In keinem Punkt stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Do 04.10.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ\\ 0, & \mbox{für } x \in \IR ohne \IQ \end{cases}
[/mm]
ist in keinem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] stetig |
Hallo ihr,
ich habe mir gedacht, dass man das vielleicht mit dem Epsilon-Deltra-Kriterium beweisen kann.
Ich habe:
Wähle x [mm] \in \IQ [/mm] beliebig und y := x+ [mm] \delta/2. [/mm] Sei [mm] \varepsilon [/mm] := 1.
Dann gilt:
|x-y|=|x-(x+ [mm] \delta/2)|= \delta/2 [/mm] < [mm] \delta.
[/mm]
Nun ist:
|f(x)-f(y)| = |1-1|=0< [mm] \varepsilon, [/mm] falls [mm] \delta \in \IQ.
[/mm]
|f(x)-f(y)| = |1-0|=1= [mm] \varepsilon, [/mm] falls [mm] \in \IR [/mm] ohne [mm] \IQ. [/mm]
Die Definition des Epsilon-Delta-Kriteriums sagt doch nur aus, dass es ein [mm] \delta [/mm] gibt, so dass [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon [/mm] erfüllt ist (und es gibt ja ein Delta, aber nur in [mm] \IQ). [/mm] Kann man irgendwie mit den unterschiedlichen Definitionsbereichen argumentieren, um zu zeigen, das in keinem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] stetig ist?
Viele Grüße
Elefanti
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> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ\\ 0, & \mbox{für } x \in \IR ohne \IQ \end{cases}[/mm]
>
> ist in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] stetig
> Hallo ihr,
>
> ich habe mir gedacht, dass man das vielleicht mit dem
> Epsilon-Deltra-Kriterium beweisen kann.
>
> Ich habe:
> Wähle x [mm]\in \IQ[/mm] beliebig
Hallo,
angenommen, f wäre stetig.
Dann gäbe es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein passendes [mm] \delta>0 [/mm] so, daß
[mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon [/mm] für alle y mit [mm] |x-y|<\delta.
[/mm]
Da es für alle [mm] \varepsilon [/mm] gilt, gilt dies insbesondere für [mm] \varepsilon=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Es gibt also im Falle der Stetigkeit ein [mm] \delta [/mm] so, daß [mm] |f(x)-f(y)|<\bruch{1}{2} [/mm] für alle y mit [mm] |x-y|<\delta.
[/mm]
Dies mußt Du nun zum Widerspruch führen. Das bekommst Du hin, wenn es Dir gelingt, glaubhaft zu machen, daß im betrachteten Intervall ein irrationale Zahl liegt. Gib "einfach" eine an, die drin liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 05.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
kann man x und y einfach beliebig wählen?
Ich habe jetzt:
Sei x [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] x:=\delta/2. [/mm] Sei [mm] y:=\wurzel[]{2} [/mm] und [mm] \varepsilon:=1/2.
[/mm]
Dann ist [mm] |x-y|=|\delta/2 [/mm] - [mm] \wurzel[]{2}|<\delta.
[/mm]
Aber es ist [mm] |f(x)-f(y)|=|1-0|=|1|=1>1/2=\varepsilon.
[/mm]
Somit ist die Funktion in keinem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] stetig.
Liebe Grüße
Elefanti
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Hallo,
ich taufe Dein x in Deinem Post mal um in q, ich glaube, daß es mir dann besser gelingt, Dir das Problem in Deiner Vorgehensweise klar zu machen.
> kann man q und y einfach beliebig wählen?
> Ich habe jetzt:
> Sei q [mm]\in \IQ[/mm] und [mm]q:=\delta/2.[/mm] Sei [mm]y:=\wurzel[]{2}[/mm] und
> [mm]\varepsilon:=1/2.[/mm]
> Dann ist [mm]|q-y|=|\delta/2[/mm] - [mm]\wurzel[]{2}|<\delta.[/mm]
> Aber es ist [mm]|f(q)-f(y)|=|1-0|=|1|=1>1/2=\varepsilon.[/mm]
> Somit ist die Funktion in keinem Punkt q [mm]\in \IR[/mm] stetig.
Du machst da etwas ganz Verrücktes:
Du willst ja zeigen, daß die Funktion an keiner rationalen Stelle stetig ist.
Dazu wählst Du [mm] q\in \IQ. [/mm] Das ist beliebig, aber fest. Das, was Du zeigst, soll ja allgemeingültig sein für jede rationale Stelle.
Aber was machst Du jetzt!? Jetzt läßt Du die Allgemeingültigkeit platzen, indem Du dem q einen ganz bestimmten Wert zuweist, nämlich [mm] \delta/2. [/mm] Damit machst Du Dir alles kaputt. (Daß das [mm] \delta, [/mm] welches Du dem q zuweist, vorher nicht erklärt wurde, ist noch
ein anderes Problem.)
Etwas anderes aber hast Du erkannst, und das ist gut: Wenn Du im [mm] \delta [/mm] Intervall eine irrationale Zahl findest, hat [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] keine Chance mehr:
> Aber es ist [mm][mm] |f(q)-f(y)|=|1-0|=|1|=1>1/2=\varepsilon
[/mm]
Wir fangen nun nochmal an.
Angenommen, es wäre f an einer Stelle [mm] q\in \IQ [/mm] stetig.
Dann gäbe es zu [mm] \varepsilon<1/2 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] mit |f(q)-f(y)|<1/2 für alle y mit [mm] |q-y|<\delta.
[/mm]
Du kannst nun nicht wie oben einfach sagen [mm] y=\wurzel{2}. [/mm] Wer sagt denn, daß das in der [mm] \delta-Umgebung [/mm] von q liegt? Niemand!!!
Da mußt Du etwas raffinierter ans Werk gehen. Z.B., indem Du eine Stelle y betrachtest, die um einen passenden Bruchteil von [mm] \wurzel{2} [/mm] von q entfernt liegt. Denk mal in dieser Richtung weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Sa 06.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
>
> Etwas anderes aber hast Du erkannst, und das ist gut: Wenn
> Du im [mm]\delta[/mm] Intervall eine irrationale Zahl findest, hat
> [mm]\varepsilon=1/2[/mm] keine Chance mehr:
> Aber es ist [mm][mm]|f(q)-f(y)|=|1-0|=|1|=1>1/2=\varepsilon[/mm]
>Da mußt Du etwas raffinierter ans Werk gehen. Z.B., indem Du eine Stelle y betrachtest, die um einen passenden Bruchteil von [mm]\wurzel{2}[/mm] von q entfernt liegt. Denk mal in dieser Richtung weiter.
Okay, also irgendwie scheint das Epsilon-Delta-Kriterium wirklich schwierig zu sein, aber ich will es ja auch verstehen 
Kann man denn y auf [mm] y:=q-\wurzel{2} [/mm] setzen:
[mm] |q-y|=|q-(q-\wurzel{2})|=|q-q-wurzel{2}|=|-\wurzel{2}|= \wurzel{2} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Muss nicht in q oder y ein Delta vorkommen, damit man sieht, dass die Ungleichung wirklich kleiner Delta ist?
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 06.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Okay, also irgendwie scheint das Epsilon-Delta-Kriterium wirklich schwierig zu sein, aber ich will es ja auch
> verstehen
> Kann man denn y auf [mm]y:=q-\wurzel{2}[/mm] setzen:
Das kann man machen. Frage ist was man damit erreicht...
> [mm]|q-y|=|q-(q-\wurzel{2})|=|q-q-wurzel{2}|=|-\wurzel{2}|= \wurzel{2}[/mm] < [mm]\delta[/mm]
> Muss nicht in q oder y ein Delta vorkommen, damit man sieht, dass die Ungleichung wirklich kleiner Delta ist?
Obige Ungleichung gilt für alle [mm] \delta [/mm] > [mm] \wurzel{2}. [/mm] Die hat mit keiner Funktion was zu tun. Man soll zum Beweis der Stetigkeit folgendermaßen vorgehen:
VORAUSSETZUNGEN:
A) Eine Funktion f(D) auf einem Definitionsbereich D.
B) ein beliebiger, aber unbekannter und konstanter Punkt [mm] x_{0}\in [/mm] D.
C) ein beliebiges, aber unbekanntes und konstantes, [mm] \epsilon [/mm] > 0.
FINDE anahnd der Voraussetzungen ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass aus [mm] |x_{0}-y|<\delta [/mm] folgt, dass [mm] |f(x_{0})-f(y)|<\epsilon.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 06.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
>
> VORAUSSETZUNGEN:
> A) Eine Funktion f(D) auf einem Definitionsbereich D.
> B) ein beliebiger, aber unbekannter und konstanter Punkt
> [mm]x_{0}\in[/mm] D.
> C) ein beliebiges, aber unbekanntes und konstantes,
> [mm]\epsilon[/mm] > 0.
>
> FINDE anahnd der Voraussetzungen ein [mm]\delta[/mm] > 0, so dass
> aus [mm]|x_{0}-y|<\delta[/mm] folgt, dass [mm]|f(x_{0})-f(y)|<\epsilon.[/mm]
>
Ich habe:
A) $ [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ\\ 0, & \mbox{für } x \in \IR ohne \IQ \end{cases} [/mm] $
B) Kann ich das denn überhaupt finden, ich habe ein [mm] x_0, [/mm] dass ich ja nicht näher definieren darf, oder sag ich beispielsweise: [mm] x_0 [/mm] =1/2?
C) Ebenso suche ich nach dem Epsilon, kann es vorher nicht definieren, oder sag ich vorher schon: [mm] \epsilon:=1/2?
[/mm]
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 06.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> B) Kann ich das denn überhaupt finden, ich habe ein [mm]x_0,[/mm]
> dass ich ja nicht näher definieren darf, oder sag ich
> beispielsweise: [mm]x_0[/mm] =1/2?
Man kann es nicht finden. Du sollst dieses [mm] x_{0} [/mm] einfach als ein Parameter, eine Konstante betrachten. Wenn du deine Überlegungen für [mm] x_{0}:=1/2 [/mm] durchführst, dann gelten diese auch nur für diesen einzigen Punkt - man kann nicht auf Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich schließen.
> C) Ebenso suche ich nach dem Epsilon, kann es vorher nicht
> definieren, oder sag ich vorher schon: [mm]\epsilon:=1/2?[/mm]
Dann gelten deine Überlegungen für ein einziges [mm] \epsilon. [/mm] Und zum Beweis der Stetigkeit müssen gewisse Kritereien für ALLE [mm] \epsilon>0 [/mm] erfüllt sein.
Wie gesagt - [mm] x_{0}\in [/mm] D und [mm] \epsilon>0 [/mm] sind als Konstanten, die man nicht kennt zu betrachten. Anhand dieser soll man ein [mm] \delta [/mm] finden.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 06.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
also kann ich mir nur mein y beliebig wählen?
Angenommen ich setze [mm] y:=x-(\delta*\wurzel{2})/\wurzel{13}. [/mm] Dann erhalte ich:
[mm] |x-y|=|x-(x-(\delta*\wurzel{2})/\wurzel{13}|=|(\delta*\wurzel{2})/\wurzel{13}|<\delta.
[/mm]
Aber dann ist:
|f(x)-f(y)|=|1-0|=1, aber ich weiß ja nicht, wie [mm] \epsilon [/mm] ausschaut.
Viele Grüße
Eleanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Sa 06.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elefanti!
Ich glaube, du hast Schwierigkeiten, dir das [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium anschaulich vorzustellen.
(Wobei Anschaulichkeit ja auch etwas von Gewohnheit hat )
Eine gute Anschauung für den Begriff Stetigkeit ist ja zu sagen, dass man den Grafen der Funktion zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen - was nichts Anderes heisst, dass die Funktion keine Sprünge macht.
Die vorliegende Funktion
[mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \text{für $x \in \IQ$}\\ 0, & \text{für $x \in \IR \backslash \IQ$} \end{cases} [/mm]
ist ein Kamm mit unendlich vielen Zacken. Sie macht nur Sprünge, da ist es naheliegend, dass sie nirgendwo stetig ist.
Was hat die anschauliche Definition der Stetigkeit mit dem [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium zu tun?
Dieses Kriterium sagt: an einem Punkt [mm]x_0[/mm] ist eine Funktion f stetig, wenn ich immer eine [mm]\delta[/mm]-Umgebung [mm]U_\delta(x_0)[/mm] von [mm]x_0[/mm] finden kann, so dass [mm]f(U_\delta(x_0)) = \{f(x)\mid x\in U\delta(x_0)\}[/mm] nur Punkte enthält, die ganz nah bei [mm]f(x_0)[/mm] liegen, nämlich in einer [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm]f(x_0)[/mm].
Ich betrachte also nur die Funktionswerte [mm]f(x)[/mm] in der Nähe von [mm]f(x_0)[/mm] (genau: in einer [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm]f(x_0)[/mm]) und frage, wie nahe die zugehörigen x-Werte bei [mm]x_0[/mm] liegen.
Wenn ich die [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm]f(x_0)[/mm] immer kleiner mache, müssen diese x-Werte immer näher bei [mm]x_0[/mm] liegen.
Nehmen wir jetzt eine einfache Funktion, die einen Sprung macht, zum Beispiel [mm]\text{sgn}(x)[/mm], die Vorzeichenfunktion:
[mm]\text{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ +1, & x>0 \end{cases}[/mm]
Diese Funktion hüpft bei [mm]x_0=0[/mm] von -1 nach +1, ist dort unstetig. Was sagt das [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium?
Wir geben uns ein [mm]\varepsilon[/mm] vor, sagen also, wir interessieren uns nur für die Punkte x, für die [mm]|\text{sgn}(x)-\text{sgn}(x_0)| < \varepsilon [/mm] ist. [mm]\text{sgn}(x_0) = 0[/mm], also ist die Bedingung [mm]|\text{sgn}(x)|< \varepsilon [/mm].
Ich habe das für zwei Werte von [mm]\varepsilon[/mm] eingezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für [mm]\varepsilon=2[/mm] (grüne Linien) sind alle Werte von x erlaubt, denn alle Punkte [mm](x,\text{sgn}(x))[/mm] liegen zwischen den grünen Linien. Wir können daher unser [mm]\delta[/mm] beliebig wählen.
Für [mm]\varepsilon=1/2[/mm] liegt nur noch der Punkt [mm](0,\text{sgn}(0))[/mm] zwischen den beiden roten Linien. Es gibt also gar keine Werte [mm]x\not=x_0[/mm], die die Bedingung [mm]|\text{sgn}(x)|< \varepsilon [/mm] erfüllen. Also ist es auch nicht möglich, ein passendes [mm]\delta[/mm] zu finden. Also ist die Funktion unstetig. Zum Nachweis der Unstetigkeit reicht es, ein [mm]\varepsilon[/mm] zu haben, für das du kein passendes [mm]\delta[/mm] finden kannst.
Zum Nachweis der Stetigkeit musst du zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] ein passendes [mm]\delta[/mm] finden.
Zum Vergleich eine stetige Funktion: [mm]y=x[/mm]:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich hier mein [mm]\varepsilon=1/2[/mm] wähle, also [mm]|y| = |x| < 1/2[/mm], dann sind die dick rot einzeichneten x-Werte erlaubt. Ich kann also mein [mm]\delta=1/2[/mm] wählen.
Jetzt stell dir vor, dass ich mein [mm]\varepsilon[/mm] immer kleiner mache. Dann wird der dicke rote Balken auch immer kleiner, aber ich kann immer ein [mm]\delta[/mm] finden.
So, und jetzt kannst du mit diesem Wissen an die gegebene Funktion gehen.
Wähle dir einen Punkt [mm]x_0[/mm] und frage dich: Für welche Punkte [mm]x[/mm] gilt: [mm]|f(x)-f(x_0)| <\varepsilon[/mm]. Wie bei der Vorzeichenfunktion sind große Werte von [mm]\varepsilon[/mm] uninteressant. Wähle einen Wert unter 1, zum Beispiel [mm]\varepsilon=1/2[/mm]. Jetzt fragst du dich: kannst du ein (wenn auch noch so kleines) [mm]\delta[/mm] finden, sodass für alle x, deren Abstand von [mm]x_0[/mm] kleiner als [mm]\delta[/mm] ist, die Bedingung [mm]|f(x)-f(x_0)| <\varepsilon=1/2[/mm]. Dazu überlegst dir am besten, welche rationalen und irrationalen Zahlen in der Nähe von [mm]x_0[/mm] liegen.
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 07.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
vielen, vielen Dank für deine sehr ausführliche Erklärung!
Wenn ich [mm] x_0 [/mm] als irrationale Zahl wähle, liegen in der Nähe von [mm] x_0 [/mm] doch rationale Zahlen (weil sie ein Bruch aus zwei ganzen Zahlen sind), aber wohl keine irrationale Zahl (hmm, die kommen doch nicht regelmäßig vor, daher kann man doch gar nicht wissen, wo die nächste ist).
Wähle ich nun [mm] x_0\in\IR [/mm] \ [mm] \IQ, [/mm] erhalte ich:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|f(x)-0|=|f(x)|
[/mm]
Ist nun mein x [mm] \in \IQ [/mm] erhalte ich
[mm] |f(x)|=1>\epsilon, [/mm] ist dagegen mein x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ, [/mm] erhalte ich [mm] |f(x)|=0<\epsilon.
[/mm]
Ist mein x [mm] \in \IQ [/mm] und mein [mm] x_0 \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ, [/mm] habe ich:
[mm] |x-x_0|<\delta [/mm] zu erfüllen, aber über x und [mm] x_0 [/mm] weiß ich ja nichts, außer das [mm] |x-x_0|\not=0 [/mm] ist.
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 So 07.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elefanti,
deine Überlegungen sind fast richtig.
> Wenn ich [mm]x_0[/mm] als irrationale Zahl wähle, liegen in der Nähe
> von [mm]x_0[/mm] doch rationale Zahlen (weil sie ein Bruch aus zwei
> ganzen Zahlen sind),
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du könntest auch sagen, weil jede irrationale Zahl sich als Grenzwert einer Cauchyfolge rationaler Zahlen schreiben lässt.
> aber wohl keine irrationale Zahl (hmm,
> die kommen doch nicht regelmäßig vor, daher kann man doch
> gar nicht wissen, wo die nächste ist).
Oh doch, denn es gibt doch viel mehr irrationale Zahlen (überabzählbar viele) als rationale Zahlen (abzählbar viele). in jeder noch so kleinen Umgebung einer rationalen Zahl liegen beliebig viele irrationale Zahlen.
Damit funktioniert deine restliche Überlegung in beiden Fällen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 07.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
ich fasse das ganze jetzt mal zusammen:
Es gilt immer: [mm] |x-x_0|<\delta.
[/mm]
Sei [mm] \epsilon:=1/2.
[/mm]
Sei [mm] x\in \IQ [/mm] und [mm] x_0\in \IR [/mm] \ [mm] \IQ.
[/mm]
Dann ist:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|1-0|=1>\epsilon.
[/mm]
Sei nun [mm] x_0 \in \IQ.
[/mm]
Dann ist:
[mm] |f(x)-f(x_0)=|1-1|=0<\epsilon.
[/mm]
Warum ist [mm] x_0 [/mm] denn trotzdem nicht stetig?
Ebenso hat man mit x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] einmal den Fall, dass [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] einmal kleiner und einmal größer [mm] \epsilon [/mm] ist.
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo elephanti
Du hast das mit der Stetigkeit noch immer nicht kapiert.
Zu jedem [mm] \varepsilon, [/mm] hier hast du [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] gewählt muss es ein [mm] \delta [/mm] geben, so dass für ALLE x die in einer [mm] \delta [/mm] Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ligen gilt, dass [mm] |f(x_0)-f(x)|<1/2
[/mm]
wähle [mm] x_0 [/mm] rational, dann gibt es in jeder noch so kleinen Umgebung von [mm] x_0 [/mm] irratinale Werte, egal wie klein du [mm] \delta [/mm] machst. [mm] x=x_0+\delta*\wurzel{2}/10 [/mm] liegt in dem Intervall [mm] |x-x_0|<\delta. [/mm] also gibt es für x aus diesem Intervall immer wieder f(x)=1 es hilft nix, das Intervall kleiner zu machen.
Wenn x_0nicht rational ist, weiss man, dass es Gw einer Folge von rationalen Zahlen ist, also gibt es in beliebiger Nähe von [mm] x_0 [/mm] rationale werte von x wo f(x)=0
zusammengefasst: in jeder noch so kleinen Umgebung von [mm] x_0 [/mm] gibt es Funktionswerte 1 und Funktionswerte 0.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 So 07.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen lieben Dank für eure geduldigen vielen Antworten!
Liebe Grüße
Elefanti
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