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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 So 23.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo...
ich habe die Aufgabe eigentlich schon gelöst (hoffe ich jedenfalls), mir ich komm aber irgendwie nicht auf einen sinnvollen Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung:
Aufgabe:
Es sei [mm] x_{0}:= [/mm] 0 und [mm] x_{1} [/mm] := 1. Für [mm] \ge [/mm] 1 werde rekursiv definiert
[mm] x_{n+1} [/mm] = 4 [mm] x_{n} [/mm] - 3 [mm] x_{n-1}
[/mm]
Zeigen Sie bitte, ass für alle n [mm] \in \IN x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{ 3^{n} - 1}{2} [/mm] ist.
Meine Lösung:
[mm] \bruch{4 ( 3^{n} -1)}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3 ( 3^{n-1}-1) }{2} [/mm] = [mm] \bruch{(4* 3^{n}-4) - (3* 3^{n-1}-3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{4* 3^{n}-4-3* 3^{n-1}+3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{4* 3^{n}- 3^{n}-1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{ 3^{n}*(4-1)-1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{ 3^{n}*3-1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{ 3^{n+1}-1}{2}
[/mm]
Sollte sich da doch ein Fehler eingeschlichen habe, bitte ich euch diesen zu korrigieren, danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandeu!
Wenn Du zuvor auch die Induktionsverankerung für $n \ = \ 1$ nachgewiesen hast, hast Du alles richtig gemacht ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Also muss ich in dem Induktionsanfang und der Voraussetzung beide Gleichungen Verankern (so wie ich es ja auch im Beweis gemacht habe) und dann für n=1 zeigen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Mo 24.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die Induktionsvorraussetzung hast du doch schon in dem ersten Term verwendet, den du aufgeschrieben hast, denn da hast du angenommen, dass du die kleineren [mm] x_n [/mm] schon mit der zu beweisenden Formel ersetzen kannst (also, dass die Aussage dafuer schon wahr ist).
Den Induktionsanfang solltest du extra machen : einfach n=1 einsetzen (wenn dies das erste n sein sollte) und pruefen, ob in der zu beweisenden Formel auf beiden Seiten das selbe steht.
viele Gruesse
DaMenge
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