.09.2014 | | Autor: | soulflow |
Vielen Dank. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> > Zu Aufgabe 2:
> > Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen
> soll.
> > Ich kann mir
> > unter [mm](Bij(G, G), \circ)[/mm] auch nichts vorstellen.
>
> Ich denke mal, damit sind die Bijektionen von [mm]G\to G[/mm]
> gemeint mit der Hintereinanderausführung (Verkettung) als
> Gruppenoperation
>
> Die Injektivität zeige geradeheraus nach Definition.
>
> Nenne die Abbildung von [mm]G\to Bij(G,G)[/mm] mal f und zeige:
>
> [mm]f(a)=f(b)\Rightarrow a=b[/mm]
>
> >
Es hat sich nicht viel getan. Ich kann mir darunter einfach nichts vorstellen. Ich habe folgende überlegung für [mm](\IZ, +)[/mm]:
Also [mm] f: (\IZ, +) \to Bij(((\IZ, +),(\IZ, +)), \circ), a \to l_a[/mm]
Das würde bedeuten, dass ich ein Element aus [mm](\IZ, +)[/mm] nehme, z.B
[mm]a+b[/mm] mit [mm] a, b \varepsilon \IZ[/mm]
Das würde bedeuten, dass ich in f eine Zahl einsetze und eine bijektive Abbildung der Form [mm]g: (\IZ, +) \to (\IZ, +)[/mm] erhalte.
Aber was bedeutet Linksmultiplikation mit a? Wird in obrigen beispiel, die Bijektive Abbildung mit [mm]a+b[/mm] multipliziert, also:
[mm] f(a+b) = (a+b) * (g \circ h)[/mm]
oder was ist damit gemeint?
Vielleicht stelle ich mich gerade auch einfach nur blöd an, aber ich kann mit der Aufgabe echt nichts anfangen.
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank.
>
> > > Zu Aufgabe 2:
> > > Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen
> > soll.
> > > Ich kann mir
> > > unter [mm](Bij(G, G), \circ)[/mm] auch nichts vorstellen.
> >
> > Ich denke mal, damit sind die Bijektionen von [mm]G\to G[/mm]
> > gemeint mit der Hintereinanderausführung (Verkettung) als
> > Gruppenoperation
> >
> > Die Injektivität zeige geradeheraus nach Definition.
> >
> > Nenne die Abbildung von [mm]G\to Bij(G,G)[/mm] mal f und zeige:
> >
> > [mm]f(a)=f(b)\Rightarrow a=b[/mm]
> >
> > >
>
> Es hat sich nicht viel getan. Ich kann mir darunter einfach
> nichts vorstellen. Ich habe folgende überlegung für [mm](\IZ, +)[/mm]:
>
> Also [mm]f: (\IZ, +) \to Bij(((\IZ, +),(\IZ, +)), \circ), a \to l_a[/mm]
>
> Das würde bedeuten, dass ich ein Element aus [mm](\IZ, +)[/mm]
> nehme, z.B
> [mm]a+b[/mm] mit [mm]a, b \varepsilon \IZ[/mm]
> Das würde bedeuten, dass
> ich in f eine Zahl einsetze und eine bijektive Abbildung
> der Form erhalte.
> Aber was bedeutet Linksmultiplikation mit a? Wird in
> obrigen beispiel, die Bijektive Abbildung mit [mm]a+b[/mm]
> multipliziert, also:
>
> oder was ist damit gemeint?
>
> Vielleicht stelle ich mich gerade auch einfach nur blöd
> an, aber ich kann mit der Aufgabe echt nichts anfangen.
>
Also mal langsam:
Wir haben [mm]f:G\to Bij(G,G)[/mm] mit [mm]G\ni a\mapsto f(a)=l_a\in Bij(G,G)[/mm]
f bildet also ein Gruppenelement [mm]a\in G[/mm] auf eine Abbildung [mm]l_a[/mm] ab, nämlich auf die Linksmultiplikation in [mm]G[/mm]mit [mm]a[/mm]
Es ist [mm]l_a:G\to G[/mm] mit [mm]g\mapsto l_a(g)=ag[/mm]
Nun sollst du zeigen, dass diese Abbildung f (nicht [mm]l_a[/mm] !!) ein injektiver Homomorphismus ist.
Zur Injektivität habe ich schon geschrieben, was zu zeigen ist:
Für [mm]a,b\in G[/mm] ist zu zeigen, dass aus [mm]f(a)=f(b)[/mm] gefälligst folgt, dass [mm]a=b[/mm] ist.
Nun, nehmen wir [mm]a,b\in G[/mm] her mit [mm]f(a)=f(b)[/mm]
Dh. nix anderes als [mm]l_a=l_b[/mm]
also eine Gleichheit von zwei Funktionen.
Wann sind 2 Funktionen gleich? Wenn sie in jedem (!) Funktionswert übereinstimmen.
[mm]l_a=l_b[/mm] bedeutet also, dass für alle [mm]x\in G[/mm] gilt:
[mm]l_a(x)=l_b(x)[/mm]
Und das ist nach Definition von [mm]l_a, l_b[/mm] gleichbedeutend mit [mm]ax=bx[/mm]
Wir müssen immer noch schließen auf [mm]a=b[/mm]
Nun ist aber [mm]x\in G[/mm], wir können also von rechts mit [mm]x^{-1}[/mm] multiplizieren und bekommen [mm]axx^{-1}=bxx^{-1}[/mm], also [mm]a=b[/mm]
Das ist die Injektivität
Was ist für die Homomorphie zu zeigen?
Für alle [mm]a,b\in G[/mm] gilt:
[mm]f(ab)=f(a)\circ f(b)[/mm]
In [mm]f(ab)[/mm] ist mit [mm]ab[/mm] die Verknüpfung von a und b in G gemeint. Die war nicht näher angegeben, ich schreibe sie daher der Kürze halber multiplikativ und lasse den Malpunkt weg. Wenn du magst, kannst du in G einen Stern oder was auch immer als Verknüpfung nehmen ...
Also [mm]f(ab)=l_{ab}[/mm] nach Definition
Das soll gefälligst [mm]f(a)\circ f(b)[/mm], also [mm]l_a\circ l_b[/mm] sein.
Wieder Gleichheit von 2 Funktionen.
Nehmen wir ein beliebiges Argument [mm]x\in G[/mm] und zeigen
[mm]l_{ab}(x)=(l_a\circ l_b)(x)[/mm]
Das kannst du!
[mm]l_{ab}(x)=(ab)x=....=l_a(l_b(x))=(l_a\circ l_b)(x)[/mm]
Nun klarer?
Viel Erfolg beim Füllen des Nachweises 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Fr 12.09.2014 | | Autor: | soulflow |
> > Für den Beweis zum Homomorphismus:
> >
> > [mm]f(a) \circ f(b) = l_a(x) \circ l_b(x) = l_a(l_b(x)) = l_a(b*x) = a*(b*x) = (a*b)*x = l_{ab}(x) = f(ab)[/mm]
>
> Du musst aufpassen, auf welcher Ebene du dich bewegst
>
> Ganz linke steht die Verkettung zweier Funktionen, dann
> steht Quatsch da
>
> Was soll denn [mm]l_a(x)\circ l_b(x)[/mm] sein?
>
> [mm]l_a(x)[/mm] und [mm]l_b(x)[/mm] sind doch Elemente aus [mm]G[/mm]
>
> Und das [mm]\circ[/mm] ist die Verknüpfung in [mm]Bij(G,G)[/mm], also von
> Funktionen ...
>
> Das musst du sauberer aufschreiben!
>
Da war ich wohl sehr übereifrig.
Aber es ist doch [mm]l_a \in Bij(G,G)[/mm] und die Verknüpfung [mm]\circ[/mm] bezieht sich doch auf die Abbildungen aus [mm] Bij(G,G) [/mm], also zum Beispiel auch [mm]l_a[/mm]. Oder versteh ich da was falsch?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 12.09.2014 | | Autor: | soulflow |
Ich denke ich habe es jetzt. Es ist ja z.z. , dass:
[mm]f(a b) = f(a) \circ f(b)[/mm]
Also : [mm] f(a) \circ f(b) = l_a(x) \circ l_b(x) = l_a(l_b(x)) = a(bx) = (ab)x = f(a b)[/mm]
Aber wie würde ich das schreiben wenn ich für die Verknüpfung von G [mm] \* [/mm] schreiben würde?
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Hallo nochmal,
> Ich denke ich habe es jetzt. Es ist ja z.z. , dass:
> [mm]f(a b) = f(a) \circ f(b)[/mm]
> Also : [mm]f(a) \circ f(b) = l_a(x) \circ l_b(x) = l_a(l_b(x)) = a(bx) = (ab)x = f(a b)[/mm]
Du wiederholst den Fehler, dadurch wird es nicht richtiger.
Was soll die zweite Verkettung sein?
Du vermischt die Ebenen und springst zwischen Funktionsebene und Ebene der Funktionswerte munter hin und her ...
>
> Aber wie würde ich das schreiben wenn ich für die
> Verknüpfung von G [mm]\*[/mm] schreiben würde?
Mal ganz ausführlich:
Du hast eine Gruppe [mm]G=(G,\star)[/mm] und für festes [mm]a\in G[/mm] die Linksmultiplikation mit a als Abbildung
[mm]l_a:G\to G, g\mapsto a\star g[/mm]
Weiter hast du eine Gruppe [mm]H=(Bij(G,G),\circ)[/mm], Dies sind Bijektionen (also bijekt. Abbildungen) von [mm]G\to G[/mm] mit der Verkettung als Operation
Weite eine Abbildung [mm]f:G\to H[/mm] mit [mm]a\mapsto l_a[/mm]
Du sollst nun zeigen, dass [mm]f[/mm] ein Homomorphismus ist, dass also für alle [mm]a,b\in G[/mm] gilt:
[mm]\red{f(a\star b)=f(a)\circ f(b)}[/mm]
Erinnerung: [mm]\star[/mm] ist die Verknüpfung in [mm]G[/mm], [mm]\circ[/mm] die in [mm]H[/mm]
Die rote Gleichheit oben ist also zu zeigen.
Das ist gleichbedeutend (so ist f ja definiert) mit [mm]l_{a\star b}=l_b\circ l_b[/mm]
Dies ist eine Gleichheit von Funktionen, einerseits [mm]l_{a\star b}:G\to G, x\mapsto (a\star b)\star x[/mm]
Andererseits [mm]f_a:G\to G, x\mapsto a\star x[/mm] und [mm]l_b:G\to G, x\mapsto b\star x[/mm]
Und Gleichheit von Funktionen bedeutet Gleihheit in jedem Funktionswert.
Es ist also zu zeigen, dass für alle [mm]x\in G[/mm] gilt:
[mm]l_{a\star b}(x)=(l_a\circ l_b)(x)[/mm]
Siehst du den Unterschied zu [mm]l_a(x)\circ l_b(x)[/mm], was keinen Sinn ergibt?!
Nun einfach die Def. einsetzen:
[mm]l_{a\star b}(x)=(a\star b)\star x=a\star(b\star x)=a\star l_b(x)=l_a(l_b(x))=(l_a\circ l_b)(x) \ \ \ (\dagger)[/mm]
Da diese Gleichheit für alle [mm]x\in G[/mm] gilt, gilt demnach
[mm]l_{a\star b}=l_a\circ l_b[/mm]
Versuche das mal ganz genau nachzuvollziehen, insbesondere begründe (für dich oder zur Kontrolle hier) mal jeden einzelnen Schritt in [mm](\dagger)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Sa 13.09.2014 | | Autor: | soulflow |
Ich glaube, das hat mir jetzt die Augen geöffnet. Das mit dem hin und her springen zwischen Ebenen ist ziemlich verwirrend, aber ich denke ich habe es jetzt verstanden. Also, ich versuche es auch mal ausführlich:
[mm]f[/mm] ist definiert als: [mm]f: G \to Bij(G,G), a \to (l_a: G \to G, g \to a \*g)[/mm]
Mit [mm] \*[/mm] als Verknüpfung auf G und [mm] \circ[/mm] als Verknüfpung auf [mm]Bij(G,G)[/mm]
Jetzt muss man zeigen, dass [mm]G[/mm] homomorph zu [mm] ((Bij(G,G), \circ)[/mm] ist. Also:
z.z. : [mm] f(a \* b) = f(a) \circ f(b)[/mm]
[mm]f(a)[/mm] war definiert durch [mm]l_a[/mm]
Also insgesamt [mm]f(a \* b) = f(a) \circ f(b) \gdw l_{a \* b} = l_a \circ l_b [/mm]
Also ist [mm]f(a \* b) = f(a) \circ f(b) [/mm] genau dann gleich, wenn es [mm] l_{a \* b} = l_a \circ l_b [/mm] ist. Daher muss [mm] l_{a \* b} = l_a \circ l_b \ \forall \ x \in \ G [/mm]
Daher : [mm]l_{a \* b} (x) = (l_a \circ l_b)(x)[/mm]
Also: [mm]l_{a\*b} (x) = (a\*b)\* x = a\*(b\*x) = a\*(l_b(x)) = l_a(l_b(x)) = (l_a \circ l_b)(x) [/mm]
Daraus folgt, dass [mm] f(a\*b) = f(a) \circ f(b)[/mm] und f somit ein Homomorphismus ist.
Hab ich das so richtig verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 So 14.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Ich glaube, das hat mir jetzt die Augen geöffnet. Das mit
> dem hin und her springen zwischen Ebenen ist ziemlich
> verwirrend, aber ich denke ich habe es jetzt verstanden.
> Also, ich versuche es auch mal ausführlich:
>
> [mm]f[/mm] ist definiert als: [mm]f: G \to Bij(G,G), a \to (l_a: G \to G, g \to a \*g)[/mm]
>
> Mit [mm]\*[/mm] als Verknüpfung auf G und [mm]\circ[/mm] als Verknüfpung
> auf [mm]Bij(G,G)[/mm]
Gut.
> Jetzt muss man zeigen, dass [mm]G[/mm] homomorph zu [mm]((Bij(G,G), \circ)[/mm]
> ist.
Sagen wir lieber: Dass $f$ ein Homomorphismus ist.
> Also:
> z.z. : [mm]f(a \* b) = f(a) \circ f(b)[/mm]
Wenn man ganz ordentlich ist: z.z [mm] $\forall a,b\in [/mm] G$ gilt $f(a [mm] \* [/mm] b) = f(a) [mm] \circ [/mm] f(b)$
> [mm]f(a)[/mm] war definiert
> durch [mm]l_a[/mm]
> Also insgesamt [mm]f(a \* b) = f(a) \circ f(b) \gdw l_{a \* b} = l_a \circ l_b[/mm]
Gut.
>
> Also ist [mm]f(a \* b) = f(a) \circ f(b)[/mm] genau dann gleich,
Na das ist schlecht gesagt: statt "$f(a [mm] \* [/mm] b) = f(a) [mm] \circ [/mm] f(b)$ genau dann gleich, wenn" koenntest Du allenfalls sagen "$f(a [mm] \* [/mm] b)$ und $f(a) [mm] \circ [/mm] f(b)$ sind genau dann gleich, wenn"
> wenn es [mm]l_{a \* b} = l_a \circ l_b[/mm] ist. Daher muss [mm]l_{a \* b} = l_a \circ l_b \ \forall \ x \in \ G[/mm]
>
Jetzt bringst Du ploetzlich $x$ ins Spiel, das vermutlich in die naechste Zeile gehoert.
> Daher : [mm]l_{a \* b} (x) = (l_a \circ l_b)(x)[/mm]
> Also: [mm]l_{a\*b} (x) = (a\*b)\* x = a\*(b\*x) = a\*(l_b(x)) = l_a(l_b(x)) = (l_a \circ l_b)(x)[/mm]
>
> Daraus folgt, dass [mm]f(a\*b) = f(a) \circ f(b)[/mm] und f somit
> ein Homomorphismus ist.
> Hab ich das so richtig verstanden?
Ja,davon bin ich ueberzeugt. Ich streiche Deinen Text mal zusammen, wie er mir etwas stringenter erscheint.
z.z. : [mm]f(a \* b) = f(a) \circ f(b)[/mm]
[mm]f(a)[/mm] war definiert
durch [mm]l_a[/mm]
Also insgesamt [mm]f(a \* b) = f(a) \circ f(b) \gdw l_{a \* b} = l_a \circ l_b[/mm]
Also: [mm] ($\forall a,b,x\in [/mm] G$) [mm]l_{a\*b} (x) = (a\*b)\* x = a\*(b\*x) = a\*(l_b(x)) = l_a(l_b(x)) = (l_a \circ l_b)(x)[/mm]
Daraus folgt, dass [mm]f(a\*b) = f(a) \circ f(b)[/mm] und f somit
ein Homomorphismus ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 So 14.09.2014 | | Autor: | soulflow |
Danke für deine Antwort! Mit dem Aufbau eines Beweises habe ich noch so meine Probleme. Es wurde uns nie erklärt, wie man da vorgehen sollte, damit er am Ende auch schlüssig ist. Vielleicht finde ich dazu etwas im www, denn so wie du es geschrieben hast, sieht es einfach besser aus.
Vielen Dank für eure Hilfe und Geduld!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 So 14.09.2014 | | Autor: | hippias |
Ich spreche wohl fuer die allermeisten, wenn ich sage, dass einen Beweis vernuenftig aufzuschreiben uns allen anfangs unheimlich schwer gefallen ist. Aber mit etwas Uebung wird es Dir immer leichter fallen.
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![[vogelzeig]](/images/smileys/vogelzeig.gif "[vogelzeig]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
:
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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