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| Aufgabe | u0:=1, v0:= 2;
un+1:= [mm] \wurzel{un*vn} [/mm] (1)
vn+1:= (un+vn)/2 (1)
a) mithilfe Induktion [mm] u0\le [/mm] un<un+1<vn+1<vn [mm] \le [/mm] v0;
b) aus (1) zeigen, dass vn, un gleichen limes haben
c) N herleiten, sodass |un - l| [mm] \le [/mm] 1/1000 für alle [mm] n\ge [/mm] N
d) Mit einer Rechenaschine eine Näherung von l mit Präzision 1/1000 angeben.
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für a) habe ich
I.A. n = 1;
u0 [mm] \le [/mm] u1 v0 [mm] \ge [/mm] vn
1 [mm] \le \wurzel{u0*v0} [/mm] 2 [mm] \ge [/mm] (u0 + v0)/2
1 [mm] \le \wurzel{2} [/mm] 2 [mm] \ge [/mm] 3/2
I.S.
n->n+1
un < un+1 vn > vn+1
un< [mm] \wurzel{un*vn} [/mm] vn > (un+vn)/2
un² < vn*un 2vn > un + vn
=> un<vn => vn > un
bei b) weiß ich nich wie ich den Limes aus der Wurzel finde
c) und d) versteh ich die Aufgabenstellung nicht;
Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank schon mal in voraus
Chrissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 So 21.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
In a hast du bewiesen, dass beide Folgen beschränkt und monoton sind [mm] u_n [/mm] steigend, [mm] v_n [/mm] fallend. Also haben sie einen GW. für die GW u und v gilt [mm] u_{n+1}=u_n=u [/mm] entsprechend für [mm] v_n
[/mm]
dann kannst du einfach einsetzen und ausrechnen.
c) wenn eine Folge konv. dann gibt es ein [mm] N(\epsilon) [/mm] sodass [mm] |u_n-u|<\epsilon [/mm] und hier ist das spezielle [mm] \epsilon=1/1000.
[/mm]
d) mit einem Programm u bzw v so genau bestimmen.
(wenn N nicht sehr gross ist auch mit TR.
Gruss leduart
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wenn gilt [mm] u_{n+1}= u_{n}= [/mm] u (entsprechend v)
gilt dann [mm] u=\wurzel{u*v} [/mm] v=(u+v)/2
=> u=v => u=v
=> gleicher Limes?
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> wenn gilt [mm]u_{n+1}= u_{n}=[/mm] u (entsprechend v)
> gilt dann [mm]u=\wurzel{u*v}[/mm] v=(u+v)/2
> => u=v => u=v
> => gleicher Limes?
Hallo,
Du meinst es richtig. Schreib's mal gescheit auf.
Es ist natürlich nicht [mm] u_{n+1}= u_{n}=[/mm] [/mm] u , sondern???
Gruß v. Angela
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hab ich dann [mm] u_{n+1}= u_{n} [/mm] = lim u? (entsprechend v)
=>lim u = lim v wenn ich einsetz;
oder lieg ich jetz da total daneben;
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> hab ich dann [mm]u_{n+1}= u_{n}[/mm] = lim u?
Das hier ist der absolute Quatsch.
Wenn der Grenzwert der Folge [mm] (u_n) [/mm] ist, gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}u_n=\limes_{n\rightarrow\infty}u_{n+1}=u
[/mm]
> (entsprechend v)
> =>lim u = lim v wenn ich einsetz;
> oder lieg ich jetz da total daneben;
Das stimmt dann.
Gruß v. Angela
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d) mit einem Programm u bzw v so genau bestimmen.
(wenn N nicht sehr gross ist auch mit TR.
was genau meinst du damit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 21.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du rechnest 10 Schritte mit dem TR oder 1000 mit Excel
Gruss leduart
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aber was wäre denn in dem Fall u? Ich weiß immer noch nich was ich da rechnen soll;
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Nachdem Du das geforderte N bestimmt hast, sollst Du eben noch [mm] u_N [/mm] bestimmen. Wie leduart schon schreibt, wenn N ziemlich klein ist, wird ein Taschenrechner reichen. Wenn nicht, brauchst Du ein Programm (oder eben eine Tabellenkalkulation wie Excel).
Grüße,
rev
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:35 So 21.12.2008 | | Autor: | chrissi2709 |
[mm] v_{n} [/mm] - [mm] u_{n} \le 2^{-n};
[/mm]
durch induktion:
I.A. n=0
[mm] v_{0} -u_{0} \le 2^{0}
[/mm]
[mm] 2-1\le [/mm] 1
[mm] 1\le [/mm] 1
I.S.
[mm] v_{n+1} [/mm] - [mm] u_{n+1} \le 2^{-(n+1)}
[/mm]
[mm] (u_{n}+v_{n})/2 [/mm] - [mm] \wurzel{u_{n}*v_{n}}\le 2^{-n-1}
[/mm]
[mm] u_{n} [/mm] + [mm] v_{n}- 2*\wurzel{u_{n}*v_{n}}\le 2^{-n}
[/mm]
und jetz weiß ich nich mehr weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 So 21.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo chrissi!
Was rechnest Du denn da? Das verstehe ich nicht, was das bezwecken soll bzw. wohin das führen soll ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Um den Nachweis mit dem Grenzwert zu führen, musst Du
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}u_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}u_n [/mm] \ = \ u$$
[mm] $$\wurzel{u*v} [/mm] \ = \ u$$
nach $u \ = \ ...$ auflösen.
Genauso dann:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}v_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}v_n [/mm] \ = \ v$$
[mm] $$\bruch{u+v}{2} [/mm] \ = \ u$$
Gruß
Loddar
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Das is nich zum Limes;
is eigtl ne neue Aufgabe aber ne teilaufgabe aus dem ganzen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:13 So 21.12.2008 | | Autor: | chrissi2709 |
Ich bin am ende einer Induktion; und jetz weiß ich nich wie ich aus dem Ausdruck eine Schlussfolgerung ziehen soll;
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 So 21.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo chrissi!
Warum verrätst Du uns nicht erst einmal die dazugehörige (Teil-)Aufgabe?
Gruß
Loddar
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Das habe ich ja vorher gerade gemacht;
das war die Aufgabe wo du mir des mit dem Limes geantwortet hast;
Mithilfe Induktion:
[mm] v_{n} [/mm] - [mm] u_{n} \le 2^{-n}
[/mm]
I.A. klar;
I.S.
n->n+1
[mm] v_{n+1} [/mm] - [mm] u_{n+1} \le 2^{-(n+1)}
[/mm]
nach umrechnung:
[mm] v_{n} [/mm] + [mm] u_{n} -2\wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-n}
[/mm]
und ab da weiß ich nicht mehr weiter
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Das habe ich ja vorher gerade gemacht;
das war die Aufgabe wo du mir des mit dem Limes geantwortet hast;
Mithilfe Induktion:
[mm] v_{n} [/mm] - [mm] u_{n} \le 2^{-n}
[/mm]
I.A. klar;
I.S.
n->n+1
[mm] v_{n+1} [/mm] - [mm] u_{n+1} \le 2^{-(n+1)}
[/mm]
[mm] (u_{n} [/mm] + [mm] v_{n})/2 [/mm] - [mm] \wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-(n+1)}
[/mm]
nach umrechnung:
[mm] v_{n} [/mm] + [mm] u_{n} -2\wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-n}
[/mm]
und ab da weiß ich nicht mehr weiter
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Ich weiß zwar auch nicht, welchen Zweck diese Teilaufgabe verfolgt, aber den Induktionsschritt kann ich Dir weiterführen:
> Mithilfe Induktion:
> [mm]v_{n}[/mm] - [mm]u_{n} \le 2^{-n}[/mm]
> I.A. klar;
> I.S.
> n->n+1
> [mm]v_{n+1}[/mm] - [mm]u_{n+1} \le 2^{-(n+1)}[/mm]
> [mm](u_{n}[/mm] + [mm]v_{n})/2[/mm] -
> [mm]\wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-(n+1)}[/mm]
> nach umrechnung:
> [mm]v_{n}[/mm] + [mm]u_{n} -2\wurzel{v_{n}*u_{n}} \le 2^{-n}[/mm]
> und ab da
> weiß ich nicht mehr weiter
[mm] v_{n}+u_{n}-2\wurzel{v_{n}*u_{n}}=(\wurzel{v_n}-\wurzel{u_n})^2\le 2^{-n}
[/mm]
Wenn Du hier schon [mm] v_n\ge u_n [/mm] voraussetzen darfst (darfst Du?), dann kannst Du weiter umformen:
[mm] \wurzel{v_n}-\wurzel{u_n}\le 2^{-\bruch{n}{2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{v_n}\le 2^{-\bruch{n}{2}}+\wurzel{u_n}
[/mm]
Wieder eine Einschränkung: sind beide Seiten positiv?
[mm] v_n\le (\wurzel{u_n}+2^{-\bruch{n}{2}})^2=u_n+2*2^{-\bruch{n}{2}}\wurzel{u_n}+2^{-n}
[/mm]
[mm] v_n-u_n\le 2*2^{-\bruch{n}{2}}\wurzel{u_n}+2^{-n}
[/mm]
Das wäre nun zu zeigen. Sicher erfüllt ist (laut Induktionsannahme) die Ungleichung dann, wenn
[mm] 2*2^{-\bruch{n}{2}}\wurzel{u_n}+2^{-n}\ge 2^{-n}, [/mm] weil dann ja
[mm] v_n-u_n\le 2^{-n}\le 2*2^{-\bruch{n}{2}}\wurzel{u_n}+2^{-n} [/mm] wäre.
Das aber ist leicht zu zeigen (musst Du aber noch machen...)
Induktionsschritt fertig.
Achte aber auf die Einschränkungen bzw. evtl. nötigen Fallunterscheidungen!
lg,
reverend
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