Ideale in Zahlkörper < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Mi 04.06.2008 | | Autor: | bksstock |
Hi!
Bei folgender Aufgabe komme ich im Moment leider überhaupt nicht weiter:
i) Sei a ein ganzes Ideal des Zahlkörpers K. Es gelte [mm] a^n=(b) [/mm] für ein b [mm] \in [/mm] K. Zu zeigen ist, dass a in der Erweiterung
L = K( [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] ) ein Hauptideal wird.
ii) Folgern Sie aus i), dass für jeden Zahlkörper K eine endliche Erweiterung L existiert, so dass jedes Ideal von K ein Hauptideal in L ist.
Anhand unseres Standes in der Vorlesung "Algebraische Zahlentheorie" vermute ich, dass man hier über die Minkowski-Schranke eine Aussage über die Klassengruppe treffen soll und dann daraus schließt, dass ein Hauptideal vorliegt. Wie das genau funktionieren soll, kann ich mir aber trotz langen Nachdenkens nicht erschließen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mi 04.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Bei folgender Aufgabe komme ich im Moment leider überhaupt
> nicht weiter:
>
> i) Sei a ein ganzes Ideal des Zahlkörpers K. Es gelte
> [mm]a^n=(b)[/mm] für ein b [mm]\in[/mm] K. Zu zeigen ist, dass a in der
> Erweiterung
> L = K( [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] ) ein Hauptideal wird.
Du meinst wohl eher $L = [mm] K(\sqrt[n]{b})$, [/mm] oder?!
Das geht relativ elementar. Sei [mm] $\mathcal{O}_L$ [/mm] der Ganzheitsring von $L$. Dann gilt $(a [mm] \mathcal{O}_L)^n [/mm] = b [mm] \mathcal{O}_L$, [/mm] wobei $a [mm] \mathcal{O}_L$ [/mm] die Erweiterung von $a$ nach [mm] $\mathcal{O}_L$ [/mm] ist. Jetzt betrachte doch mal das Ideal [mm] $\sqrt[n]{b} \mathcal{O}_L$ [/mm] in [mm] $\mathcal{O}_L$ [/mm] und bedenke, dass in [mm] $\mathcal{O}_L$ [/mm] die Ideale (ungleich 0) eine kuerzbare Halbgruppe bilden (Eindeutigkeit in der Zerlegung als Produkt von Primidealen!).
> ii) Folgern Sie aus i), dass für jeden Zahlkörper K eine
> endliche Erweiterung L existiert, so dass jedes Ideal von K
> ein Hauptideal in L ist.
>
> Anhand unseres Standes in der Vorlesung "Algebraische
> Zahlentheorie" vermute ich, dass man hier über die
> Minkowski-Schranke eine Aussage über die Klassengruppe
> treffen soll und dann daraus schließt, dass ein Hauptideal
> vorliegt. Wie das genau funktionieren soll, kann ich mir
> aber trotz langen Nachdenkens nicht erschließen.
Bei ii) benoetigst du konkret die Endlichkeit der Klassengruppe von [mm] $\mathcal{O}_K$. [/mm] Wenn naemlich ein Ideal von [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] in [mm] $\mathcal{O}_L$ [/mm] ein Hauptideal wird, so auch jedes Ideal, welches aequivalent zu dem Ideal in [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] ist (warum?).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mi 04.06.2008 | | Autor: | bksstock |
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich kann also i) folgendermaßen lösen:
$(a [mm] \mathcal{O}_L)^n [/mm] = b [mm] \mathcal{O}_L$ [/mm] = [mm] (\sqrt[n]{b}\mathcal{O}_L)^n. [/mm] Und damit wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung a [mm] \mathcal{O}_L [/mm] = [mm] \sqrt[n]{b}\mathcal{O}_L. [/mm] Ist das so korrekt?
Zu ii): Zur Endlichkeit der Klassengruppe hatten wir bereits einen Satz in der Vorlesung. Aber wie komme ich denn da konkret weiter, um eine Erweiterung mit den gewünschten Eigenschaften zu finden. Reicht es, für jede Restklasse der Klassengruppe i) anzuwenden? Wenn ja, müsste aber doch für jedes Element der Klassengruppe die Voraussetzung von i), also die Existenz eines geeigneten b erfüllt sein. Warum ist das der Fall?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Do 05.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> Ich kann also i) folgendermaßen lösen:
> [mm](a \mathcal{O}_L)^n = b \mathcal{O}_L[/mm] =
> [mm](\sqrt[n]{b}\mathcal{O}_L)^n.[/mm] Und damit wegen der
> Eindeutigkeit der Primidealzerlegung a [mm]\mathcal{O}_L[/mm] =
> [mm]\sqrt[n]{b}\mathcal{O}_L.[/mm] Ist das so korrekt?
>
> Zu ii): Zur Endlichkeit der Klassengruppe hatten wir
> bereits einen Satz in der Vorlesung.
Gut. Den brauchst du hier naemlich zweimal.
> Aber wie komme ich
> denn da konkret weiter, um eine Erweiterung mit den
> gewünschten Eigenschaften zu finden. Reicht es, für jede
> Restklasse der Klassengruppe i) anzuwenden?
Ja, du musst nur die Voraussetzung von i) zeigen.
> Wenn ja, müsste
> aber doch für jedes Element der Klassengruppe die
> Voraussetzung von i), also die Existenz eines geeigneten b
> erfüllt sein. Warum ist das der Fall?
Wegen der Endlichkeit der Klassengruppe, der Definition der Klassengruppe und etwas Gruppentheorie (was weisst du so ueber endliche Gruppen?)...
LG Felix
|
|
|
|
