Hypergeometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mo 04.02.2008 | | Autor: | claire06 |
| Aufgabe | Beim Zahlenlotto werden 6 aus 49 Zahlen ohne Zurücklegen gezogen.
Fragt man nach den Gewinnwahrscheinlichkeiten, so kann man sich
vorstellen, dass unter den 49 Kugeln einer Urne 6 markiert sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 6 zufällig entnommenen
Kugeln x = 3, 4, 5, 6 markiert sind?
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Hallo Leute,
mal wieder macht mir die Statistik zu schaffen. Diesmal habe ich Probleme, die Beispielaufgabe nachzuvollziehen.
Es ist N = 49, M = 6 und n = 6. Man erhält gemäß der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die hypergeometrische Verteilung:
[mm] f_{X}(x)= \bruch{\vektor{M \\ x}}{\vektor{N-M \\ n-x}}
[/mm]
H(3I49;6;6) = [mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3} \vektor{49-6 \\ 6-3}}{\vektor{49 \\ 6}}
[/mm]
Wie kommt man von diesen Vektoren zu dem folgenden Bruchstrich? Ich verstehe den Zusammenhang nicht.
= [mm] \bruch{20\*12341}{13983816}
[/mm]
= 0,0176504038
Dies ist nur der erste Teil der Aufgabe. Bitte helft mir, das Prinzip zu verstehen.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe und Grüße
Sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 04.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Beim Zahlenlotto werden 6 aus 49 Zahlen ohne Zurücklegen
> gezogen.
> Fragt man nach den Gewinnwahrscheinlichkeiten, so kann man
> sich
> vorstellen, dass unter den 49 Kugeln einer Urne 6 markiert
> sind.
>
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 6
> zufällig entnommenen
> Kugeln x = 3, 4, 5, 6 markiert sind?
>
>
>
> Hallo Leute,
>
> mal wieder macht mir die Statistik zu schaffen. Diesmal
> habe ich Probleme, die Beispielaufgabe nachzuvollziehen.
>
> Es ist N = 49, M = 6 und n = 6. Man erhält gemäß der
> Wahrscheinlichkeitsfunktion für die hypergeometrische
> Verteilung:
>
> [mm]f_{X}(x)= \bruch{\vektor{M \\ x}}{\vektor{N-M \\ n-x}}[/mm]
>
> H(3I49;6;6) = [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3} \vektor{49-6 \\ 6-3}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
>
> Wie kommt man von diesen Vektoren zu dem folgenden
> Bruchstrich? Ich verstehe den Zusammenhang nicht.
Das sind keine Vektoren. Der Ausdruck [mm] \vektor{49 \\ 6} [/mm] (gesprochen: 49 über 6) steht für den Term [mm]\bruch{49!}{(49-6)!*6!}=\bruch{1*2*3*...*48*49}{(1*2*3*...*42*43)*(1*2*3*4*5*6)}=\bruch{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*4*5*6}=13983816.
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{20\*12341}{13983816}[/mm]
> = 0,0176504038
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> Dies ist nur der erste Teil der Aufgabe. Bitte helft mir,
> das Prinzip zu verstehen.
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe und Grüße
> Sarah
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mo 04.02.2008 | | Autor: | claire06 |
Hallo abakus,
du schreibst, der Ausdruck [mm] \vektor{49 \\ 6} [/mm] sei dieser Term [mm] \bruch{49!}{(49-6)!\cdot{}6!}. [/mm] Aber wie kommt denn die (49-6) auf einmal im Nenner?
Entschuldigung, aber ich habe das noch nicht durchschaut.
[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3} \vektor{49-6 \\ 6-3}}{\vektor{49 \\ 6}} [/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{720}{6}\bruch{6.0415263^{52}}{6}}{\bruch{6.0828186^{62}}{720}} [/mm]
= [mm] \bruch{720 \*6.0415263^{52}\*720}{6\*6\*6.0828186^{62}}
[/mm]
gekürzt: [mm] \bruch{20 \*6.0415263^{52}\*720}{6.0828186^{62}}
[/mm]
Hilfe, die Zahlen sind so riesig! Aber die 20 habe ich schonmal 
Viele Grüße
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Das ist darauf zurückzuführen, dass Lotto ja OHNE Zürücklegen ist.
Es gibt also für das Ziehen von 6 Kugeln aus 49:
49*48*47*46*45*44; hoffe da sind wir uns einig :)
Wenn du nun nur 49! stehen hättest, gäbe es ja 49*48*47*.....*3*2*1 Möglichkeiten.
Wenn du nun noch (49-6)!teilst, fliegen damit alle Zahlen unterhalb von 44 raus; also 43....1.
Wenn du das alles ausschreiben würdest, würde sich ja alles wegkürzen.
Joa, das ist das ganze Prinzip :D
Vllt. hilft dir auch der Link ![[]](/images/popup.gif) hier noch ein wenig beim Verständnis :)
Wenn nicht, frag einfach nochmal.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 04.02.2008 | | Autor: | claire06 |
Hi Maggons,
vielen Dank für Deine Antwort. Leider scheint es, als hätte ich ein Brett vor dem Kopf, das nicht aus Holz, sondern aus Stahlbeton besteht. Seit 3 Stunden sitze ich vor diesem Beispiel und komme doch nicht auf das geforderte Ergebnis. Ich würde die Aufgabe gern mal beiseite legen und anhand einer anderen Aufgabe, die nur kleinere Zahlen beinhaltet, meinen Rechenweg darlegen. Du (oder eine andere hilfsbereite Person) könnte mir dann vielleicht erklären, wo ich immernoch falsch denke.
Der Student Paul hat in seinem von der Tante Olga geerbten Kühlschrank 8 Eier. Zwei Eier sind, ohne dass er es weiß, faul. Für Spiegeleier greift er (zufällig) drei Eier heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Spiegeleier ungenießbar sind?
M=2 N=8 n=3 x=0, da kein Ei faul sein darf
[mm] f_{X}(x)= \bruch {\vektor{M \\ x} \vektor{N-M \\ n-x}}{\vektor{N \\ n}}\
[/mm]
[mm] =\bruch {\vektor{2 \\ 0}\vektor{8-2 \\ 3-0}}{\vektor{8 \\ 3}}\
[/mm]
= [mm] \bruch{{\bruch{1\*2}{1}}\bruch{1\*2\*3\*4\*5*6}{1\*2\*3}}{\bruch{1\*2\*3\*4\*5\*6\*7\*8}{1\*2\*3}}\
[/mm]
Kürzen und multiplizieren: [mm] \bruch{1\*2\*4\*5\*6}{1}\*\bruch{1}{4\*5\*6\*7\*8}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{28}
[/mm]
Dieses Ergebnis ist falsch, so viel weiß ich, aber was mache ich denn nicht nach Schema? Bitte helft mir noch einmal.
Danke und Grüße
Sarah
PS: Ich weiß, dass ich hier gerade die Gegenwahrscheinlichkeit ausgerechnet habe. Das Ergebnis wäre 1- [mm] \bruch{1}{28}=\bruch{27}{28}, [/mm] aber auch das stimmt nicht mit der geforderten Lösung von [mm] \bruch{9}{14} [/mm] überein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Also zunächst mal ist dein Ansatz vollkommen richtig.
1- [mm] \bruch{\vektor{2 \\ 0} \vektor{6 \\ 3}}{\vektor{8 \\ 3}} [/mm] = [mm] \bruch{9}{14}
[/mm]
Du hast auf jeden Fall [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] falsch aufgelöst; es ergibt nicht wie bei dir unten beschrieben 2.
Es gibt nur genau 1 Möglichkeit keine Kugel aus 6 zu ziehen; eine beliebige Zahl n über 0 =1
also [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] = 1
Und nun nochmal oben zum Aufschlüsseln:
ich würde mir niemals die Mühe machen und alles in dieser Schreibweise lassen.
Rechne einzeln aus, was [mm] \vektor{2 \\ 0}, \vektor{6 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] sind und setze es dann letztendes in die Formel ein.
Ich traue mich nämlich kaum auf die Bruchstriche zu schauen... :D
Wenn es aber auch nun nach der kleinen Korrektur nicht klappt, werfe ich natürlich gerne einen Blick drauf :D
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mo 04.02.2008 | | Autor: | claire06 |
Erstmal vielen Dank Maggons! Ich denke, ich hätte schon längst aufgegeben, wenn dieses Forum nicht wäre!
Also, wenn ich es Schritt für Schritt rechne, wie Du vorschlägst, erhalte ich
[mm] \vektor{2 \\ 0}=1
[/mm]
[mm] \vektor{6 \\ 3}= \bruch{6!}{3! (6-3)!}=\bruch{1\*2\*3\*4\*5\*6}{1\*2\*3\*1\*2\*3}=\bruch{120}{6}=20
[/mm]
[mm] \vektor{8 \\ 3}=\bruch{8!}{3! (8-3)!}=\bruch{1\*2\*3\*4\*5\*6\*7\*8}{1\*2\*3\*1\*2\*3*4\*5}=\bruch{336}{6}=56
[/mm]
[mm] \bruch{1\*20}{56}=\bruch{5}{14}
[/mm]
[mm] 1-\bruch{5}{14}=\bruch{9}{14} [/mm] und das ist das Endergebnis.
Jetzt freu ich mir ein Loch in den Bauch. Besten Dank für Deine Geduld!!!
Viele Grüße
Sarah
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Gerne wieder :)
Wünsche auch noch einen schönen Abend zu haben :)
Lg
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
