Hyperbel in Erster Hauptlage < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-12/0),B(15/9), C(-20/16).
a) Zeige, dass die Punkte A,B und C auf einer Hyperbel in 1. Hauptlage liegen und ermittle die Gleichung der Hyperbel.
b) Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunktes und gib die Gleichung des Umkreises an.
c) Unter welchem Winkel schneiden einander die Hyperbel und der Umkreis des Dreiecks im Punkt C? |
Bei a) was ich nicht so recht, wie ich das lösen soll. Mein Versuch:
die allgemeine Gleichung einer Hyperbel lautet ja: [mm] y=x^2*k+d
[/mm]
Nun einsetzen:
0=144k+d
9=225k+d /*-1
-9=-81k
[mm] k=\bruch{9}{81}=\bruch{1}{9}
[/mm]
[mm] 9=\bruch{225}{9}+d
[/mm]
d=-16
[mm] y=x^2*\bruch{1}{9}-16
[/mm]
Das wäre doch dann aber nicht die 1. Hauptlage, da bei dieser der Ursprung null sein müsste, und C liegt auch nicht auf meiner Hyperbel. Wie löse ich nun also a) richtig?
[mm] b)\bruch{AB}{2}=\bruch{\vektor{-12 \\ 0}+\vektor{15 \\ 9}}{2}=\vektor{1,5 \\ 4,5}
[/mm]
[mm] AB=\vektor{15 \\ 9}-\vektor{-12 \\ 0}=\vektor{27 \\ 9}
[/mm]
t1: [mm] 27x+9y=\vektor{27 \\ 9}*\vektor{1,5 \\ 4,5}
[/mm]
27x+9y=81
[mm] \bruch{BC}{2}=\bruch{\vektor{15 \\ 9}+\vektor{-20 \\ 16}}{2}=\vektor{-2,5 \\ 12,5}
[/mm]
[mm] BC=\vektor{-20 \\ 16}-\vektor{15 \\ 9}= \vektor{-35 \\ 7}
[/mm]
[mm] t2:-35x+7y=\vektor{-35 \\ 7}*\vektor{-2,5 \\ 12,5}
[/mm]
-35x+7y=175
Gleichsetzen:
27x+9y=81 /*7
-35x+7y=175 /*-9
189x+63y=567
315x-63y= -1575
504x=-1008
xM=-2
yM: -63y=-945
ym= 15
UM= (-2/15)
[mm] (-12-(-2))^2+(0-15)^2=r^2
[/mm]
[mm] 100+225=r^2
[/mm]
[mm] r^2=325
[/mm]
Umkreisgleichung: [mm] (x+2)^2+(y-15)^2=325
[/mm]
Nun ist meine Frage, wie ich auf die Hyperbelgleichung kommen kann. Ich bitte um eure Hilfe. Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
das hier:
> die allgemeine Gleichung einer Hyperbel lautet ja:
> [mm]y=x^2*k+d[/mm]
ist völlig falsch. Das ergibt eine zur y-Achse symmetrische Parabel. Die Gleichung einer Hyperbel in der 1. Hauptlage ist
[mm] \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1
[/mm]
Von daher bist du hier auf dem Holzweg.
PS: es wird übrigens als nicht so nett empfunden, wenn man erst hier eine Frage stellt, auf die Antwort gar nicht eingeht und die Frage dann ![[]](/images/popup.gif) dort erneut stellt...
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-12/0),B(15/9), C(-20/16).
a) Zeige, dass die Punkte A,B und C auf einer Hyperbel in 1. Hauptlage liegen und ermittle die Gleichung der Hyperbel.
b) Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunktes und gib die Gleichung des Umkreises an.
c) Unter welchem Winkel schneiden einander die Hyperbel und der Umkreis des Dreiecks im Punkt C? |
Die allgemeine Gleichung der Hyperbel in Hauptform lautet also:
$ [mm] \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 [/mm] $
Ich weiß nun nicht, ob ich es richtig verstanden habe (ich glaube nicht), doch ich was muss ich nun für [mm] b^2 [/mm] und [mm] a^2 [/mm] einsetzen? Das habe ich nun nicht verstanden. Soll ich für [mm] a^2 [/mm] nun den y-Wert des Punktes einsetzen?
nach ist a die Länge vom Mittelpunkt aus:
http://www.mathe-online.at/lernpfade/Lernpfad759/?kapitel=2
P.S Was deine Anmerkung zu meinem Handeln zu http://www.matheforum.net/read?t=1016757 angeht, gebe ich dir Recht, ich habe falsch gehandelt und es tut mir sehr leid und ich hoffe, du verzeihst mir diesen Fauxpas. Wenigstens habe ich mittlerweile verstanden, wie ich das Beispiel lösen muss.
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Hallo,
> Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-12/0),B(15/9), C(-20/16).
> a) Zeige, dass die Punkte A,B und C auf einer Hyperbel in
> 1. Hauptlage liegen und ermittle die Gleichung der
> Hyperbel.
> b) Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunktes und
> gib die Gleichung des Umkreises an.
> c) Unter welchem Winkel schneiden einander die Hyperbel und
> der Umkreis des Dreiecks im Punkt C?
> Die allgemeine Gleichung der Hyperbel in Hauptform lautet
> also:
> [mm]\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 [/mm]
>
> Ich weiß nun nicht, ob ich es richtig verstanden habe (ich
> glaube nicht), doch ich was muss ich nun für [mm]b^2[/mm] und [mm]a^2[/mm]
> einsetzen? Das habe ich nun nicht verstanden. Soll ich für
> [mm]a^2[/mm] nun den y-Wert des Punktes einsetzen?
Nein, der Witz an der Sache ist der: du hast in der Hyperbelgleichung zwei Unbekannte, auf der anderen Seite hjedoch drei Punkte gegeben. Das ist also einer zu viel. Von daher: Stelle mit zwei der drei Punkte durch Einsetzen eine Hyperbelgleichung auf und prüfe, ob der übrige Punkt deine Gleichung ebenfalls erfüllt und somit auf der Hyperbel liegt.
> nach ist a die Länge vom Mittelpunkt aus:
Das ist sehr ungläcklich formuliert. Die Scheitel der Hyperbel sind (a|0) sowie (-a|0), und wenn du genau hinschaust, dann kannst du das sogleich anwenden!
> P.S Was deine Anmerkung zu meinem Handeln zu
> http://www.matheforum.net/read?t=1016757 angeht, gebe ich
> dir Recht, ich habe falsch gehandelt und es tut mir sehr
> leid und ich hoffe, du verzeihst mir diesen Fauxpas.
So wild ist es jetzt auch wieder nicht. 
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-12/0),B(15/9), C(-20/16).
a) Zeige, dass die Punkte A,B und C auf einer Hyperbel in
1. Hauptlage liegen und ermittle die Gleichung der Hyperbel. |
$ [mm] \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 [/mm] $
Nun A und B einsetzen:
I. [mm] \bruch{-12^2}{a^2}-\bruch{0^2}{b^2}=1
[/mm]
II. [mm] \bruch{15^2}{a^2}-\bruch{9^2}{b^2}=1
[/mm]
Nun umstellen:
I.: [mm] 144b^2=a^2*b^2 /:b^2
[/mm]
[mm] a^2= [/mm] 144
[mm] a=\pm [/mm] 12
II.: [mm] \bruch{225}{a^2}-\bruch{81}{b^2}=1 /*a^2/*b^2
[/mm]
[mm] 225b^2-81a^2=a^2*b^2
[/mm]
[mm] b^2=\bruch{225}{144}-\bruch{81}{b^2}=1
[/mm]
[mm] \bruch{225b^2}{144}-81=b^2 [/mm] /144
[mm] 81b^2=11664
[/mm]
[mm] b^2=144
[/mm]
[mm] \bruch{x^2}{144}-\bruch{y^2}{144}=1
[/mm]
Kann das stimmen, denn mir kommt diese Gleichung falsch vor.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-12/0),B(15/9), C(-20/16).
> a) Zeige, dass die Punkte A,B und C auf einer Hyperbel in
> 1. Hauptlage liegen und ermittle die Gleichung der
> Hyperbel.
> [mm]\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
>
> Nun A und B einsetzen:
> I. [mm]\bruch{-12^2}{a^2}-\bruch{0^2}{b^2}=1[/mm]
> II. [mm]\bruch{15^2}{a^2}-\bruch{9^2}{b^2}=1[/mm]
>
> Nun umstellen:
> I.: [mm]144b^2=a^2*b^2 /:b^2[/mm]
>
> [mm]a^2=[/mm] 144
> [mm]a=\pm[/mm] 12
>
> II.: [mm]\bruch{225}{a^2}-\bruch{81}{b^2}=1 /*a^2/*b^2[/mm]
>
> [mm]225b^2-81a^2=a^2*b^2[/mm]
>
>
> [mm]b^2=\bruch{225}{144}-\bruch{81}{b^2}=1[/mm]
> [mm]\bruch{225b^2}{144}-81=b^2[/mm] /144
> [mm]81b^2=11664[/mm]
> [mm]b^2=144[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^2}{144}-\bruch{y^2}{144}=1[/mm]
>
> Kann das stimmen, denn mir kommt diese Gleichung falsch
> vor.
Wie das ? Es stimmt alles. Zu prüfen ist noch, ob C auf der Hyperbel liegt.
FRED
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> > Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-12/0),B(15/9), C(-20/16).
> > a) Zeige, dass die Punkte A,B und C auf einer Hyperbel in
> > 1. Hauptlage liegen und ermittle die Gleichung der
> > Hyperbel.
> > [mm]\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
> >
> > Nun A und B einsetzen:
> > I. [mm]\bruch{-12^2}{a^2}-\bruch{0^2}{b^2}=1[/mm]
> > II. [mm]\bruch{15^2}{a^2}-\bruch{9^2}{b^2}=1[/mm]
> >
> > Nun umstellen:
> > I.: [mm]144b^2=a^2*b^2 /:b^2[/mm]
> >
> > [mm]a^2=[/mm] 144
> > [mm]a=\pm[/mm] 12
> >
> > II.: [mm]\bruch{225}{a^2}-\bruch{81}{b^2}=1 /*a^2/*b^2[/mm]
> >
> > [mm]225b^2-81a^2=a^2*b^2[/mm]
> >
> >
> > [mm]b^2=\bruch{225}{144}-\bruch{81}{b^2}=1[/mm]
> > [mm]\bruch{225b^2}{144}-81=b^2[/mm] /144
> > [mm]81b^2=11664[/mm]
> > [mm]b^2=144[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{x^2}{144}-\bruch{y^2}{144}=1[/mm]
> >
> > Kann das stimmen, denn mir kommt diese Gleichung falsch
> > vor.
>
> Wie das ? Es stimmt alles. Zu prüfen ist noch, ob C auf
> der Hyperbel liegt.
>
> FRED
>
Mal schauen:
[mm] \bruch{-20^2}{144}-\bruch{16^2}{144}=1
[/mm]
[mm] \bruch{400}{144}-\bruch{256}{144}=1
[/mm]
1=1, das heißt C liegt auch auf der Hyperbel.
Danke an alle, die mir geholfen haben.
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