Identität von Schur < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $A,B\in R^{n\times n}$ [/mm] regulär. Ferner sei [mm] $C:=\begin{pmatrix} A&B\\B&A \end{pmatrix}$. [/mm] Zu zeigen ist die Identität von Schur:
[mm] $C^{-1}=\begin{pmatrix} (A-BA^{-1}B)^{-1}&(B-AB^{-1}A)^{-1}\\(B-AB^{-1}A)^{-1}&(A-BA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}$ [/mm] |
Ich muss zugeben, dass ich schon seit ein paar Stunden an dieser Aufgabe herumdoktere, obwohl sie mir nicht allzu schwierig erscheint. Meine Idee: Ich suche nach einer geeigneten Zerlegung $C=XY$ und nutze dann [mm] $C^{-1}=Y^{-1}X^{-1}$. [/mm] Aber ich komme leider auf keine solche.
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Liebe Grüße
Toasten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 So 17.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]A,B\in R^{n\times n}[/mm] regulär. Ferner sei
> [mm]C:=\begin{pmatrix} A&B\\B&A \end{pmatrix}[/mm]. Zu zeigen ist
> die Identität von Schur:
> [mm]C^{-1}=\begin{pmatrix} (A-BA^{-1}B)^{-1}&(B-AB^{-1}A)^{-1}\\(B-AB^{-1}A)^{-1}&(A-BA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}[/mm]
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> Ich muss zugeben, dass ich schon seit ein paar Stunden an
> dieser Aufgabe herumdoktere, obwohl sie mir nicht allzu
> schwierig erscheint. Meine Idee: Ich suche nach einer
> geeigneten Zerlegung [mm]C=XY[/mm] und nutze dann
> [mm]C^{-1}=Y^{-1}X^{-1}[/mm]. Aber ich komme leider auf keine
> solche.
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> Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Rechne stur nach dass gilt:
[mm] \begin{pmatrix} A&B\\B&A \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} (A-BA^{-1}B)^{-1}&(B-AB^{-1}A)^{-1}\\(B-AB^{-1}A)^{-1}&(A-BA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix} [/mm] = Einheitsmatrix.
FRED
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> Liebe Grüße
> Toasten
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Ja, aber wie mache ich das denn? Für den Eintrag in der ersten Zeile und ersten Spalte ergibt sich [mm] $A(A-BA^{-1}B)^{-1}+B*(B-AB^{-1}B)^{-1}$ [/mm] wie kann ich diesen Ausdruck vereinfachen?
[mm] $(A-BA^{-1}B)^{-1}$ [/mm] bzw. [mm] $(B-AB^{-1}B)^{-1}$ [/mm] sind doch "geschlossene" Ausdrücke, oder? Darf ich $A$ bzw. $B$ dort hineinziehen?
Liebe Grüße
Differential
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 19.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich würde an die Sache anders herangehen:
Du hast eine Matrix [mm]C=\pmat{A&B\\C&D}[/mm] und suchst eine inverse Matrix [mm]C^{-1}=\pmat{W&X\\Y&Z}[/mm] mit
[mm]\pmat{A&B\\C&D}\pmat{W&X\\Y&Z}=\pmat{1&0\\0&1}[/mm] (hier ist 1 die entspr. Einh.-mat.)
aus der blockweisen Multiplikation erhält explizite Formeln für [mm]W,X,Y,Z[/mm].
Das ist wesentlich kürzer als die Matrizen miteinander zu multiplizieren. Zumal man bei dem vorgeschlagenen Weg von Fred noch die Gleichheit
[mm](W+XYZ)^{-1}=W^{-1}-W^{-1}X(Y^{-1}+ZW^{-1}X)^{-1}ZW^{-1}[/mm]
benötigt.
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