Horizontale Tangentialebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Do 27.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Vorgelegt sei dir Funktion
g(x,y)= [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^4 [/mm] + 2y + 3 , (x,y) € [mm] R^2 [/mm] .
a)Bestimmen Sie alle Punkte mit einer horizontalen Tangentialebene. |
Also ich habe nachgelesen wie man sowas löst und bekomme aber nicht das richtige raus.
Hier meine Rechnung:
g nach x ableiten:
g(x)´= 2x
g nach y ableiten:
g(y)´ = [mm] -4y^3 [/mm] +2
[mm] -4y^3 [/mm] + 2 = 0 /-2
[mm] -4y^3 [/mm] = -2 /: (-4)
[mm] y^3 [/mm] = 0,5 /dritte Wurzel ziehen
y= 0,7937
0,7937= 2x /:2
0,3969 = x
Also erstmal stimmen diese Punkte nicht und braucht man nicht eigentlich auch einen Punkt z? Da es sich ja um eine Ebene handelt. Für den habe ich ja aber gar keine Funktion...Wie sollte man den noch kriegen ?
In der Lösung steht: (0, [mm] (1/2)^1/3 [/mm] ) Da ist ja nun auch kein Punkt z. Das wundert mich etwas... Also y habe ich ja so auch. Das ist ja dasselbe, aber x ist doch dann nicht 0. Oder setzt man y gar nicht mit x gleich? sondern berechnet x genauso wie y. Dann wäre es ja 0. also 2x=0 /:2
x=0
Dann hätte ich die richtige Lösung...
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Hallo shoegirl,
> Vorgelegt sei dir Funktion
> g(x,y)= [mm]x^2[/mm] - [mm]y^4[/mm] + 2y + 3 , (x,y) € [mm]R^2[/mm] .
>
> a)Bestimmen Sie alle Punkte mit einer horizontalen
> Tangentialebene.
>
> Also ich habe nachgelesen wie man sowas löst und bekomme
> aber nicht das richtige raus.
> Hier meine Rechnung:
> g nach x ableiten:
> g(x)´= 2x
>
> g nach y ableiten:
> g(y)´ = [mm]-4y^3[/mm] +2
>
> [mm]-4y^3[/mm] + 2 = 0 /-2
> [mm]-4y^3[/mm] = -2 /: (-4)
> [mm]y^3[/mm] = 0,5 /dritte Wurzel ziehen
> y= 0,7937
bis hierhin richtig
>
> 0,7937= 2x /:2
> 0,3969 = x
was machst du hier? Für eine horizontale Tangentialebene (also parallel zur x-y Ebene mit z=konstant) muss gelten [mm] \frac{\partial{g}}{\partial{x}} [/mm] = 0 und [mm] \frac{\partial{g}}{\partial{y}} [/mm] = 0
d.h. 2x = 0 ==> x=0
alle Punkte mit horizontaler Tangentialebene sind somit [mm] (0,(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}})
[/mm]
>
> Also erstmal stimmen diese Punkte nicht und braucht man
> nicht eigentlich auch einen Punkt z? Da es sich ja um eine
> Ebene handelt. Für den habe ich ja aber gar keine
> Funktion...Wie sollte man den noch kriegen ?
z ist der Funktionswert von g(x,y) an der Stelle (x,y), den brauchst du zwar für die Gleichung der Tangentialebene, aber danch war ja gar nicht gefragt...
>
> In der Lösung steht: (0, [mm](1/2)^1/3[/mm] ) Da ist ja nun auch
> kein Punkt z. Das wundert mich etwas... Also y habe ich ja
> so auch. Das ist ja dasselbe, aber x ist doch dann nicht 0.
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 27.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Vorgelegt sei dir Funktion
g(x,y)= [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^4 [/mm] + 2y + 3 , (x,y) € [mm] R^2 [/mm] .
a)Bestimmen Sie alle Punkte mit einer horizontalen Tangentialebene.
b)Welche der Punkte aus a sind lokale Minima? |
Danke für die Hilfe bei a)
In b) habe ich jetzt größere Probleme:
Als erste braucht man die ersten Ableitungen. Haben wir bereits aus a):
g(y)´= [mm] -4y^3 [/mm] +2
g(x)´= 2x
und jetzt habe ich das gleich 0 gesetzt und die Punkte aus Lösung a) eingesetzt. Das waren (0; 0,5^(1/3) )
Also
[mm] -4*0,7937^3 [/mm] +2= 0
-2+2=0
2*0=0
Bei beiden kommt also 0 raus... Ich weiß das die Lösung ist, dass kein Punkt ein lokales Minimum ist. Ich weiß jetzt nur nicht so recht wie ich das aus meinem Ergebnis herleite oder was ich noch machen muss.... Und so sicher ob das hier überhaupt so funktioniert bin ich mir auch nicht... Habe das in einem Buch nachgelesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Untersuche die Hessematrix in Deinem fraglichen Punkt !
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 27.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Vorgelegt sei dir Funktion
g(x,y)= [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^4 [/mm] + 2y + 3 , (x,y) € [mm] R^2 [/mm] .
a)Bestimmen Sie alle Punkte mit einer horizontalen Tangentialebene.
b)Welche der Punkte aus a sind lokale Minima? |
Ok also ich habe noch nie irgendwas mit der Hessematrix gemacht. Ich habe mir das angesehen.
Also ich kenne die Formel.
Für meinen Fall würde ich es dann jetzt so haben:
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Falls das nicht stimmt, könnte jemand das irgendwie mal verständlicher aufschreiben, was man da einsetzt? Also man hat diese 4 Werte. Aber was genau ist das? Ich kann das in diesen Zeichen leider nicht so recht verstehen.
Ich dachte jetzt das heißt:
Ableitung nach x ableitung nach y * ableitung nach x
ableitung nach x*ableitung nach y ableitung y
Also von der Anordnung her jetzt so wie hier geschrieben, auch in den Klammern...
Muss ich denn für x schon was einsetzen oder behalte ich x und y erstmal drin und berechne damit?
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Hallo Shoegirl,
> Vorgelegt sei dir Funktion
> g(x,y)= [mm]x^2[/mm] - [mm]y^4[/mm] + 2y + 3 , (x,y) € [mm]R^2[/mm] .
>
> a)Bestimmen Sie alle Punkte mit einer horizontalen
> Tangentialebene.
>
> b)Welche der Punkte aus a sind lokale Minima?
>
> Ok also ich habe noch nie irgendwas mit der Hessematrix
> gemacht. Ich habe mir das angesehen.
> Also ich kenne die Formel.
> Für meinen Fall würde ich es dann jetzt so haben:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> Falls das nicht stimmt, könnte jemand das irgendwie mal
> verständlicher aufschreiben, was man da einsetzt? Also man
> hat diese 4 Werte. Aber was genau ist das? Ich kann das in
> diesen Zeichen leider nicht so recht verstehen.
>
> Ich dachte jetzt das heißt:
> Ableitung nach x ableitung nach y * ableitung nach
> x
> ableitung nach x*ableitung nach y ableitung y
>
> Also von der Anordnung her jetzt so wie hier geschrieben,
> auch in den Klammern...
>
> Muss ich denn für x schon was einsetzen oder behalte ich x
> und y erstmal drin und berechne damit?
>
Formal ergibt sich die Hesse-Matrix so:
[mm]H\left(x,y\right)=\pmat{g_{xx}\left(x,y\right) & g_{xy}\left(x,y\right) \\ g_{yx}\left(x,y\right) & g_{yy}\left(x,y\right)\[/mm]
, wobei
[mm]g_{xx}[/mm] die zweimalige partielle Ableitung nach x,
[mm]g_{xy}[/mm] die partielle Ableitung zuerst nach x, dann nach y,
[mm]g_{yx}[/mm] die partielle Ableitung zuerst nach y, dann nach x,
[mm]g_{yy}[/mm] die zweimalige partielle Ableitung nach y.
Jetzt kannst Du diese Ableitungen für die ermittelten Extrema berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 27.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | | grunddefiniton der hesse-matrix |
ok super danke. Das bringt mir auf jeden Fall schon etwas mehr Klarheit.
Zwei Defiontionsfragen hätte ich noch:
Mit zweimalig partielle Ableitung ist da einfach die 2. partielle Ableitung gemeint?
Sprich wir hatten ja für g(x) als erste Ableitung 2x und die 2. partielle Ableitung wäre dann 2.
Ist das damit gemeint?
"die partielle Ableitung zuerst nach x, dann nach y"
Hier soll ich die beiden dann multiplizieren oder wie ist das gemeint? die erste ableitung nach x ist ja 2x und nach y ist sie [mm] -4y^3 [/mm] +2. Dann hätte ich für diesen Punkt also 2x* [mm] (-4y)^3 [/mm] +2 Stimmt fas so? Weiter zusammenfassen kann man ja auch nicht. Und einsetzen tut man ja auch noch nichts weiter, weil man ja als nächstes die Determinante bestimmen muss.
Ja das wars dann auch erstmal :) Wenn ich das noch richtig weiß, dann kriege ich die Aufgabe glaube ich hin.
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Hallo Shoegirl,
> grunddefiniton der hesse-matrix
> ok super danke. Das bringt mir auf jeden Fall schon etwas
> mehr Klarheit.
> Zwei Defiontionsfragen hätte ich noch:
>
> Mit zweimalig partielle Ableitung ist da einfach die 2.
> partielle Ableitung gemeint?
> Sprich wir hatten ja für g(x) als erste Ableitung 2x und
> die 2. partielle Ableitung wäre dann 2.
> Ist das damit gemeint?
Ja.
>
> "die partielle Ableitung zuerst nach x, dann nach y"
> Hier soll ich die beiden dann multiplizieren oder wie ist
> das gemeint? die erste ableitung nach x ist ja 2x und nach
> y ist sie [mm]-4y^3[/mm] +2. Dann hätte ich für diesen Punkt also
> 2x* [mm](-4y)^3[/mm] +2 Stimmt fas so? Weiter zusammenfassen
> kann man ja auch nicht. Und einsetzen tut man ja auch noch
> nichts weiter, weil man ja als nächstes die Determinante
> bestimmen muss.
Damit ist folgendes gemeint:
[mm]g_{xy}=\bruch{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ \bruch{\partial g}{\partial x} \ \right)[/mm]
Differenziere g nach x, dann erhältst Du [mm]g_{x}[/mm]
Differenziere dann [mm]g_{x}[/mm] nach y.
>
> Ja das wars dann auch erstmal :) Wenn ich das noch richtig
> weiß, dann kriege ich die Aufgabe glaube ich hin.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Vorgelegt sei dir Funktion
g(x,y)= [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^4 [/mm] + 2y + 3 , (x,y) € [mm] R^2 [/mm] .
a)Bestimmen Sie alle Punkte mit einer horizontalen Tangentialebene.
b)Welche der Punkte aus a sind lokale Minima? |
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Ok.
Also dann würde oben links 2 stehen und rechts unten [mm] -12y^2
[/mm]
Was ich noch nicht so recht verstanden habe:
wenn ich g nach x differenziere, dann habe ich 2x. und wenn ich das nun nach y differenziere, dann ergibt das doch 0. Weil da gar kein Y mehr drin ist. Das würde ja dann aber eigentlich egal bei welcher Funktion so sein, dass da immer 0 raus kommt. Denn wenn ich zuerst die eine Variable differenziere und danach die Lösung nach einer anderen Variablen, wird diese neue Variable nie vorhanden sein... Wo ist da jetzt mein Fehler? Wenn das wirklich stimmen würde, dann könnte man ja auch gleich einfach 0 sagen.
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Hallo Shoegirl,
> Vorgelegt sei dir Funktion
> g(x,y)= [mm]x^2[/mm] - [mm]y^4[/mm] + 2y + 3 , (x,y) € [mm]R^2[/mm] .
>
> a)Bestimmen Sie alle Punkte mit einer horizontalen
> Tangentialebene.
>
> b)Welche der Punkte aus a sind lokale Minima?
> Ok.
> Also dann würde oben links 2 stehen und rechts unten
> [mm]-12y^2[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Was ich noch nicht so recht verstanden habe:
> wenn ich g nach x differenziere, dann habe ich 2x. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und
> wenn ich das nun nach y differenziere, dann ergibt das doch
> 0. Weil da gar kein Y mehr drin ist.
Genau!
> Das würde ja dann
> aber eigentlich egal bei welcher Funktion so sein, dass da
> immer 0 raus kommt. Denn wenn ich zuerst die eine Variable
> differenziere und danach die Lösung nach einer anderen
> Variablen, wird diese neue Variable nie vorhanden sein...
Nein, nicht, wenn du "gemischte" Terme hast, etwa [mm] $f(x,y)=3x^5y^3$ [/mm] oder so ...
> Wo ist da jetzt mein Fehler? Wenn das wirklich stimmen
> würde, dann könnte man ja auch gleich einfach 0 sagen.
Das ist nur bei deiner gegeben Funktion so "schön einfach" 
Gruß
schachuzipus
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