Ideale Restklassenring Z/pZ < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl. Bestimmen sie alle Ideale in [mm] \IZ \setminus p\IZ [/mm] |
Ich hab mir n paar Beispiele: [mm] \IZ \setminus 3\IZ, \IZ \setminus 5\IZ, \IZ \setminus 7\IZ [/mm] genommen und mal geprüft was die ideale sind.
dabei kam raus, dass nur die trivialen Ideale existieren (Null und der gesamte restklassenring)
dann muss man das ja noch irgendwie beweisen.
ich hab mir überlegt, dass ja dann gelten muss:
es exist. ein a [mm] \in [/mm] Ideal geben muss für das gilt:
ggt(a,p)=1 => es exist. x,y [mm] \in \IZ: [/mm] ax+py=1
so weit so gut, aber wie mach ich jetzt weiter. oder ist der ansatz schon murks?
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Schöne Grüße,
Grafzahl123
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Moin
> Sei p eine Primzahl. Bestimmen sie alle Ideale in [mm]\IZ \setminus p\IZ[/mm]
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> Ich hab mir n paar Beispiele: [mm]\IZ \setminus 3\IZ, \IZ \setminus 5\IZ, \IZ \setminus 7\IZ[/mm]
> genommen und mal geprüft was die ideale sind.
> dabei kam raus, dass nur die trivialen Ideale existieren
> (Null und der gesamte restklassenring)
> dann muss man das ja noch irgendwie beweisen.
Genau! Auch die Idee Beispiele erst einmal zu prüfen ist vorbildlich.
> ich hab mir überlegt, dass ja dann gelten muss:
> es exist. ein a [mm]\in[/mm] Ideal geben muss für das gilt:
> ggt(a,p)=1 => es exist. x,y [mm]\in \IZ:[/mm] ax+py=1
Besser: ein Ideal muss eine additive Untergruppe sein. Da [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] genau p Elemente enthält, kann dir Lagrange sagen, wie viele Elemente eine Untergruppe enthalten kann. Im Prinzip steht es ja schon bei ggT(a,p)=1.
>
> so weit so gut, aber wie mach ich jetzt weiter. oder ist
> der ansatz schon murks?
Versuche den richtigen Schluss aus ggT(a,p)=1 zu ziehen und du bist fertig.
>
> Würde mich über Hilfe sehr freuen.
>
> Schöne Grüße,
> Grafzahl123
wieschoo
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danke für den schnellen tipp. lagrange hört sich gut an 
also...
das heißt die kardinalität einer untergruppe ist immer teiler der kardinalität der gruppe!
da meine gruppe immer p elemente enthält gibt es nur 2 möglichkeiten der teilbarkeit: 1 Element (in unserem fall die "null") oder alle Elemente des restklassenrings mit der kardinalität p.
=> es können nur diese beiden ideale existieren.
ist das so richtig? und wenn ja kann man das auch "mathematischer" aufschreiben?
danke nochma für den super tipp
schöne grüße,
grafzahl123
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> danke für den schnellen tipp. lagrange hört sich gut an
>
Lagrange passt ja auch bei Aufgaben zu Gruppen so ziemlich überall hin.
> also...
> das heißt die kardinalität einer untergruppe ist immer
> teiler der kardinalität der gruppe!
Das ist zumindest eine Schlussfolgerung aus dem Satz von Lagrange.
> da meine gruppe immer p elemente enthält
UND p EINE PRIMZAHL IST!
> gibt es nur 2
> möglichkeiten der teilbarkeit: 1 Element (in unserem fall
> die "null") oder alle Elemente des restklassenrings mit der
> kardinalität p.
> => es können nur diese beiden ideale existieren.
ok. Vielleicht besser: Es gibt nur zwei additive Untergruppen nämlich .... und ... .
>
> ist das so richtig? und wenn ja kann man das auch
> "mathematischer" aufschreiben?
Jetzt fehlt noch eine Begründung warum die additiven Untergruppen auch Ideale in [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] sind.
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> danke nochma für den super tipp
>
> schöne grüße,
> grafzahl123
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