Induktion - n über k < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}=\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}, k\in\IN [/mm] beliebig. |
Schon wieder ein Induktionsbeweis.
Diesmal komme ich aber nicht zum Ende =/
Ich beschränke mich jetzt mal nur auf den Induktionsschritt:
[mm] \vektor{n+2 \\ k+2} [/mm] = [mm] \summe_{i=k}^{n+1}\vektor{i \\ k}
[/mm]
[mm] \summe_{i=k}^{n+1}\vektor{i \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)!}{(k)!(n-k+1)!}
[/mm]
Auf den Hauptnennergebracht und (n+1)! ausgeklammert:
[mm] \bruch{(n+1)!((n-k+1)+(k+1))}{(k+1)!(n-k+1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+2)!}{(k+1)!(n-k+1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+2)!}{(k+1)!(n-k)! * (n-k+1)}
[/mm]
Hier verstehe ich nicht wieso (k+1)! * (n-k+1) = (k+2)! sein soll.
Weil ich doch auf [mm] \vektor{n+2 \\ k+2} [/mm] kommen muss oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Di 05.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}=\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}, k\in\IN[/mm]
> beliebig.
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> Schon wieder ein Induktionsbeweis.
> Diesmal komme ich aber nicht zum Ende =/
>
> Ich beschränke mich jetzt mal nur auf den
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\vektor{n+2 \\ k+2}[/mm] = [mm]\summe_{i=k}^{n+1}\vektor{i \\ k}[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=k}^{n+1}\vektor{i \\ k}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=k}^{n}\vektor{i \\ k}[/mm] + [mm]\vektor{n+1 \\ k}[/mm] =
> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] + [mm]\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}[/mm] +
> [mm]\bruch{(n+1)!}{(k)!(n-k+1)!}[/mm]
>
> Auf den Hauptnennergebracht und (n+1)! ausgeklammert:
>
> [mm]\bruch{(n+1)!((n-k+1)+(k+1))}{(k+1)!(n-k+1)!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(n+2)!}{(k+1)!(n-k+1)!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(n+2)!}{(k+1)!(n-k)! * (n-k+1)}[/mm]
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> Hier verstehe ich nicht wieso (k+1)! * (n-k+1) = (k+2)!
> sein soll.
> Weil ich doch auf [mm]\vektor{n+2 \\ k+2}[/mm] kommen muss oder?
Du mußt auf [mm]\vektor{n+2 \\ k+1}[/mm] kommen !!!
Und zwar so:
$ [mm] \bruch{(n+2)!}{(k+1)!(n-k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+2)!}{(k+1)!(n+2-(k+1))!}$
[/mm]
FRED
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